Ôn tập Hình học giải tích trong Không gian

Ôn tập Hình học giải tích trong Không gian
Đào Thắng CHV 0982.05.22.08-0919.686.357 Tháng 11-2009
Chú ý: Tất cả các Bài tập sau đều xét trong Hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz.
Bài 1. (D-02) Cho (P ) : 2x−y−2 = 0 và dm :
{
(2m+ 1)x+ (1−m)y +m− 1 = 0
mx+ (2m+ 1)z + 4m+ 2 = 0
.
Xác định m để dm song song với (P ).
Bài 2. (A-02) Cho 2 đường thẳng:∆1 :
{
x− 2y + z − 4 = 0
x+ 2y − 2z + 4 = 0 và∆1 :

x = 1 + t
y = 2 + t
z = 1 + 2t
.
1) Viết phương trình mp(P ) chứa ∆1 và song song với ∆2.
2) Cho điểm M(2; 1; 4), tìm tọa độ điểm H ∈ ∆2 sao cho MH nhỏ nhất.
Bài 3. (A-03) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C ′D′ có A trùng với gốc tọa độ,
B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A′(0; 0; b), (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC ′.
1) Tính thể tích khối tứ diện BDA′M theo a, b.
2) Xác định tỷ số
a
b
sao cho mp(A′BD)⊥mp(MBD).
Bài 4. (B-03) Cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho
−→
AC = (0; 6; 0).
Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Bài 5. (D-03) Cho dk :
{
x+ 3ky − z + 2 = 0
kx− y + z + 1 = 0 . Tìm k để dk⊥(P ) : x−y−2z+5 = 0.
Bài 6. (D-05) Cho 2 đt d1 :
x− 1
3
=
y + 2
−1 =
z + 1
2
và d2 :
{
x+ y − z − 2 = 0
x+ 3y − 12 = 0 .
1) Chứng minh d1//d2. Viết phương trình mp(P ) chứa d1 và d2.
2) Mp(Oxz) cắt d1, d2 lần lượt tại A,B. Tính S(4OAB).
Bài 7. (A-04) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại
O, A(2; 0; 0), S(0; 0; 2
√
2). Gọi M là trung điểm của SC.
1) Tính góc và khoảng cách giữa SA và BM .
2) Giả sử (ABM) cắt SD tại N . Tính V (S.ABMN).
Bài 8. (D-04) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1.
Biết A(a; 0; 0), B(−a; 0; 0), C(0; 1; 0), B1(−a; 0; b), a > 0, b > 0.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B1C và AC1 theo a, b.
2) Cho a, b thay đổi thỏa mãn a+ b = 4. Tìm a, b để d(B1C,AC1) lớn nhất.
Bài 9. (D-04) Cho ba điểm A(2; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và (P ) : x+ y+ z− 2 = 0.
Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A,B,C và có tâm thuộc (P ).
Bài 10. (A-06) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),
D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
1) Tính d(A′C,MN).
2) Viết PT mặt phẳng chứa A′C và tạo với (Oxy) một góc α với cosα =
1√
6
.
1
Bài 11. (B-06) Cho A(0; 1; 2) và 2 đt d1 :
x
2
=
y − 1
1
=
z + 1
−1 ; d2 :

