Ôn tập Hình học giải tích trong mặt phẳng

Ôn tập Hình học giải tích trong mặt phẳng
Đào Thắng CHV 0982.05.22.08-0919.686.357 Tháng 11-2009
Chú ý: Tất cả các Bài tập sau đều xét trong Hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy.
Bài 1. (D-04) Cho ∆ABC có A(−1; 0), B(4; 0), C(0;m) với m 6= 0. Tìm tọa độ trọng
tâm G của ∆ABC theo m và xác định m để ∆GAB vuông tại G.
Bài 2. (B1-04) Cho I(−2; 0) và d1 : 2x−y+5 = 0, d2 : x+y−3 = 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua I và cắt 2 đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A,B sao cho
−→
IA = 2
−→
IB.
Bài 3. (D1-03) Cho ∆ABC có A(1; 0) và 2 đường thẳng lần lượt chứa các đường cao
vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là x − 2y + 1 = 0 và 3x + y + 1 = 0. Tính
diện tích ∆ABC.
Bài 4. (B-09) Cho tam giácABC cân tạiA(−1; 4) và các đỉnhB,C ∈ ∆ : x−y−4 = 0.
Xác định tọa độ các đỉnh B,C biết S(∆ABC) = 18.
Bài 5. (B2-06) Cho ∆ABC có A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x −
3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x+ y + 1 = 0. Xác định
tọa độ các đỉnh B,C.
Bài 6. (D-09) Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường
trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và
6x− y − 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
Bài 7. (B-08) Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc
của C trên AB là H(−1;−1), đường phân giác trong góc A là d : x − y + 2 = 0 và
đường cao từ B là ∆ : 4x+ 3y − 1 = 0.
Bài 8. (CĐ-08) Tìm điểm A ∈ Ox,B ∈ Oy sao cho A,B đối xứng với nhau qua
d : x− 2y + 3 = 0.
Bài 9. (A-05) Cho 2 đường thẳng d1 : x− y = 0, d2 : 2x+ y − 1 = 0. Tìm tọa độ các
đỉnh của hình vuông ABCD biết A ∈ d1, C ∈ d2;B,D ∈ Ox.
Bài 10. (B-02) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I
(1
2
; 0
)
, AB : x − 2y + 2 = 0 và
AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết đỉnh A có hoành độ âm.
Bài 11. (A-09) Cho hình chữ nhật ABCD có I(6; 2) là giao điểm của 2 đường chéo
AC và BD. ĐiểmM(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc
đường thẳng ∆ : x+ y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 12. (A-02) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường thẳng BC :
√
3x−y−√3 = 0,
các đỉnh A,B ∈ Ox và bán kính đường trong nội tiếp r = 2. Tìm tọa độ trọng tâm G
của ∆ABC.
Bài 13. (B-03) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1;−1) là trung điểm của
cạnh BC và G
(2
3
; 0
)
là trọng tâm ∆ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
1
Bài 14. (B2-05) Cho ∆ABC cân tại A, có trọng tâm G
(4
3
;
1
3
)
, BC : x− 2y − 4 = 0
và BG : 7x− 4y − 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 15. (B1-06) Cho ∆ABC cân tại B, với A(1;−1), C(3; 5) và B ∈ d : 2x− y = 0.
Viết phương trình các đường thẳng AB,BC.
Bài 16. (D2-04) Cho A(2; 3) và d1 : x + y + 5 = 0, d2 : x + 2y − 7 = 0. Tìm
B ∈ d1, C ∈ d2 sao cho ∆ABC có trọng tâm là G(2; 0).
Bài 17. (D1-04) Cho ∆ABC vuông tại A. Biết A(−1; 4), B(1;−4) và BC đi qua điểm
K
(7
3
; 2
)
. Tìm tọa độ đỉnh C.
Bài 18. (A2-04) Cho điểm A(0; 2) và d : x − 2y + 2 = 0. Tìm trên d hai điểm B,C
sao cho ∆ABC vuông tại B và AB = 2BC.
Bài 19. (A2-06) Cho ∆ABC có A ∈ d : x − 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d,
đường cao BH : x+ y+ 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC làM(1; 1). Tìm tọa độ các
đỉnh A,B,C.
Bài 20. (D1-07) Cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B ∈ Ox có hoành độ không âm, C ∈ Oy
có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm tọa độ các điểm B,C
sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Bài 21. (D2-07) Cho hai điểm A(0; 1), B(2;−1) và hai đường thẳng:
d1 : (m− 1)x+ (m− 2)y + 2−m = 0, d2 : (2−m)x+ (m− 1)y + 3m− 5 = 0.
Chứng minh rằng d1, d2 luôn cắt nhau ∀m. Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m sao
cho PA+ PB lớn nhất.
Bài 22. (D-09) Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C), xác
định tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho ÎMO = 300.
Bài 23. (D-03) Cho d : x−y−1 = 0 và (C) : (x−1)2+(y−2)2 = 4. Viết phương trình
đường tròn (C ′) đối xứng với (C) qua d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C ′).
Bài 24. (A-04) Cho điểm A(0; 2), B(−√3;−1). Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường
tròn ngoại tiếp ∆OAB.
Bài 25. (A-09) Cho (C) : x2+y2+4x+4y+6 = 0 và∆ : x+my−2m+3 = 0. Gọi I
là tâm của (C). Tìmm để∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho S(∆IAB)max .
Bài 26. (B-06) Cho điểmM(−3; 1) và (C) : x2 + y2 − 2x− 6y + 6 = 0. Gọi T1, T2 là
các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từM đến (C). Viết phương trình đường thẳng T1T2.
