Ôn tập Một số bài toán về hàm số

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
I.Cỏc bài toỏn liờn quan tới cực trị của hàm số:
 1/ Cho hàm số . Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu nằm về hai phớa đường thẳng .
Giải: Hàm số cú hai điểm cực trị là: ( -2; m – 4 ) và ( 4; m + 8 ). Để hai điểm cực trị này nằm về hai phớa của đt trờn thỡ: ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0 .
 2/ Cho hàm số . 
Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu ; b. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cực đại.
Giải: a/ Hàm số cú cực trị khi m > 0 .
 b/ Ta cú: . Vậy quĩ tớch cỏc điểm cực đại 
là phần đường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1.
 3/ Cho hàm số: (C)
	a. Tỡm m để (Dm): cắt (C) tại hai điểm phõn biệt mà cả hai điểm đú thuộc cựng một nhỏnh. 
	b. Tỡm quỹ tớch trung điểm I của MN.
Giải: a/ Phương trỡnh: cú một nghiệm x = 0 nờn để hai giao điểm ở cựng một nhỏnh thỡ: .
 b/ Ta cú: .
Vậy quỹ tớch trung điểm I của MN là nhỏnh bờn phải của đths .
 4/ Cho hàm số: .
 Tỡm m để hàm số cú cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D) cú phương trỡnh .
 Giải: Ta cú: . Để hs cú cực trị thỡ . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị thỡ . Do pt của đt đi qua hai điểm cực trị là . Để cỏc điểm cực trị của đths đx nhau qua (D) thỡ:
.
 5/ Cho hàm số: . Hóy tỡm cỏc giỏ trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trờn nằm về hai phớa của đường trũn (C): .
Giải:Hàm số cú hai điểm cực trị là: ( 0; - 4 ) và ( - 2; 0 ). Để hai điểm cực trị này nằm về hai phớa của đường trũn ( C ) thỡ:.
 6/ Cho hàm số (Cm).
	Tỡm m để hàm số cú điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phớa đường phõn giỏc gúc phần tư thứ nhất.
Giải: Hàm số đó cho nếu sẽ cú hai điểm cực trị là: ( 0 ; 2m + 4 ) và . Để hai điểm này nằm về hai phớa của đường phõn giỏc gúc phần tư thứ nhất ( cú pt là: y = x ) ta phải cú:
 hoặc m > 1.
 7/ Cho hàm số (Cm).
 Tỡm m để (Cm) cắt trục 0x tại ba điểm phõn biệt hoành độ dương.
Giải: Ta cú: . Để (Cm) cắt trục 0x tại ba điểm phõn biệt cú
hoành độ dương thỡ cỏc điểm cực trị dương; hai cực trị trỏi dấu và y(0) < 0 
 8/ Cho hàm số .
 Tỡm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phõn biệt trong đú cú đỳng hai điểm cú hoành độ õm.
Giải: Điều kiện là: .
II.Cỏc bài toỏn về tiếp tuyến:
 9/ Cho hàm số (1)
 a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (D): luụn cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định. 
 b) Tỡm m để đường thẳng đú cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khỏc nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuụng gúc với nhau.
Giải: a/ Xột pt: . Như vậy khi m thay đổi thỡ (D) luụn cắt đths(1) tại điểm A( - 1; 2 ) cố định.
 b/ Để (D) cắt đths(1) tại 3 điểm phõn biệt thỡ pt (*) phải cú hai nghiệm phõn biệt khỏc – 1; do đú
m > - 9/4 và . Khi đú là hoành độ của B,C và là nghiệm của (*) . Ta cú: .
Để tiếp tuyến tại B và C vuụng gúc với nhau thỡ (thỏa món đk). Đú chớnh là những gt của m cần tỡm.
 10/ Cho hàm số (C) tỡm trờn đường thẳng x =1. Những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đú vuụng gúc với nhau.