x = 1 + t
y = −1− 2t
z = 2 + t
.
1) Viết phương trình (P ) qua A, đồng thời song song với d1, d2.
2) Tìm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho ba điểm A,M,N thẳng hàng.
3) Tìm H ∈ d1 sao cho AH nhỏ nhất.
4) Tìm X ∈ d1, Y ∈ d2 sao cho XY ngắn nhất.
Bài 12. (D-06) Cho 2 đt d1 :
x− 2
2
=
y + 2
−1 =
z − 3
1
và d2 :
x− 1
−1 =
y − 1
2
=
z + 1
1
.
1) Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với điểm A(1; 2; 3) qua d1.
2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1; 2; 3), vuông góc với d1 và cắt d2.
Bài 13. (B-05) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C ′
với A(0;−3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B′(4; 0; 4).
1) Tìm tọa độ các đỉnh A′, C ′. Viết PT mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCC ′B′).
2) Gọi M là trung điểm của A′B′. Viết phương trình (P ) đi qua hai điểm A,M và
song song với BC ′. Mặt phẳng (P ) cắt A′C ′ tại N . Tính độ dài đoạn MN.
Bài 14. (A-05) Cho d :
x− 1
−1 =
y + 3
2
=
z − 3
1
và (P ) : 2x+ y − 2z + 9 = 0.
1) Tìm I ∈ d sao cho d(I, (P )) = 2.
2) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P ). Viết phương trình tham số của đường thẳng
∆ ⊂ (P ) biết ∆ đi qua A và vuông góc với d.
Bài 15. (A2-02) Cho d1 :
{
x− az − a = 0
y − z + 1 = 0 và d2 :
{
ax+ 3y − 3 = 0
x+ 3z − 6 = 0 .
1) Tìm a để d1, d2 chéo nhau.
2) Với a = 2, viết phương trình (P ) chứa d2 và song song với d1. Khi đó tính d(d1, d2).
Bài 16. (B1-02) Cho d :
{
2x+ y + z + 1 = 0
x+ y + z + 2 = 0
và (P ) : 4x− 2y + z − 1 = 0.
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P ).
Bài 17. (B2-02) Cho hai điểm A(−1;−3;−2), B(−5; 7; 12) và (P ) : x−y+z−3 = 0.
1) Tìm C đối xứng với A qua (P ).
2) Tìm M ∈ (P ) sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. (A1-02) Cho d :
{
2x− 2y − z + 1 = 0
x+ 2y − 2z − 4 = 0 ; (S) : x
2+y2+z2+4x−6y+m = 0.
Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho MN = 8.
Bài 19. (B2-03) Cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi
qua hai điểm I,K và tạo với (Oxy) một góc bằng 300.
Bài 20. (D2-03) Cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0;−1;−3) và đt d :
{
3x− 2y − 11 = 0
y + 3z − 8 = 0.
2
1) Viết phương trìnhmp(P ) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB.
Gọi K là giao điểm của d và (P ), chứng minh d⊥IK.
2) Viết PTTQ của hình chiếu vuông góc của d trên mp(Q) : x+ y − z + 1 = 0.
Bài 21. (A2-03) Cho tứ diệnABCD vớiA(2; 3; 2), B(6;−1;−2), C(−1;−4; 3), D(1; 6; 5).
Tính góc giữa hai đt AB,CD. Tìm M ∈ CD sao cho 4ABM có chu vi nhỏ nhất.
Bài 22. (A1-03) Cho d1 :
x
1
=
y + 1
2
=
z
1
, d2 :
{
3x− z + 1 = 0
2x+ y − 1 = 0.
1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau.
2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả d1, d2 và song song với đường
thẳng ∆ :
x− 4
1
=
y − 7
4
=
z − 3
−2 .
Bài 23. (B1-03) Cho tứ diện OABC với A(0; 0; a
√
3), B(a; 0; 0), C(0; a
√
3; 0). GọiM
là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM .
Bài 24. Cho (P ) : 2x+2y+ z−m2− 3m và (S) : (x− 1)2+(y+1)2+(z− 1)2 = 9.
Tìm m để (P ) tiếp xúc với (S), khi đó hãy tìm tọa độ của tiếp điểm. (D1-03)
Bài 25. (D2-04) Cho A(0; 1; 1) và d :
{
x+ y = 0
2x− z − 2 = 0 . Viết phương trình (P ) qua
A và ⊥d. Tìm tọa độ hình chiếu B′ của B(1; 1; 2) trên (P ).
Bài 26. Cho hai điểm A(2; 0; 0) và M(1; 1; 1).
1) Tìm tọa độ điểm O′ đối xứng với O qua đường thẳng AM .
2) Gọi (P ) là mặt phẳng thay đổi luôn chứa AM , cắt các trục Oy,Oz lần lượt tại các
điểm B(0; b; 0), C(0; 0; c), b > 0, c > 0. Chứng minh rằng 2b + 2c = bc. Xác định b, c
sao cho 4ABC có diện tích nhỏ nhất.
Bài 27. (B1-04) Cho A(4; 4; 2), B(0; 0; 7) và d :
x− 3
−2 =
y − 6
2
=
z − 1
1
. Chứng minh
AB và d thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm C ∈ d sao cho 4ABC cân tại A.
Bài 28. (D1-04) Cho ba điểm A(2; 0; 0), B(2; 2; 0), C(0; 0; 2).
1) Tìm tọa độ điểm O′ đối xứng với điểm O qua mp(ABC).
2) Cho điểm S di chuyển trên Oz, gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SA.
Chứng minh dt(4OBH) < 4.
Bài 29. (A2-04) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AC cắt
BD tại gốc tọa độ O. Biết A(
√
2;−1; 0), B(√2;−1; 0), S(0; 0; 3).
1) Viết PTTQ của mặt phẳng qua trung điểmM của AB, song song với AD và SC.
2) Gọi (P ) là mp qua B và ⊥SC. Tính diện tích thiết diện của S.ABCD với (P ).
Bài 30. (A2-05) Cho hình lăng trụ đứng OAB.O′A′B′.
Biết O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), O′(0; 0; 4).
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O,A′, B′, O′.
2) Gọi M là trung điểm của AB, mp(P ) qua M và ⊥O′A cắt OA,A′A lần lượt tại
K,N . Tính KN .
3
Bài 31. (D2-05) Cho điểm M(5; 2;−3) và (P ) : 2x+ 2y − z + 1 = 0.
1) Tìm tọa độ điểm M ′ là hình chiếu vuông góc của M trên (P ) và tính MM ′.
2) Viết PTTQ của mp(Q) qua M và chứa ∆ :
x− 1
2
=
y − 1
1
=
z − 5
6
.
Bài 32. (B1-05) Cho hình lập phươngABCD.A′B′C ′D′ cóA ≡ O,B(2; 0; 0), D′(0; 2; 2).
1) Xác định các đỉnh còn lại của hình lập phương. Gọi M là trung điểm của BC,
chứng minh (AB′D′)⊥(AMB′).
2) Chứng minh rằng tỷ số các khoảng cách từ điểm N ∈ AC ′, N 6= A đến hai mp
(AB′D′) và (AMB′) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N .
Bài 33. (A1-05) Cho ba điểm A(2; 0; 0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4).
1) Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đt SC.
2) Tìm B ∈ (Oxy) sao cho OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi
qua bốn điểm O,B,C, S.
Bài 34. (D1-05) Cho d1 :
x
1
=
y
1
=
z
2
và d2 :

