Ôn tập học kì 1 Toán 12

Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
*Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
Các bước khảo sát:
+Tập xác định : D = R
+Tìm y' và xét dấu y'
+Tìm giới hạn của hàm số 
+Lập bảng biến thiên : dấu của y’, chiều biến thiên, giới hạn và điểm cực trị ( nếu có ) của hàmsố.
+Tìm y" và giải pt y" = 0 điểm uốn của đồ thị.
+Đồ thị: Nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
 Điểm đặc biệt : điểm uốn , điểm cực đại , điểm cực tiểu ( nếu có ) .Tìm thêm 2 hoặc 4 điểm để vẽ chính xác đồ thị.
Lưu ý: Nên tìm giao của đồ thị với trục tung ( cho x = 0 tìm y) và giao của đồ thị với trục hoành ( số giao điểm là số nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 )
* Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trùng phương
Các bước khảo sát: 
+Tập xác định : D = R
+Tìm y' và giải phương trình y'= 0
+Tìm giới hạn của hàm số 
+Lập bảng biến thiên : dấu của y’, chiều biến thiên, giới hạn và điểm cực trị ( nếu có ) của hàmsố.
+Đồ thị: Nhận trục Oy làm trục đối xứng
 Điểm đặc biệt : điểm uốn , điểm cực đại , điểm cực tiểu ( nếu có ) .Tìm thêm 2 điểm để vẽ chính xác đồ thị.
* Hàm số (C)
Các bước khảo sát: 
- TXĐ: D = R\
- Đạo hàm : 
 + hàm số nghịch biến trên TXĐ và không có cực trị
 + hàm số đồng biến trên TXĐ và không có cực trị
- Tiệm cận :
+ Tìm là tiệm cận đứng
+ là tiệm cận ngang 
- Lập bảng biến thiên : Chú ý: y’, y không xác định tại và giá trị của y khi 
- Đồ thị: 
+nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng
+giao điểm với hai trục toạ độ: 
* Hàm số (C)
Các bước khảo sát: 
Thực hiện phép chia tử cho mẫu 
- TXĐ: D = R\
- Đạo hàm : 
- Giải phương trình y’= 0 .
- Tiệm cận :
+ Tìm là tiệm cận đứng
+ là tiệm cận xiên 
- Lập bảng biến thiên :Chú ý: y’, y không xác định tại 
 - Đồ thị: 
Các dạng đồ thị hàm số: 
F Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) 
a > 0
a < 0
Phương trình y' = 0
có hai nghiệm phân biệt
Phương trình y' = 0
có nghiệm kép
Phương trình y' = 0
vô nghiệm
F Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị Û ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị Û ?
F Hàm số nhất biến : 
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
F Hàm số hữu tỷ (2/1) : (tử, mẫu không có nghiệm chung, ... )
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
Dạng 2: hàm số không có cực trị
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
Dạng 1: hàm số có cực trị 
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
I. Tìm giao điểm của hai đường
Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1 ) . 
Để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C1 ) ta giải phương trình: f (x) = g(x)	(1)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị (C) và (C1 ) .
Nếu x o , x1 ,... là các nghiệm của (1) thì các điểm M o (x o ; f (x o )), M1 (x1 ; f (x1 ))... là các giao điểm của (C) và (C1 ) .
II. Viết phương trình tiếp tuyến
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) Î (C).
	F Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) hay y – y0 = k(x – x0) (*)
	F Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
	Rút gọn ta có kết quả
Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(xA;yA)
	F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
	y – yA = k(x – xA)	(1)
	F Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:
	F Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
	C1: 	F Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k Þ .. Þ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)	
 F Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
	C2:	F Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) 
(trong đó m là tham số chưa biết)
	F Bước 2: Lập và giải hệ pt: Þ k = ? thay vào (**). 