Giải: Giả sử M(1;b) và pt của đt (D) đi qua M là: y = k(x – 1) + b. Để (D) là tiếp tuyến của (C) thỡ pt sau phải cú nghiệm kộp: ( vỡ pt khụng cú nghiệm với x = 0 )
. Để qua M cú thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vuụng gúc với nhau thỡ pt (*) phải cú hai nghiệm cú tớch bằng -1
 (TMĐK). Vậy trờn đt x = 1 cú 2 điểm TMYCBT là .
 11/ Cho hàm số: 
	Tỡm những điểm thuộc Oy mà từ đú cú thể kẻ được ba tiếp tuyến tới (C).
Giải: Gọi và ptđt (D) qua M là y = kx + b. Để (D) là tt của (C) thỡ hpt sau phải cú nghiệm:
x
 0 
f’(x)
 + 0 - 0 + 0 -
f(x)
 1 
 Từ BBT ta suy ra trờn trục Oy cú
Duy nhất một điểm mà từ đú cú thể kẻ được 3 tt tới (C); đú là điểm 
M( 0; 1 ).
 12/ Cho hàm số: . Tỡm trờn trục Oy những điểm từ đú cú thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị vừa vẽ.
Giải: Gọi và ptđt (D) qua M là y = kx + b. Để (D) là tt của (C) thỡ pt sau phải cú nghiệm kộp:
. Để từ M cú thể kẻ được 2 tt tới đths thỡ (*) cú 2 nghiệm phõn biệt và
.
 13/ Cho hàm số: (C). Tỡm b để parabol tiếp xỳc với (C) .
Giải: Để parabụn tiếp xỳc với (C) thỡ hpt sau phải cú nghiệm:
 Vậy cú 2 gt của b TMYCBT là 1 và – 3.
 14/ Cho hàm số: . Chứng minh rằng với mọi m ≠ - 1, cỏc đường cong (1) luụn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
Giải: Giả sử đths(1) t/x với đt y = ax + b với mọi . Khi đú pt sau phải cú nghiệm kộp với mọi :
. Vậy với mọi , cỏc đường cong (1) luụn tiếp xỳc với một đường thẳng cố định y = x - 1 tại một điểm cố định I( - 1; - 2 ).
 15/ Cho hàm số: 
	a. Tỡm m để hàm số cú cực trị. Khi đú hóy viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. 
	b. Xỏc định m để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đú vuụng gúc với nhau.
Giải: a/ Ta cú: . Để hs cú cực trị thỡ pt y’ = 0 phải cú hai nghiệm phõn biệt khỏc m
 (vỡ khi đú pt y’ = 0 sẽ cú hai nghiệm phõn biệt khỏc m ). Hai nghiệm của pt y’ = 0 là 
. Vậy pt của đt đi qua điểm CĐ và điểm CT là y = 2x + m.
 b/ Với thỡ đths luụn cắt trục hoành tại hai điểm phõn biệt ( vỡ ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành độ của hai giao điểm này là . Để tt với đths tại hai giao điểm vuụng gúc với nhau thỡ:
.
 16/ Cho hàm số (C)
	 Tỡm trờn trục hoành những điểm mà từ đú kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số (C).
Giải: Gọi ; đt (D) đi qua M cú pt là: y = k(x - a). Để (D) là tt của (C) thỡ hpt sau phải cú nghiệm:
. Để qua M cú thể kẻ được 3 tt tới (C) thỡ pt sau phải cú 3 nghiệm phõn biệt
. Do khi x = 1 và x = a nờn để pt f(x) = 0 cú 3 nghiệm phõn biệt thỡ: .
 17/ Cho hàm số: 
 a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đths đều tạo với hai đường tiệm cận một đoạn thẳng mà tiếp điểm là trung
điểm của nú.
 b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giỏc cú diện tớch khụng đổi. 
 c/ Tỡm tất cả cỏc điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đú lập với hai đường tiệm cận một tam giỏc cú chu vi nhỏ nhất.
Giải: a/Do nờn pttt với đths tại điểm là: . Tt này cắt cỏc tiệm cận 
x = 1 và y = 1 tại cỏc điểm: suy ra M là trung điểm của AB ( vỡ tọa độ trung điểm của AB bằng tọa độ của M ).
 b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta cú 
 khụng đổi ( đpcm )
 c/ Ta cú chu vi tam giỏc IAB: . Vậy chu vi tam giỏc IAB cú giỏ trị nhỏ nhất bằng khi IA = IB tức . Như vậy trờn đths cú hai 
điểm TMYCBT là: .
