Ôn tập học kì II - Tốt nghiệp môn Toán 12

CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
Bảng nguyên hàm cần nhớ
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
 (Phải thuộc, phải nhớ, phải giỏi)
™ 1: NGUYÊN HÀM ˜
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 
2. f(x) = ĐS. F(x) = 
3. f(x) = ĐS. F(x) = ln + + C 
4. f(x) = ĐS. F(x) = 
5. f(x) = ĐS. F(x) = 
6. f(x) = ĐS. F(x) = 
7. f(x) = ĐS. F(x) = 
8. f(x) = ĐS. F(x) = 
9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 
14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = 
17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = 
18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C 
19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = 
20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = 
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 
3. f’(x) = 4 và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 
4. f’(x) = x - và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6. f’(x) = ax + ĐS. f(x) = 
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Phương pháp giải: 
Tính nguyên hàm I= (1) bằng phương pháp đổi biến.
 b1: Đặt t = (x) dt = 
 b2: Thay vào (1) ta được , dựa vào bảng nguyên hàm thường dùng tính 
 b3: Thay t=(x) vào nguyên hàm vừa tìm được suy ra kết quả
Ví dụ :
a) Xét nguyên hàm 
Đặt u = x-1 du = (x-1)’dx = dx Ta có: 
b) Xét ; đặt t=lnx dt = 
c)Tính A =
Giải. Đặt u = x + 1 x = u – 1; du = dx A = 
* Chú ý : Thường các em đặt t là căn, mũ, mẫu.
 - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
	- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
	- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
 - Nếu nguyên hàm chứa thì đặt .
BÀI TẬP
¯ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 	2. 	3. 	4. 
5. 	6. 	7. 	8. 
9. 	10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 	 16. 
17. 	18. 	 	19. 	20. 
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Phöông phaùp giaûi: 
 Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
Hay ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu nguyên hàm baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 * Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, ...
 - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv ( Ta cần chọn dv sao cho dễ tính được v)
ò Đặt 
B2: Khai trieån nguyên hàm ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn .
B3: Tính suy ra keát quaû.
Ví dụ : 
a/ Tìm 
Đặt 
Ta có : = - x.cosx + = - xcosx + sinx + C
b/Tìm I=
Đặt 
Khi đó: 
=x2.ex - 2
Tính 
 Đặt Þ =x.ex - =x.ex – ex +C1
Þ I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C
c/ Tìm 
Đặt Þ = xlnx - = xlnx – x + C
Ta thường gặp ba loại nguyên hàm như sau:
* Loại 1: 
: Trong đó là đa thức bậc n. 
 “ Ta phải tính n lần nguyên hàm từng phần với n là bậc của đa thức ”
*Loại 2: : Tính n lần nguyên hàm từng phần.
* Loại 3: 
Đây là hai nguyên hàm mà tính nguyên hàm này phải tính luôn cả nguyên hàm còn lại. 
 ? Thông thường ta làm như sau:
- Tính :Đặt . Sau khi nguyên hàm từng phần ta lại có tích phân .Ta lại áp dụng nguyên hàm từng phần với cách đặt u như trên.
- Từ hai lần nguyên hàm từng phần ta có mối quan hệ giữa hai nguyên hàm và dễ dàng tìm được kết quả.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 	
2. 	
3. 4.
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 11. 12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 22.	
23. 
˜ 2: TÍCH PHÂN ™
I/ Tóm tắt lí thuyết :
 1. Phương pháp đổi biến số.
 Cơ sở của phương pháp đổi biến là công thức (1)
Trong đó hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y=f(u) liên tục và sao cho hàm hợp f(u(x)) được xác định trên K; a và b là 2 số thuộc K
Phương pháp từng phần.
 Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:
 Hay 
ëTính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản:
1.	 	2 . 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 	17. 	18. 	
19. 	20. 	21. 
22. 	23. 
ëCác phương pháp tính tích phân :
@ Vấn đề 1 : Phương pháp đổi biến số.
A. Dạng 1 : Tính I = 
+ Đặt t = 
+ Đổi cận : 
x
 a b
t
 	 I = 
* Nhớ : đổi biến thì các em phải đổi cận.
* Chú ý : Thường các em đặt t là căn, mũ, mẫu.
 - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
	- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
	- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
Ví duï : Tính tích phaân sau :
 a/ b/
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Ñoåi caän: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vaäy I= 
b/ Ñaët t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
Ñoåi caän: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 Vaäy J = 
¯Áp dụng : Tính các tích phân sau đây :
 1. 	2. 	3. 4. 5. 	6. 	7. 	8. 9. 	10. 11. 	12. 
13. 	14. 	15. 	16. 17. 	18. 	19. 	20. 
 21. 	22. 23. 	24. 	
25. 	 26. 	 27. 	 28. 29. 	 30. 	31. 	 	32. 33. 34. 35.	36. 
37.. 	 38. 39. 40. 41. 42. 	43. 	44. 	
45. 	46. 	47. 	48. 	
49. 	50. 	51. 52. 
53. 54. 	55. 	56. 	
57. 58. 	59. 60. 61. 	62. 	63. 	64. 
65. 	66. 	67. 68. 	
69. 	70. 71. 72. 73. 	74) 	75) 76) 77) 	78) 	79) 80) 81) 	82) 	83). dx 	84). 85).dx 	86). dx 	87). 	88).dx 
89). dx	90).dx 	91) I = 	92). I = 93). I = 	 94). 	95). I = 96). I = 97) I= 98).	 	99)
B). Dạng 2 : Tính I = bằng cách đặt x = 
- Dạng chứa  : Đặt x = asint, t (a>0)
- Dạng chứa  : Đặt x = atant, t (a>0)
¯Áp dụng : Tính các tích phân sau đây :
1) 	 2) 	 3) 	 4) 
5) 	6) 	 	7). 	 	8). 	
9). 	10). 	11). 	12). 
@ Vấn đề 2 : Phương pháp tích phân từng phần.	 	
 * Công thức tính : 
 * Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, ...
 - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv ( Ta cần chọn dv sao cho dễ tính được v)
ò Đặt 
Ta thường gặp ba loại tích phân như sau:
* Loại 1: 
: Trong đó là đa thức bậc n. 
 “ Ta phải tính n lần tích phân từng phần với n là bậc của đa thức ”
*Loại 2: : Tính n lần tích phân từng phần.
* Loại 3: 
Đây là hai tích phân mà tính tích phân này phải tính luôn cả tích phân còn lại. 
 ? Thông thường ta làm như sau:
- Tính :Đặt . Sau khi tích phân từng phần ta lại có tích phân .Ta lại áp dụng TPTP với cách đặt u như trên.
- Từ hai lần TPTP ta có mối quan hệ giữa hai tích phân và dễ dàng tìm được kết quả.
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/ I= b/J=
Giaûi
a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
vaäy I=x cosx - = cosx= -1
b/ Ñaët :
Vaäy J= lnx. - 
¯Áp dụng : Tính các tích phân sau đây :
 1) 	 	 2) 	 3) 	
4) 	 5) 6) 	
 7). 	
8) 	
9) 
10) 11) 12) 13) 	 14). 
15). 
16). 
17). 18).
19). 	
20). 	
21). 	
22). 	
23). 	
24). . 
25). 26). 27).
28).
29).
30).
31).
32).
33).
34). 
35).
36).
37). 
38).
39). 
40). 
41). 
42). 
43). 44). 
45). 
46).
47). 
48). 
49).
50).
51).
52).	 
53).	 54).
ë TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
1. 	
2. 	
3). 
4. 	 
5. 	
6. 
7. 	
8. 	
10. 
11. 12). 
13). 
14. 15. 	 
16. 
ë TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: P(x), Q(x) là các đa thức.
+ Nếu bậc P(x) ³ bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc phương pháp hệ số bất định.
1. 	2. 	3. 	
4. 	5. 	6. 
7. 8 . 9.
˜ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC ™
@ Vấn đề 3 : Bài toán tính diện tích hình phẳng: 
1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi 1 ñöôøng cong vaø 3 ñöôøng thaúng.
Coâng thöùc:
Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a;b] khi ñoù dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C) :y=f(x) vaø caùc ñöôøng thaúng x= a; x=b; y= 0 laø :
 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : 
Phương pháp giải toán:
 B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
 B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
 TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
 TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
 TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
 * Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví du1:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2] và trục hoành .
Giải :
Ta có : sinx = 0 có 1 nghiệm x= vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S = = = 4 
Ví dụ 2: 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
Ph tr hđgd : x2 –2 x = x2 + 1 2x +1= 0 x = -1/2 . Do đó :
S =
= = =
Ví dụ 3:
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (P): y2 = 4 x , và đường thẳng(d): 2x+y-4 = 0.