 Ta có kết quả
Chú ý: Hai đồ thị hàm số y = f (x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ
III. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
a) Hàm số f(x) đồng biến trên (a;b) Û f ¢(x) ³ 0 với "x Î (a; b)
b) Hàm số f(x) nghịch biến trên (a;b) Û f ¢(x) £ 0 với "x Î (a; b)
phương trình sau đây có nghiệm:
IV.Cực đại và cực tiểu
Cho hàm số y = f(x) , xo thuộc tập xác định của hàm số. Nếu khi x đi qua xo đạo hàm đổi dấu thì xo là một điểm cực trị của hàm số.
o	Nếu đổi dấu từ + sang – thì xo là điểm cực đại của hàm số.
o	Nếu đổi dấu từ - sang + thì xo là điểm cực tiểu của hàm số.
Để tìm các điểm cực trị của hàm số ta có hai quy tắc:
o	Tìm các điểm tới hạn sau đó xét dấu của đạo hàm f ¢(x)
o	Giải phương trình f ¢(x) = 0. Gọi xi là các nghiệm. Xét dấu của f ¢¢(x)
f”(xi) > 0 Þ xi là điểm cực tiểu.
f”(xi) < 0 Þ xi là điểm cực đại.
Bài toán : Tìm m để hàm số y = f(x) có cực trị và các điểm cực trị thỏa mãn điều kiện nào đó.
- Tìm điều kiện m để cho đạo hàm của hàm số có đổi dấu (số lần đổi dấu bằng số cực trị)
- Tìm tọa độ của các điểm cực trị rồi đặt tiếp điều kiện của m để thỏa mãn điều kiện mà bài toán yêu cầu.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
	+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
	+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
2) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
	+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].
	+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
	+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tìm GTLN của hàm số : 
Tìm GTNN của hàm số : với x > 0 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : trên 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : trên 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: với 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : trên 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : trên 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : trên 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: với 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Tìm GTNN của hàm số : trên đoạn 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 
Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số sau : 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 
Chứng minh các bất đẳng thức sau : 
Bài 1: Cho hàm số .
	a) Khảo sát hàm số khi m=1.
	b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Bài 2: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 3: Chứng minh rằng
	a) x > sinx	"x Î (-π/2,π/2).
	b) .
	c) .
Bài 4) Cho hàm số , m là tham số, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có 2 giao điểm phân biệt A và B. 
Bài 5) Cho hàm số , có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.
Bài 6 :	Cho hàm số gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất 
Tìm những điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ được hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm I;J chứng minh rằng S là trung điểm của IJ
Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến của đường cong (C)
Bài 7:
	Cho hàm số
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
Chứng tỏ rằng đồ thị có tâm đối xứng 
Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
Bài 8:
	 Cho hàm số 
	a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó
Bài 9 :
	Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.
Chương I: HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
* ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
(ax)’ = ax lna ; (au)’ = u’ au lna , u = u(x)
(ex)’ = ex ;(eu)’ = u’ eu , u = u(x) 
BÀI TẬP
I. Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức  đối với lũy thừa.
Bài 1. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau :
a/. 	 b/. ; a > 0. 	 c/. ; (x > 0)	d/. ; (ab > 0)
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau :
a/. 	b/. 	c/. 
d/. 	e/. 
h/. 
Bài 3. Đưa nhân tử ở ngoài vào dấu căn: a/. 	b/. 
Bài 4. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau :
a/. 	b/. 	c/. 	d/. 	e/. 
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức :
a/. 	b/. ; với và 
c/. ; với và 
Bài 6. Chứng minh đẳng thức sau : 
a/. 	b/. 
c/. 	d/. 
Bài 7. Rút gọn biểu thức :
a/. 	b/. 	c/. 	d/. 
Bài 8. ViÕt biÓu thøc sau d­íi d¹ng luü thõa víi sè mò h÷u tØ: 	
Bài 9. Khi nµo c¸c ®¼ng thøc sau lu«n ®óng?
	a) 	b) 	c) .
Bài 10. Cã thÓ viÕt: ®­îc kh«ng?
II. Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức  đối với mũ và lôgarit.
 Bài 1. Tính giaù trò caùc bieåu thöùc sau :
	1/ 
Bài 2. Tính giaù trò caùc bieåu thöùc sau :
Bài 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
A = 	B = 
C = 	D = 
Bài 4. Rót gän biÓu thøc:	 A = B = 	 C = 
Bài 5. Tính: 	a. 	b. 
	c. 	d. 
	e. 	f. 
	g. 	h. 
	i. 	j. 