III. Một số bài toỏn khỏc:
 18/ Cho hàm số: 
	Tỡm M thuộc (H) sao cho khoảng cỏch từ M đến (D): nhỏ nhất.	
Giải: Giả sử 
. Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng khi ứng với hai điểm .
 19/ Cho hàm số: (C) 
	 Hóy xỏc định hàm số y = g(x) sao cho đồ thị của nú đối xứng với đồ thị (C) qua A(1;1).
Giải: Gọi là điểm đối xứng của qua A. Vậy .
 20/ Cho hàm số .
Tỡm một hàm số mà đồ thị của nú đối xứng với (C) qua đường thẳng (D):x + y -3 = 0.
 Gọi là hỡnh chiếu của M trờn (D). Khi đú là nghiệm của hpt: 
. Gọi điểm đối xứng của M qua I là 
. Vậy hàm số cần tỡm là: y=10/x .
 21/ Cho hàm số: (C).
 Tỡm hai điểm A, B trờn hai nhỏnh khỏc nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Giải: Gọi . Đặt 
. Dấu bằng xảy ra khi .
 22/ Cho hàm số: (C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trờn (C). Tỡm M thuộc cung AB của (C) sao cho diện tớch ΔMAB lớn nhất.
Giải: -Cỏch 1: pt đt AB là: 2x – y + 1 = 0 . Gọi 
x
0 3
f’(x)
 + 0 - 
f(x)
0 0
 Ta cú nờn BBT của hs như bờn.
Do đú: ứng với .
 -Cỏch 2: Diện tớch ΔMAB lớn nhất khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB. Gọi . Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi 
.
--------------------------- o0o ------------------------
NGUYấN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Hai nguyờn hàm đặc biệt:
I.Nguyờn hàm của hàm số lượng giỏc:
 1/ .
 2/ 
 3/ 
 4/ 
 .
 5/ 
 6/ 
 .
 7/ .
 8/ 
.
 9/ 
 .
 10/ 
 .
 11/ .
 12/ .
 13/ 
 .
 14/ .
 15/ .
 16/ .
 17/ .
 18/ 
 .
 19/ .
 20/ .
 21/ .
 22/ 
 .
 23/ . 
 24/ 
 .
 25/ .
 26/ .
 27/ .
 28/ .
 29/ 
 .
 30/ 
 .
BÀI TẬP :
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
 .
 .
 II.Nguyờn hàm của hàm phõn thức hữu tỉ:
 1/ .
 2/ .
 3/ 
 .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
BÀI TẬP:
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
.
III. Nguyờn hàm của cỏc hàm số cú chứa ẩn dưới dấu căn thức:
 1/ .
 2/ .
 3/ .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ 
 10/ .
 11/ .
 12/ .
 13/ .
14
 .
BÀI TẬP:
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
	.
IV. Nguyờn hàm của cỏc hàm số mũ và hàm số Lụgarớt:
 1/ .
 2/ .
 3/ .
 4/ .
 5/ .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ .
 10/ .
 11/ .
V. Tỡm nguyờn hàm theo phương phỏp tớnh từng phần:
 1/ Cỏc nguyờn hàm dạng: , vớ dụ: .
 2/ Cỏc nguyờn hàm dạng: , vớ dụ: 
 3/ .
 4/ .
 5/ 
 .
 6/ .
 7/ .
 8/ .
 9/ .
 10/ .
 11/ .
 12/ .
	BÀI TẬP:
 Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:
.
VI. Một số tớch phõn đặc biệt:
 1/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục trờn đoạn thỡ: .
 a/ .
 b/ .	
 2/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục trờn đoạn thỡ: .
 Áp dụng: 
.
 3/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục và lẻ trờn đoạn thỡ: .	
Áp dụng:
.
 4/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục và chẵn trờn đoạn thỡ: 
Áp dụng:
 a/ .
 b/ .
 c/ .
 5/ Nếu f(x) là một hàm liờn tục và tuần hoàn với chu kỡ T > 0 thỡ: .
 Áp dụng: 
 .
 VII.Một số bài toỏn lẻ: .
---------------- o0o ---------------
PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH
MŨ VÀ LễGARÍT 
I.Phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ :
1/ Đưa về cựng một cơ số hoặc hai cơ số:
2/ Đặt ẩn phụ:
( chia 2 vế cho ); ;
.
 3/ Sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số:
.
18/ 
 4/ Một số dạng khỏc:
BPT vụ nghiệm vỡ x = 0 KTM (*).
II. Phương trỡnh, bất phương trỡnh lụgarớt:
 1/ Đưa về 1 cơ số:
 2/ Đặt ẩn phụ:
 3/ Phương phỏp mũ húa, lụgarớt húa:
;
 4/ Sử dụng tớnh đơn điệu của hàm số:
f(x) đồng biến khi x > 0. Tương tự cũng đồng biến khi x > 0. Suy ra pt cú nghiệm dn x = 2.
 5/ Một số Phương trỡnh, bất phương trỡnh khỏc:
III. Hệ phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và lụgarớt:
Gợi ý một số bài:
Bài 5: 
Bài 6: 
Bài 14: (1) cú nghiệm ( 1; 4 ). Hàm số vế trỏi của (2) dương trờn khoảng ( 1; 4 ) nờn hệ cú nghiệm là 
 khoảng ( 1; 4 ).
------------------ // ------------------
PHƯƠNG TRèNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRèNH Vễ TỶ
I.Một số PT,BPT vụ tỷ thụng thường:
. f(x) nb’ khi và đb’ khi . Pt cú ngdn x = 2.
.
g(x)&h(x) đồng biến trờn f(x) đồng 
biến trờn khoảng đú nờn PT cú nghiệm duy nhất x = 7.
. Xột tớnh đơn điệu của hàm số thỡ nghiệm của BPT là .
II.Giải bằng phương phỏp đặt biến phụ:
III.Biện luận PT và BPT vụ tỉ:
 Tỡm cỏc giỏ trị của m để PT sau cú nghiệm:
 cú nghiệm 
 là hs đồng biến trờn đoạn
19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: 
20/ Tỡm a để PT sau cú nghiệm duy nhất: 
PT cú nghiệm duy nhất với mọi a )
21/ Xỏc định theo m số nghiệm của PT: 
KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT cú 1 nghiệm; m < 19: PT cú hai nghiệm.
22/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để PT sau cú nghiệm dn thuộc đoạn .
23/ Tỡm m để PT sau cú 2 nghiệm phõn biệt: 
24/ Chứng minh với mọi giỏ trị dương của m, PT sau luụn cú 2 nghiệm phõn biệt: 
nếu m > 0 thỡ PT cú 2 nghiệm 2 và 
25/ Tỡm m đờ PT sau cú nghiệm dn: 
- ĐK cần: dễ thấy nếu PT cú nghiệm thỡ nú cũng cú nghiệm 1 – a . Do đú để nú cú nghiệm duy nhất thỡ 
a = 1-a 
- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.
26/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để BPT sau TM với mọi 
27/ Tỡm cỏc GT của m để BPT sau cú nghiệm: 
28/ Tỡm cỏc giỏ trị của m để BPT sau TM với mọi 
29/ Tỡm cỏc giỏ trị của a để BPT sau cú ngh ... i 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: .
Bài 4: Tỡm GTNN của biểu thức trong đú x,y là cỏc số dương.
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: 
Vậy GTNN của P bằng khi y = 2x.
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa món hệ thức: . Hóy tỡm GTLN của biểu thức 
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: 
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Bài 6: x,y là cỏc số thực thỏa món cỏc điều kiện: . Tỡm GTLN của biểu thức: 
.
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: 
. Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 7: x,y,z là cỏc số khụng õm cú tổng bằng 1. Tỡm GTLN của biểu thức: .
Bài 8: a,b,c là cỏc số dương. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: . Tương tự
ta cũng cú: . Cộng cỏc BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chỳ ý: Nếu thỡ ta được BĐT: 
Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: . Tương tự ta cũng cú:
. Cộng cỏc vế của cỏc BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 10: Cỏc số thực dương x,y,z thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN của biểu thức:
.
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa món hệ thức: . Tỡm GTNN của biểu thức:
.
Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả món hệ thức: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: . Tương tự ta cũng cú:
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y cú tổng bằng 1. Tỡm GTNN của biểu thức: 
.
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta cú: 
. Vậy khi x = y = ẵ.
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN của biểu thức: 
.
Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa món hệ thức: Chứng minh: .
Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z cú tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: .
Giải: Do nờn theo BĐT (I) ta cú: 
. Tương tự ta cũng cú: ; 
Cộng cỏc BĐT trờn ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN của biểu thức:
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: 
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN của biểu thức: 
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: 
. Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.
Bài 19: Cho hai số thực khụng õm x,y thỏa món cỏc điều kiện: . 
Tỡm GTLN của biểu thức: .
Giải: Theo BĐT (I) ta cú: 
. ( Do ).
Vậy khi .
Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: .
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta cú: 
. Tương tự ta cũng cú:
; .Cộng cỏc vế của cỏc BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 21: Cho hai số dương a,b cú tổng bằng 1. Chứng minh cỏc BĐT sau:
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta cú: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 22: Cho a,b,c là cỏc số thực dương thỏa món điều kiện: Chứng minh:
Bài 23: Ba số dương x,y,z cú tớch bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta cú: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi .
Chỳ ý: Từ BĐT trờn ta suy ra BĐT: với a,b,c là cỏc số dương.
Bài 24: Cho . Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta được:
 từ đú suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi
Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man cỏc điều kiện: . Chứng minh:
 .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta
được: từ đú suy ra BĐT ccm. Dấu 
bằng xảy ra khi bx = ay.
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa món hệ thức: ; x là số thực bất kỡ. Chứng minh:
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta cú: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kỡ. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (III) ta cú: 
 (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số và
 ta được:
Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi; .
Bằng cỏch giải tương tự ta sẽ chứng minh được cỏc BĐT sau:
1/ với a,b,c là cỏc số dương bất kỡ.
2/ với a,b,c,d là cỏc số dương bất kỡ.
3/ với a,b,c là cỏc số dương bất kỡ.
4/ với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.
5/ với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.
Bài 28: Cho cỏc số thực x,y,u,v thỏa món điều kiện: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (II) : 
Từ đú suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 29: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa món điều kiện: Chứng minh:
Giải: Theo BĐT (II) ta cú: 
 . Từ đú ta suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa món điều kiện: Chứng minh: 
.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: . Áp dụng BĐT (II) ta được: 
 (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 31: Hai số a,b thỏa món điều kiện: . Chứng minh:
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: . Áp dụng BĐT (II) ta được:
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = 24/5,b = 24/3
hoặc a = 16/5, b = 6/5.
Bài 32: Ba số x,y,z thỏa món điều kiện: Tỡm GTNN và GTLN của biểu thức:
Bài 33: Cho a,b,c là ba số khụng õm thỏa món hệ thức: Tỡm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Theo BĐT (II) ta cú: 
. Tương tự ta cũng cú: ;
. Vậy MinS = 3 khi .
II.Sử dụng phương phỏp đỏnh giỏ:
Bài 34: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh cỏc BĐT sau:
Giải:a/Ta cú: 
. Tương tự ta cũng cú cỏc BĐT: 
. Cộng cỏc vế của cỏc BĐT này lại
rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
b/ Theo BĐT (I) ta cú: .
