Ôn tập Giải tích 12 nâng cao - Kì 2

Chương III: NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
Bài 1 : NGUYÊN HÀM 
I/ Tóm tắt lí thuyết :
1/ Định nghĩa 1: Cho hàm số xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f (x) với mọi x thuộc K.
 Định nghĩa 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì F(x) + C là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Kí hiệu 
 ta có: 
2/ Tính chất:
 Tính chất 1: 
 Tính chất 2: 
 Tính chất 3:
Tính chất 4:Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì( a≠0)
3/ Bảng nguyên hàm thường dùng.
4/ Các phương pháp tính nguyên hàm:
a/ Phương pháp đổi biến:
b/ Phương pháp từng phần:
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải: 
 Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
Giải
a/
b/
c/
d/ 
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Phương pháp giải: 
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F()= 0.
Giải
Ta có F(x)= x – cos3x + C. Do F() = 0 - cos + C = 0 C = -.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x -
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:
Phương pháp giải: 
Tính nguyên hàm (1) bằng phương pháp đổi biến.
 b1: Đặt t = (x) dt = 
 b2: Thay vào (1) ta được , dựa vào bảng nguyên hàm thường dùng tính 
 b3: Thay t=(x) vào nguyên hàm vừa tìm được suy ra kết quả
Ví dụ :
a) Xét nguyên hàm 
Đặt u = x-1 du = (x-1)’dx = dx Ta có: 
b) Xét ; đặt t=lnx dt = 
c)Tính A =
Giải. Đặt u = x + 1 x = u – 1; du = dx A = 
Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp Từng phần:
Phöông phaùp giaûi: 
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu nguyên hàm baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 B2: Khai trieån nguyên hàm ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn .
 B3: Tính suy ra keát quaû.
Ví dụ : 
a/ Tìm 
Đặt 
Ta có : = - x.cosx + = - xcosx + sinx + C
b/Tìm I=
Đặt 
Khi đó: 
=x2.ex - 2
Tính 
 Đặt Þ =x.ex - =x.ex – ex +C1
Þ I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C
c/ Tìm 
Đặt Þ = xlnx - = xlnx – x + C
B/ Bài tập tự giải:
Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1. f(x) = x2 – 3x + 2. f(x) = 
3. f(x) = 4. f(x) = 
5. f(x) = 6. f(x) = 
7. f(x) = 8. f(x) = 
9. f(x) = 10. f(x) = tan2x 
11. f(x) = cos2x 12. f(x) = (tanx – cotx)2 
13. f(x) = 14. f(x) = 
15. f(x) = sin3x 16. f(x) = 2sin3xcos2x 
17. f(x) = ex(ex – 1) 18. f(x) = ex(2 + 
19. f(x) = 2ax + 3x 20. f(x) = e3x+1 
Bài 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 
3. f’(x) = 4 và f(4) = 0 4. f’(x) = x - và f(1) = 2 
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 6. f’(x) = ax + 
7. f’(x)=sin2x.cosx, bieát f( )= 8. f’(x) = e1-2x , bieát f( 
 9. f’(x) = , bieát f(b) 
10) 	11) 
Bài 3. Dùng phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm các hàm số sau: 
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 8. 
9. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
17. 18. 19. 20. 21. 
22. 23. 24. 25. 26. 
 27. 28. . 30. 31. 32. 
Bài 4. Dùng phương pháp từng phần tìm nguyên hàm các hàm số sau.
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 8. 9. 
10. 11. 2. 13. 14. 
15. 16. 18. 19. 
20. 21. 22. 23. 24. 
Bài 2 : TÍCH PHÂN
I/TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 
 1/ Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu: . Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu số F(b) -F(a). Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên k thì : 
 = F(x)|=F(b) -F(a).
2/ Tính chất của tích phân
1)= 0 2)= – 3) + = 
4) ± 5) = 
II/ BÀI TẬP:
A/Bài tập mẫu:
 Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát.
Phöông phaùp giaûi: 
 Thöôøng ñöa tích phaân ñaõ cho veà tích phaân cuûa toång vaø hieäu sau ñoù vaän duïng baûng nguyeân haøm thöôøng duøng keát quaû.
Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau:
 a/ b/ c/ 
Giaûi
a/ = 
b/
==8
c/ =+=+ =(x-=5 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Bài 1: Tính caùc tích phaân sau:
1.	2. 2. 	 3. 4. 5. 6. 7. 
8. 9. 10. 11. 
	 13. 14. 15. 
 16. 	 17. 18. 19. 20. 	21. 22. 	 23. 
24. 25. 26. 	27. 28. 	29. 30. 31. 
32. 33. 34. 35. 
Bài 2 : Tính caùc tích phaân sau:
 1. 	 2. 3. 	 4. 	
5. 	 6. 7. 8. 	
9. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 	 
Bài 3 : CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN :
Daïng 1: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán.
Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët t = (x) dt = 
 b2: Ñoåi caän: x = a t =(a) ; x = b t = (b)
 b3: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán môùi, caän môùi roài tính tích phaân tìm ñöôïc .
Ví duï : Tính tích phaân sau :
 a/ b/
Giaûi:
a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Ñoåi caän: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vaäy I= 
b/ Ñaët t= t2= x2+ 3 tdt = x dx
Ñoåi caän: x = 0 t = ; x = 1 t = 2 Vaäy J = 
Daïng 2 Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
 Coâng thöùc töøng phaàn : 
Phöông phaùp giaûi: 
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu tích phaân baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 B2: Khai trieån tích phaân ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn.