 Bài 6. Biết: log5 = a. Tính: log125000; log0,00625; 
Bài 7.	a) Biết: , tính 	b) Biết: , Tính 
	c) Biết: , Tính 	d) Tính log40 biết = a
 Bài 8. 	a) Tính biết 	b) Tính biết 
	c) Tính biết = a	d) Tính biết = a
	e) Tính biết 
Bài 9. 	a) Biết , Tính 	b) Biết . Tính 
Bài 10. BiÕn ®æi c¸c biÓu thøc sau vÒ d¹ng luü thõa cã sè a, biÕt: 
 a, A = vµ a = 3 	b, B = vµ a = 
III. So sánh
Bài 1. So sánh:	a/. và 	b/. và 	c/. và 
Bài 2. So s¸nh a, b biÕt: a) b) 
Bài 3. C¸c bÊt ®¼ng thøc sau ®óng hay sai, t¹i sao?
a) 	 b) 	c) 	 d) .
Bài 4. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc sau:
	a) 	b) .
Bài 5. Cã nhËn xÐt g× vÒ sè a nÕu: a) 	b) 	c) 	(Cho a > 0).	
Bài 6. T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: 
	a) 	b) 	c) víi 1 < a < b.
	d) 	e) 	f) .
IV. Đồ thị hàm số mũ và lôgarit
Bài 1. Vẽ đồ thị các hàm số: a, y = 2x	b, y = 
Bài 2. C¨n cø vµo ®å thÞ: vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
	a) 	b) 	c) 	d) .
Bài 3. VÏ ®å thÞ hµm sè: y = 3x. Tõ ®ã suy ra c¸ch vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
	a) 	b) 
Bài 4. Trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é, vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè: . 
	H·y cho biÕt, khi nµo th× ?
Bài 5. Vẽ đồ thị các hàm số: a, y = 	b, y = 
Bài 6. VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 7. VÏ ®å thÞ c¸c hµm sè: 	a, y = 	b, y = -e c, y = 
Bài 8. VÏ c¸c ®å thÞ sau:	a) 	b) 
Bài 9. VÏ c¸c ®å thÞ sau:	a) 	b) 
Bài 10. VÏ ®å thÞ hµm sè: . Tõ ®ã h·y suy ra c¸ch vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau:
	a) 	b) 	c) ) 	d) .
Bài 11. Cho hµm sè: 
	a) VÏ ®å thÞ hµm sè Êy vµ so s¸nh víi ®å thÞ hµm sè 
	b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× hµm sè cã gi¸ trÞ lÇn l­ît b»ng 4, 8, 32?
	c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× hµm sè cã gi¸ trÞ lín h¬n 2?
	d) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× hµm sè cã gi¸ trÞ lín h¬n 1 nh­ng bÐ h¬n 2?
Bài 12. T×m TX§:	a) 	b) 
Bài 13. T×m TX§:	a) 	b) 
V. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit
Bài 1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
	1. y = 	2. y = 	3. y = 
	4. y = 	5. 	6. y = cosx.
	7. y = 	8. y = x.	9. y = 
	10. y = 	11. y = 	12. y = 
Bài 2.T×m ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau:
	1. y = 	2. y = 	3. y = 	 	
4. y = 	5. y = 	6. y = 
	7. y = 	8. y = 	9. y = 	
10. y = 	11. y = 	12. y = 
Bài 3.Chøng minh r»ng: 
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: xy’ = y(ylnx - 1)
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: 
2y = xy’ + lny’
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc:
y’ = 
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: 2x2y’ = 
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: 
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: y” - 4y’ + 29y = 0
Hµm sè y = tháa m·n hÖ thøc: x.y’ - (1 - x)y = 0
Bài 4:
1/-Cho y = . Cmr: 
2/-Cho . Cmr: 
3/-Cho . Cmr:
4/-Cho . Cmr: 
5/-Cho . Cmr: 
6/-Cho y = e2xsin5x . Cmr: y”- 4y’ + 29y = 0
8/-Cho . Chứng minh rằng: