Ôn tập: Nguyên hàm

Ôn tập: nguyên hàm
I.Lý thuyết
 1. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b), nếu với mọi x € (a; b); ta có F(x)’ = f(x)
 2. Nhận xét: 
 + Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b)
 + Ngược lại, mọi nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b) đều ó thể viết dưới dạng F(x) + C, với C là hằng số
 Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là ( đọc là tích phân của f(x)dx) 
 = F(x) + C
 Trong đó: được gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân; f(x)dxlà biểu thức dưới dấu tích phân và đó cũng là vi phân của h/số F(x)
3. Tính chất: 
 ( Với a là hằng số)
Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản.
Các phương pháp tính nguyên hàm:
A.Phương pháp 1: Đưa về các nguyên hàm cơ bản
 Ví dụ : Nguyên hàm của h/số f(x) = 4x2 là 
 Nguyên hàm của h/số f(x) = sinx + cosx là 
 Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
 a) f(x) = 5(x2 – 2x+ 3) b) f(x) = 5(3x2 – 1)2 
 c) f(x) = d) f(x) = 2x.3 2x+1
 e) 	 f) f(x) = 3
 g) f(x) = h) f(x) = 3sin2x/2
 i) f(x) = 	 k) f(x) = (2tanx + cotx)2
 m) f(x) =
B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
 Tính 
+ Đặt u = u(x)
+ Lấy vi phân 2 vế, để tính dx theo u và du
+ Biểu thị f(x)dx theo u và du. G/s f(x)dx = g(u)du
+ Tính 
+ Thay u trong G(u) theo biểu thức của nó theo x
Ví dụ: 1) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3)5.
Ta có nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3)5 là .
 Tính 
 + Đặt u = 5x + 3 => du = (5x + 3)’ = 5dx. Từ đó có dx =
 + = = 1/30(5x + 3)6 + C
 2) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = cos2xsinx
Ta có nguyên hàm của h/s f(x) là
 Tính 
 + Đặt u = cosx => du = (cosx)’dx = -sinxdx. Từ đó sinxdx = - du
 + = =-1/4(cosx)4 + C
Bài tập áp dung: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx
c) f(x) = d) f(x = 
e) f(x) = f) f(x) = 
g) f(x) = h) f(x) = tanx
i) f(x) = k) f(x) = 
B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số
Tính 
Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi người ta đổi biến số thành một hàm lượng giác của biến mới.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân chứa thì đặt x = asinu hoặc 
 a = acosu.
Nếu có thì đặt x = a.tanu hoặc x = a.cotu
Nếu có thì đặt x = hoặc x = 
 Ví dụ: Tính 
 Giải: 
 Đặt x = 2.sinu với u € [] => dx = 2.cosudu
 Ta co: 
 Khi đó 
 Ghi nhớ:
Các hệ thức sau đây thường được dùng để tính nguyên hàm:
 1. dx = d(x + b) 2. kdx = d(kx) = d(kx + b) 3. xdx = 1/2d(x2)
 4. xndx = 5. dx/x = d(lnx) 6. ekxdx = 1/kd(ekx )
 7. cosxdx = d(sinx ) 8. sinxdx = - d(cosx) 9. 
 10. 
B. Bảng nguyên hàm được suy ra từ phương pháp đổi biến số
 Chẳng hạn: 
 Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng công thức ở phần ghi nhớ
a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx
c) f(x) = d) f(x = 
e) f(x) = f) f(x) = 
g) f(x) = h) f(x) = tanx
i) f(x) = k) f(x) = 
Bài 2: Tính các tích phân sau
 1) 2) 3) 
Phương pháp 3: Nguyên hàm từng phần
 Tính . Nếu biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx thường có dạng: 
f(x)dx
P(x)exdx
P(x)sinxdx
P(x)cosxdx
P(x)lnxdx
exsinxdx
u
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
sinx
dv
exdx
sinxdx
cosxdx
P(x)
exdx
 (Với P(x) là đa thức ) 
 Khi đó ta đã đưa về dạng 
 Sau đó ta áp dụng công thức sau: (*): Công thức nguyên hàm từng phần .
 Quy tắc tính:
Viết f(x)dx dưới dạng udv
Tính u’ và v (v = )
Thay vào (*) 
 Ví dụ áp dụng
 Tính Đặt u = 2x + 1 => du = (2x + 1)dx = 2.dx
 dv = sinxdx => v = -cosx
 Do đó áp dụng công thức (*) ta có: 
 Bài tập áp dung: Tìm nguyên hàm các hàm số sau đây
 1) f(x) = x2.cosx 2) f(x) = (x + 2).sin2x 3) f(x) = (-x + 3)ex
 4) f(x) = (x2 + 1)e-x 5) f(x) = (3x – 6)lnx 6 ) f(x) = (-x2 + 1)lnx
 7) f(x) = ex.cosx 8) f(x) = e2xsinx