Bài 27. (D-06) Cho d : x− y + 3 = 0, (C) : x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0. Tìm M ∈ d
sao cho đường tròn tâmM có bán kính gấp đôi bán kính (C) và tiếp xúc ngoài với (C).
Bài 28. (B-05) Cho 2 điểm A(2; 0), B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc
với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến B bằng 5.
Bài 29. (B-09) Cho (C) : (x− 2)2 + y2 = 4
5
và ∆1 : x− y = 0,∆2 : x− 7y = 0. Xác
định tọa độ tâm K của đường tròn (C1) biết (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1,∆2
và tâm K ∈ (C).
2
Bài 30. (D-07) Cho d : 3x− 4y+m = 0, (C) : (x− 1)2+(y+2)2 = 9. Tìm m để trên
d có duy nhất điểm P mà từ đó có thể kẻ được các tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A,B là
các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
Bài 31. (A1-07) Cho (C) : x2+ y2 = 1. Đường tròn (C ′) có tâm I(2; 2) cắt (C) tại hai
điểm A,B : AB =
√
2. Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 32. (B1-07) Cho d : x − 2y + 15 = 0, (C) : (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25. Xác định
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A ∈ d.
Bài 33. (B2-07) Cho (C) : x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn
(C ′) có tâm M(5; 1) biết (C ′) cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB =
√
3.
Bài 34. (D2-02) Cho hai đường tròn:
(C1) : x
2 + y2 − 10x = 0 ; (C2) : x2 + y2 + 4x− 2y − 20 = 0
1) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm thuộc
d : x+ 6y − 6 = 0.
2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của (C1), (C2).
Bài 35. (B1-02) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
(C1) : x
2 + y2 − 4y − 5 = 0 ; (C2) : x2 + y2 − 6x+ 8y + 16 = 0
Bài 36. (A1-02) Cho d : x− y + 1 = 0 và (C) : x2 + y2 + 2x− 4y = 0. Tìm M ∈ d
mà qua đó kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho ÂMB = 600.
Bài 37. (B1-03) Cho d : x− 7y + 10 = 0 và ∆ : 2x+ y = 0. Viết phương trình đường
tròn có tâm thuộc ∆ và tiếp xúc với d tại điểm A(4; 2).
Bài 38. (A1-04) Cho d : x − y + 1 − √2 = 0. Viết phương trình đường tròn đi qua
điểm A(−1; 1), qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với d.
Bài 39. (A2-05) Cho (C) : x2 + y2 − 4x− 6y − 12 = 0. Gọi I là tâm, R là bán kính
của (C). Tìm M ∈ d; 2x− y + 3 = 0 sao cho MI = 2R.
Bài 40. (D2-05) Cho hai đường tròn
(C1) : x
2 + y2 = 9 ; (C2) : x
2 + y2 − 2x− 2y − 23 = 0
Viết phương trình trục đẳng phương d của hai đường tròn đã cho. Tìm K ∈ d sao cho
khoảng cách từ K đến tâm của (C1) bằng 5.
Bài 41. (B1-05) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(0; 5), B(2; 3) và có
bán kính R =
√
10.
Bài 42. (A1-05) Cho (C1) : x
2 + y2 − 12x − 4y + 36 = 0. Viết phương trình đường
tròn (C2) tiếp xúc với hai trục tọa độ đồng thời tiếp xúc ngoài với (C1).
Bài 43. (A-08) Viết phương trình chính tắc của elips (E) biết rằng (E) có tâm sai
e =
√
5
3
và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20.
3
Bài 44. (D-02) Cho (E) :
x2
16
+
y2
9
= 1. Xét điểmM ∈ Ox,N ∈ Oy sao choMN tiếp
xúc với (E). Xác định M,N sao cho MN có độ dài nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 45. (D-05) Cho điểm C(2; 0) và (E) :
x2
4
+
y2
1
= 1. Tìm tọa độ các điểm
A,B ∈ (E) biết rằng A,B đối xứng với nhau qua trục hoành và 4ABC đều.
Bài 46. (D1-02) Cho (E) :
x2
9
+
y2
4
= 1 và dm : mx− y − 1 = 0.
1) Chứng minh rằng dm luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt ∀m.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;−3).
Bài 47. (B2-03) Cho (E) :
x2
4
+
y2
1
= 1 và các điểm M(−2; 3), N(5;n). Viết phương
trình các đường thẳng d1, d2 qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong số các tiếp
tuyến của (E) đi qua N có một tiếp tuyến song song với d1 hoặc d2.
Bài 48. (B2-04) Cho (E) :
x2
8
+
y2
4
= 1. Viết phương trình các tiếp tuyến của (E)
song song với d : x+
√
2y − 1 = 0.
Bài 49. (D1-05) Cho (E) :
x2
64
+
y2
9
= 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của (E) biết
d cắt hai trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho OA = 2OB.
Bài 50. (A1-06) Cho (E) :
x2
12
+
y2
2
= 1. Viết phương trình Hyperbol (H) có hai đường
tiệm cận là y = ±2x và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của (E).
Bài 51. (D2-06) Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có độ dài trục lớn bằng 4
√
2,
các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 52. (D-08) Cho (P ) : y2 = 16x và A(1; 4). Hai điểm B,C phân biệt khác A di
động trên (P ) sao cho B̂AC = 900. CMR đường thẳng BC luôn đi qua điểm cố định.
Chúc các em thi Tốt! Thành công!
4