Giải: Ta có (P): y2 = 4 x x = và (d): 2x+y-4 = 0 x= .
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: = 
vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 
 1). Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là: 
* PP giải toán: ta cần phải tìm đầy đủ 4 đường như trên và vì cần phải bỏ giá dấu giá trị tuyệt đối nên ta có 2 cách giải sau:
+ Cách 1: Phương pháp đồ thị: vẽ đồ thị hàm số (C): y = f(x) với 
Nếu đồ thị (C) nằm hoàn toàn trên trục Ox thì 
Nếu đồ thị (C) nằm hoàn toàn dưới trục Ox thì 
+ Cách 2: Phương pháp đại số: (xét dấu f(x) )
Giải phương trình: f(x) = 0 (*)
Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn .
Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a;b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
¯ Chú ý:
+ Diện tích S luôn là một giá trị dương.
+ Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi ( C): y=f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm thêm 2 đường x=a, x=b để làm cận tích phân. Đó chính là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 .
+ Phần lớn dạng toán này ta nên dùng phương pháp đồ thị hiệu quả hơn, một số ít phải dùng phương pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thị khó.	 
 2). Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
* PP giải toán: 
+ Cách 1: Phương pháp đồ thị: trên cùng mp tọa độ ta vẽ 2 đồ thị hàm số và .
Nếu đồ thị (C1) nằm trên (C2) thì 
Nếu đồ thị (C2) nằm trên (C1) thì 
+ Cách 2: Phương pháp đại số: (xét dấu f(x) )
Giải phương trình: f1(x) = f2(x) (*)
Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn .
Xét dấu hiệu f1(x) - f2(x) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 
¯Áp dụng :
1). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox và x= -2 ; x= 4 .
2). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ; trục Ox; x=-2 ; x=2. 
3).Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a.	 	b.
c. và trục Ox.	d. 	
e. .	f. .
g. , trục Ox và x = 0; x = 1.	h. .
i. .	 	j. .
k. 
l. và hai tiếp tuyến của nó tại các điểm A(0; -3), B(3; 0).
4). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
5). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
6). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
7). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng .
8). a). Giới hạn bởi y = x3 – 3x2 + 2x ; y = 0.
 b). Giới hạn bởi y = x2 – 2x ; y = x + 4.
 c). Giới hạn bởi các đường : y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1.
d). Giới hạn bởi y = x2 – 4x + 3 ; y = x – 1 ; x = 0 ; x = 2.
 e). ; 	f). ; 
 g).; 	h) ; y=4 
9). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 	y = x +1 ; y = x3 – 3x2 + x + 1. 
10). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox và x= 0 ; x= 1 .
11). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox và x= -1 ; x= 2
12). Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox và x=1. 
@ Vấn đề 4 : Bài toán tính thể tích khối tròn xoay: 
 Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
¯Áp dụng :
1). Tính thể tìch các khối tròn xoay do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox.
y = - x2 + 2x và y = 0	b). y = sin x, y = 0, x = 
c). y = cosx , y = 0, x = 0, x = 	d). y = và y = 5 – x 
e). y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2	f). 
2). Cho miền D giới hạn bởi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; .Tính SD và VD khi D quay quanh Ox. 
3). Cho miền D giới hạn bởi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.Tính SD và VD khi D quay quanh Ox..
 4). Cho miền D giới hạn bởi: ; y = 0.Tính VD khi D quay quanh Ox. 5). Cho miền D giới hạn bởi: ; y = 4. Tính VD khi D quay quanh Ox. 
6). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường : x = –1 ; x = 1 ;y = 0 y = x2 – 2x
a). Tính diện tích hình (H).
b). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình (H) xoay xung quanh trục Ox.
7) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bằng các đường sau đây quay xung quanh trục Ox : y = x2 – 1 và y = 0.
8). Cho miền D giới hạn bởi: y=; y=0 ; x=0 ; .Tính SD và VD khi D quay quanh Ox. 
9). Cho miền D giới hạn bởi: ; y=0 ; x=0 ; .Tính SD và VD khi D quay quanh Ox. 
10). Cho miền D giới hạn bởi: ; y = 0. Tính VD khi D quay quanh Ox. 
	..Hết.
J "H·y thùc sù cè g¾ng v× mäi sù cè g¾ng ®Òu cã ý nghÜa ! To live is to fight! "