Tương tự ta cũng cú: . Cộng cỏc vế của cỏc BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 35: Cho 3 số dương x,y,z thỏa món điều kiện: Tỡm GTNN của biểu thức:
Bài 36: Cho 3 số dương a,b,c cú tổng bằng 2. Chứng minh: 
Bài 37: Cho 3 số dương a,b,c thỏa món điều kiện: Tỡm GTLN của biểu thức:
Bài 38: Cho ba số dương x,y,z cú tớch bằng 8. Tỡm GTNN của biểu thức:
Giải: Ta cú: Vậy khi 
Bài 39: Cho 3 số thực x,y,z cú tổng bằng 1. Tỡm GTNN của biểu thức: 
Giải: Theo BĐT (II) ta cú: . Áp dụng
BĐT (I) ta được: 
 Vậy khi 
Bài 40: Cho 3 số dương x,y,z bất kỡ.Tỡm GTNN của biểuthức:
Bài 41: Cho 3 số dương x,y,z bất kỡ. Chứng minh:
Bài 41’: Tỡm GTNN và GTLN của biểu thức biết x và y thỏa món phương trỡnh:
Giải: 
Bài 41’’: Cho . Tỡm GTNN của biểu thức: .
Giải:Ta cú: .
Bài 41’’’: Cho 3 số thực . Tỡm GTLN của .
Giải: Từ giả thiết suy ra: 
Bài 42: Cho . Chứng minh:
Giải: Ta cú: 
đpcm.
Bài 42’: Biết phương trỡnh cú hai nghiệm thuộc đoạn . Tỡm GTLN của biểu thức:
.
Giải: Gọi hai nghiệm của phương trỡnh là 
III.Chứng minh BĐT hoặctỡm cực trị bằng phương phỏp đổi biến:
Bài 43: Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món hệ thức: Chứng minh BĐT: 
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thỡ điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
. Theo BĐT (II) ta cú:
 (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 43’: Cho 3 số thực dương x,y,z cú tớch bằng 1. Chứng minh BĐT: 
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thỡ điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta cú ngay:
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 44: Cho 3 số dương x,y,z thỏa món điều kiện: Chứng minh BĐT:
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thỡ điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
. Ta cú:
. Tương tự ta cũng cú: . Cộng cỏc BĐT này lại ta sẽ được BĐT ccm. 
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 45: Cho hai số thực x,y khỏc 0 và thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN và 
GTLN của biểu thức: 
Giải: Đặt thỡ điều kiện trở thành: . Theo BĐT (II) ta cú:
. Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3.
Bài 46: Hai số thực x,y thỏa món cỏc điều kiện: Tỡm GTNN và GTLN 
của biểu thức: 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ; 
đồng thời 
x
-4 -3 1 3 
f’(x)
 + 0 - 0 +
f(x)
 20 20
13 -12
 Từ BBT của hàm số ta suy ra:
Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN của biểu thức:
Bài 48: Cho cỏc số thực x,y thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN và GTLN
của biểu thức: 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: . Nếu Nếu đặt
. (*) khụng cú nghiệm khi T=1
Với cú khi . Kết hợp với trờn ta cú:
MinT=-2 khi . MaxT=1 khi và y = 0.
Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa món điều kiện: . Tỡm GTNN của biểu thức: 
Bài 50: Cho hai số khụng õm x,y cú tổng bằng 1. Tỡm GTNN và GTLN của biểu thức:
.
Giải: Ta cú: 
.
( Vỡ x và khụng đồng thời bằng 0 nờn )
Do 
Bài 51: Cỏc số thực a,b,c thỏa món: . Tỡm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Do . Đặt t = b/a > 1
.
Mỡn = 3 khi 
Bài 52: Trong cỏc nghiệm (x; y; z;t ) của hệ: hóy tỡm nghiệm làm cho S = x + z đạt GTLN.
Giải: Đặt 
TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN
I.Xỏc định số hạng trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:
Bài 1: Tỡm số hạng khụng chứa x trong khai triển: 
Giải: a/ Ta cú: . 
Do nờn số hạng khụng chứa x trong khai triển là 
b/ Ta cú: . 
Do nờn số hạng khụng chứa x trong khai triển là .
Bài 2: Biết hệ sụ của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức bằng 36. Tỡm số hạng thứ 7.
Giải: Từ GT . Vậy số hạng thứ 7 trong khai triển bằng 
Bài 3: Tỡm hệ số của trong khai triển của: .
