Ôn tập kiến thức Toán 12 cơ bản và nâng cao

ôn tập kiến thức 12 cơ bản và nâng cao
các công thức đạo hàm
c’ = 0 ; c : hằng số
 = 
= - 
 = k . x’ = k
( uα )’ = α . uα - 1 . u’
 = 
 = - 
 = k . u’
(xα) ’ = α . xα – 1
( u ± v )’ = u’ ± v’
( u .v )’ = u’v + v’u
 = 
 = - 
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
(tanx)’ = 1 + tg2x
(cotx)’ = - = - ( 1 + cot2x )
(ex)’ = ex .
(ax)’ = ax . lna
 = 
 = 
(sin u)’ = cosu . u’
(cos u)’ = -sinu .u’
(tan u)’ = = u’.( 1 + tan2u )
(cotg u)’ = - = - u’.( 1 + cotg2u )
(eu)’ = eu . u’
(au)’ = au . lna.u’
 = 
 = 
1.cực trị của hàm số:
cách 1:
 + Tìm TXĐ
 + Tính y ' = 0 tìm nghiệm nếu có
 + Lập bảng biến thiên => các điểm cực trị
Cách 2 : Tìm m để xo là điểm cực trị
• xo là điểm CĐ 
• xo là điểm CT 
2.gtln, gtnn của hàm số:
a)Trên khoảng (a ; b), [a;b), (a;b] 	b)Trên khoảng [a ; b]
Lập BBT rồi dựa vào đó kết luận . 	 •Tính y ‘ = 0 , tìm nghiệm x1,x2 ,
 nếu trên (a ; b) có 1 GTCĐ => là GTLN 	 •Tính y(x1), y(x2), y(a), y(b)] 
 nếu trên (a ; b) có 1 GTCT => là GTNN	=> GTLN, GTNN
 Chú ý: Nếu bài toán chưa cho TXĐ ta phải tìm TXĐ 
3.khảo sát hàm số :
1) y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 	; a ≠ 0 ; nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
2) y = f(x) = ax4+ bx2 + c	 	; a ≠ 0 ; nhận 0y làm trục đối xứng
• TXĐ : 	D = R
• Sự biến thiên :
+ Tìm y’ ; cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
+ Tính : 
+ Lập BBT và kết luận
• Điểm uốn. ( y’’ ; cho y’’ = 0 tìm điểm uốn )
• Chọn điểm đặt biệt và vẽ đồ thị.
 	+ Giao với Ox : y = 0 => x =.( nếu các điểm không phức tạp)
	+ Giao với Oy: x = 0 => y ==.( nếu các điểm không phức tạp)
	+ Chọn thêm các điểm nằm về hai phía của đồ thị ( so với nghiệm hoặc điểm uốn)
hàm số ; ad - bc ≠ 0
3)
• TXĐ : D = R\ 
• Sự biến thiên :
 + y’ = 
 + , => TCĐ : x = 
 + => TCN : y = 
 + Lập BBT và kết luận
• Chọn điểm đặc biệt và vẽ đồ thị . . .
 + Đồ thị nhận giao 2 tiệm cận làm TĐX
 + Giao với các trục tọa độ 
hàm số ; ad ≠ 0
4) (Nâng cao)
( Chia đa thức được : ad ≠ 0 )
• TXĐ : D = R\
• Sự biến thiên :
 + y’ = . . .
 + , => TCĐ : 
 + => TCX : 
 + 
 + Lập BBT và kết luận
• Chọn điểm đặt biệt và vẽ đồ thị 
 + Đồ thị nhận giao của 2 tiệm cận làm TĐX
 + Giao với các trục tọa độ 
CHÚ Ý:
+ Đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành
+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
4.CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
1) Giao điểm của : y = f (x) ; y = g(x)
 Lập PTHĐGĐ : f(x) = g(x) (*)
+ Nếu (*) vô no => 2 đường không có điểm chung.
+ Nếu (*) có 1 no kép => 2 đường tiếp xúc nhau.
+ Nếu (*) có n no => (*) có n giao điểm.
2) Dùng đồ thị biện luận số no :F (x,m) = 0(*)
 + Biến đổi F (x) = 0 về : f(x) = g(m).
 + Số no của (*) là số giao điểm của đồ thị (C)
 và đt y = g(m) luôn // 0x 
3) PTTT của 
 Dạng 1: PTTT của (C) tại M(xo ; y o) có dạng :
 ∆ : ; k = f’(xo)
 Dạng2:PTTT biết hệ số góc k cho trước 
 + Cho k =
 + Cho ∆// d: y = ax + b => k = a
 + Cho ∆ d: y = ax + b => k.a= -1
 PTTT ∆ : 
 k = f ’(xo) => xo => yo
 Dạng3:PTTT của (C) đi qua M(xo ; yo) có dạng:
 ∆ : 
 => y ==g(x) (1)
 ∆ tx với (C) 
 thay (2) vào (1) tìm x => k.
4) PTTT chung của y = f(x) và y = g(x) 
 + Giải pt: tìm tiếp điểm (x;y)
 +Viết PTTT tại tiếp điểm vừa tìm được
 5) Tìm điểm cố định
 Cho đường cong y = f(x,m) (Cm) , m là tham số
 Tìm m để họ (Cm) đi qua điểm cố định
 + Bước 1: Gọi (x0;y0) là điểm cố định(nếu có) của 
 (Cm), khi đó y0 = f(x0,m) (1) nghiệm đúng "m
 + Bước 2: Đưa (1) về dạng:
 Am +B = 0"m =>tìm x0, y0
Hoặc: Am2+Bm +C = 0"m =>tìm x0, y0
6) CM: I(x0;y0) là điểm đối xứng của y =f(x) 
 + Dùng công thức đổi hệ trục: 
 + Thay vào hs được Y= F(X)
 + CM: F(-X) = -F(X) 
 => hs Y là hs lẻ 
 => I(x0;y0) là điểm đối xứng 
 7) Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x)
 Dạng 1: y= |f(x)| :Ox trục đx
 + Vẽ y = f(x) với f(x) ³0 
 + Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị f(x) <0
 Đồ thị là phần phía trên Ox
 Dạng 2: y = f(|x|): Oy trục đx
 + Vẽ y = f(x) với x ³ 0
 + Vẽ đối xứng với f(x) qua Oy với x <0
 Dạng 3: |y| = f(x) 
 + Vẽ y = f(x) với x ³ 0
 + Vẽ đối xứng với f(x) qua Oy với x <0 
 Chú ý: f(x) = ax2 + bx + c, a ¹0 
• f(x) = 0 có 2 nghiệm p/b ¹ x0 
• f(x) > 0 "x 
•f(x) = ax2 + bx + c 
• f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu P<0
• f(x) = 0 có 2 nghiệm p/b âm 
• f(x) = 0 có 2 nghiệm dương p/b 
• f(x) = 0 có 2 nghiệm :x1 a.f(a) < 0
• f(x) = 0 có 2 nghiệm : a 
• f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 
5.Mũ và logarit:
Các công thức:
Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm thì a¹0
Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì a>0
•00 và 0n (n nguyên âm) không có nghĩa
•a0 = 1(a¹0); an = 
a¹0,b¹0 
•am.an = am+n
•
•(ax)y =ax.y
•(a.b)x = axbx
•( =
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
6. Nguyên hàm :
x ≠ 0
u ≠ 0