x = −1− 2t
y = t
z = 1 + t.
1) Xét vị trí tương đối của d1 và d2.
2) Tìm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho MN// (P ) : x− y + z = 0 và MN =
√
2.
Bài 35. (B1-06) d1 :
x− 3
−1 =
y − 1
2
=
z
1
và d2 :

x = 1 + t
y = −1− t
z = 2.
1) Viết phương trình mp chứa d2 và song song với d1.
2) Xác định A ∈ d1, B ∈ d2 sao cho AB ngắn nhất.
Bài 36. (B2-06) Cho A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và (P ) : 2x− y + 2z + 5 = 0.
1) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên (P ).
2) Viết PT mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với (P ).
Bài 37. (A2-06) Cho A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) và (P ) : 3x+ 2y − z + 4 = 0.
1) Tìm tọa độ giao điểm của AB với (P ).
2) Xác định K sao cho KI⊥(P ), đồng thời K cách đều O và (P ), với I là trung
điểm của AB.
Bài 38. (D1-06) Cho d1 :
x
−1 =
y − 3
2
=
z + 1
3
và d2 :
x− 4
1
=
y
1
=
z − 3
2
.
1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau. Tính khoảng cách d(d1, d2).
2) Viết PTTQ của đt ∆ ⊂ (P ) : 4x− 3y + 11z − 26 = 0 và cắt cả d1, d2.
Bài 39. (A1-07) Cho A(−1; 3;−2), B(−3; 7;−18) và (P ) : 2x− y + z + 1 = 0.
1) Viết PTTS của mặt phẳng chứa AB và ⊥(P ).
2) Tìm M ∈ (P ) sao cho MA+MB nhỏ nhất.
Bài 40. (D1-07) Cho d :
x− 3
2
=
y + 2
1
=
z + 1
−1 và (P ) : x+ y + z + 2 = 0.
1) Tìm tọa độ giao điểm M của d và (P ).
2) Viết phương trình đt ∆ ⊂ (P ) sao cho ∆⊥d và d(M,∆) = √42.
4
Bài 41. (A-08) Cho A(2; 5; 3) và đường thẳng d có phương trình:
d :
x− 1
2
=
y
1
=
z − 2
2
1) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d.
2) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho d(A; (α)) max.
Bài 42. (D-08) Cho 4 điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3), D(3; 3; 3).
1) Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D.
2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 43. (B-08) Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2;−2− 1), C(−2; 0; 1).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C.
2) Tìm tọa độ điểm M ∈ 2x+ 2y + z − 3 = 0 sao cho MA =MB =MC.
Bài 44. (D-09) Cho các điểmA(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và (P ) : x+y+z−20 = 0.
Xác định D ∈ AB sao cho CD//(P ).
Bài 45. (D-09) Cho ∆ :
x+ 2
1
=
y − 2
1
=
z
−1 và (P ) : x + 2y − 3z + 4 = 0. Viết
phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) sao cho d cắt và vuông góc với ∆.
Bài 46. (B-09) Cho tứ diệnABCD vớiA(1; 2; 1), B(−2; 1; 3), C(2;−1; 1) vàD(0; 3; 1).
Viết phương trình (P ) đi qua A,B sao cho d(C, (P )) = d(D; (P )).
Bài 47. (B-09) Cho (P ) : x − 2y + 2z − 5 = 0 và A(−3; 1; 0), B(1;−1; 3). Trong
các đường thẳng đi qua A và song song với (P ), hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Bài 48. (A-09) Cho (P ) : 2x−2y−z−4 = 0, (S) : x2+y2+z2−2x−4y−6z−11 = 0.
Chứng minh rằng (P ) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán
kính của đường tròn đó.
Bài 49. (A-09) Cho (P ) : x− 2y + 2z − 1 = 0 và 2 đường thẳng
∆1 :
x+ 1
1
=
y
1
=
z + 9
6
;∆2 :
x− 1
2
=
y − 3
1
=
z + 1
−2
Xác định M ∈ ∆1 sao cho d(M,∆2) = d(M, (P )).
5