Giải: Ta cú: 
 Cú 3 bộ số (k;l) thỏa món hệ thức này là: (8;0), (9;2) và (10;4). Vậy hệ số của bằng: 
Bài 4: Tỡm hệ số của trong khai triển của: .
Giải: Ta cú: cú 3 cặp (k;l) thỏa món là: (0;5), (2;4) và (4;3). Vậy hệ số của trong khai triển bằng: 
Bài 5: Trong khai triển P(x) = thành đa thức: 
P(x) = . Tỡm max .
Giải: Ta cú: . Giả sử lớn nhất thỡ: 
 .
Vậy max= .
II. Tớnh tổng:
Bài 6: Khai triển (x-2)100=a0+a1x+a2x2++a100x100 a) Tỡm a97	b) T= a0+a1++a100	
c) S=a0-a1+a2-a3+.+a100	 d/P=a1+2a2+3a3++100a100
Giải: a/ Do .
b/ .
c/ .
d/ Từ khai triển trờn, đạo hàm hai vế ta được: .
Bài 7: Khai triển: (1+2x+3x2)10= a0+a1x+.+a20x20
a) Tỡm a1, a20 , a4	b) Tớnh S = a0+a1++a20
Giải: a/ Ta cú: 
;
b/ Ta cú: .
Bài 8: Khai triển (1+x+x2)1996=a0+a1x++a3992x3992
a/Tớnh T=a0+a1++a3992 ; b) H= a0-a1+a2-.+a3992 ; c) CMR a0+2a1+22a2++23992a3992 chia hết 2401.
Giải: a/ Ta cú: .
b/ Ta cú: . 
c/ Ta cú: .
Bài 9: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức: 
 Giải: Ta cú: .
a/ Cho x = a ta được: .
b/ Cho x = -1 ta được: .
c/ Đạo hàm hai vế của hệ thức trờn ta được:
.
Bài 10: Tớnh: .
Giải: Ta cú: .
Bài 11: Tớnh: .
Giải: Ta cú: .
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1/Tỡm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức niwtơn của ,biết rằng n là số nguyờn dương thảo mản: . ĐS: n = 7 ; hs = 21/4 .
2/Tỡm số hạng chứa x trong khai triển của trong đú n là nghiệm nhỏ nhất của
bất phương trỡnh: . ĐS: n = 10 ; hs = .
3/Với mỗi số tự nhiờn n hóy tớnh tổng: .
4/Khai triển đa thức P(x)= ta cú P(x)=. Tỡm hệ số 
5/Tỡm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của , biết rằng (n là số nguyờn dương, x > 0 ) . n = 12; hs = 495.
6/ Với n là số nguyờn dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tỡm n để .ĐS: n = 5.
7/ Giả sử: = .Tỡm max . ĐS: . 
ĐS: 3/ ; 4/ .
8/ Tỡm giỏ trị của x sao cho số hạng thứ ba của khai triển: là 1.000.000 .
------------------- // -----------------
ÁP DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TèM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 Như chúng ta đã biết: đạo hàm của hàm số là một giới hạn đặc biệt. Trong chuyên đề này tôi xin trình bầy một số bài toán mà để tìm đạo hàm của hàm số ta sử dụng định nghĩa của đạo hàm.
Bài toán 1: Tìm L = 
Giải : Đặt ; do nên L = . Ta có: 
.
 Bài toán 2: Tìm L = .	
Giải : Đặt thì f(x) = 0 và 
.
 Bài toán 3: Tìm L = .
Giải: Đặt ; 
 .
 Bài toán 4: Tìm L = .
Giải:Đặt .
Từ đó: .
Bài toán 5: Tìm L = . 
Giải: Đặt ;
.
 Nhận xét: nếu các bài này không sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn thì sẽ rất phức tạp. Sau đây ta xét một số bài toán về giới hạn mà nếu không sử dụng định nghĩa đạo hàm thì không giải được. 
 Bài toán 6: Tìm L = .
Giải: Đặt ;
.
 Bài toán 7: Tìm L = .
Giải: Đặt 
.
 Bài toán 8: Tìm L = .
Giải: Đặt 
 .