 B3: Tích phaân suy ra keát quaû.
Chuù yù:
a/Khi tính tính tích phaân töøng phaàn ñaët u, v sao cho deã tính hôn neáu khoù hôn phaûi tìm caùch ñaët khaùc.
b/Khi gaëp tích phaân daïng : 
 - Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø moät trong caùc haøm soá eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta ñaët u = P(x) ; dv= Q(x).dx. Neáu baäc cuûa P(x) laø 2,3,4 thì ta tính tích phaân töøng phaàn 2,3,4 laàn theo caùch ñaët treân.
- Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø haøm soá ln(ax+b) thì ta ñaët u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau:
a/ I= b/J=
Giaûi
a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
vaäy I=x cosx - = cosx= -1
b/ Ñaët :
Vaäy J= lnx. - 
B/Bài tập tự giải:
 Tính caùc tích phaân sau bằng phương pháp đổi biến.
Bài 1 : 
a) b) c) d)
e) g) h) k) 
l/ m/
Bài 2 : 
a) ; b) (đặt ) c) (đặt );	 d) e) (đặt ). g) h) k) l) ;
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn :
Bài 1 : 
a) 	 b) ;	 c) ;	d);
 e) 	g) h) i) .
 j) k/ l/ m/ n/ p/ 
Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a/Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi: 
 Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ = .
b/ 
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phân sau:
1/I= 2/J= 
b/Daïng baäc 1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: 
 Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
Ñaët =
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. vaäy ta coù: 
=
 Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: Tính caùc tích phaân : 
Giaûi
CI:
=(ln 
CII: Đặt 
 Ax -2A+B= 0 
Vaäy = 
Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= 
Giaûi:
Ta có= 
Tính bằng cách đặt 
Tổng quát: tÝnh víi bËc r(x) nhá h¬n bËc g(x).
 + Ph©n tÝch mÉu sè g(x) thµnh tÝch cña c¸c nhÞ thøc, tam thøc bËc hai v« nghiÖm.
 + Dïng c¸ch ®ång nhÊt thøc nh­ sau: ch¾n h¹n:
 + T×m c¸c hÖ sè A,B,C 
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
 1. 	2. 3. 	4. 
	5. 	6. 7. 	8.
	9. 	10. 11. 	12. 
	13. 14. 15. 16. 
	17. 18. 19. 20. 
 21/I= 22/I= 23/ I= 24. 
25. 	26. 	 27. 28.	29.	 30. 31 32	33 34 35 	 36. 
37. 	38. 	39 	 40	
 Daïng 5: TÝCH PH¢N HµM Sè V¤ Tû
I/ C¸ch gi¶i: Th­êng sö dông c¸c c¸ch ®Æt sau:
+ . Trong ®ã u(x)= ax+ b hay u(x)= . Th­êng ®Æt t = .
+ . BiÕn ®æi . Tïy theo dÊu cña a vµ ta biÕn ®æi tÝch ph©n vÒ mét trong c¸c d¹ng ; ; .
+ Th­êng ®Æt t = x + ; tõng phÇn ®Æt 
+ . Ph©n tÝch = A(2ax + b) + B . T×m A,B 
+ (Với ). Đặt 
+ . Th­êng ®Æt .
+ . Th­êng ®Æt Với k là BCNN của m và n.
Các phép thế Euler:
	+ Đặt = ±. Nếu >0
	+ Đặt =± . Nêú c>0
	+ Đặt = . Nếu x0 là nghiệm = 0
II. Bµi tËp: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	 6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	5. 	
 16. 	17. 	 	18. 
19. 	20. 	21. 
22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30. 
Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
Daïng:
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
Daïng: 
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. 
Ví duï :
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt
Ví duï: Tính caùc tích phaân sau:
a/ b/ c/ d/
Giaûi
a/ = 
b/
c/I==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 vaäy: I=
d/J==
ñaët u=sinx du = cosx dx.
x=0 u=0 ; x= u=1 J=
Baøi taäp ñeà nghò: Tính caùc tích phaân sau:
1. 2. 3. 4. 
5. 	 6. 7. 8. 9. 	 10. 
11.	 12. 13. 14. 
15. 16. 17. 18. 
19. 20. 21. 	22. 
23. 	24. 25. 26. 
27. 	 28. 29/ 30/ 31/ 32/ 33/ 34. 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
a/ Cách giải: Thường sử dụng các cách đặt sau:
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì 	
· Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì 	
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích 	 
Bước 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K	Þ I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K	 Þ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
	(với a Î R+ và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
	. Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên thì . đặt:
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và hoặc : đặt: t = a + b – x
+ Đặc biệt: Nếu a + b = p đặt t = p – x. Nếu a + b = 2p đặt t = 2p – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: 
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra là nguyên hàm của f(x).
b/ Bài tập: 
Tính các tích phân sau (dạng 1):
1.	2. 	 	3. 
	4. 	5. 	6. 
	7.	8.	9. 
Tính các tích phân sau (dạng 2):
10. 	11. 	 	12. 
	13. 	14. 	15. 
	16.	17.	18.
Tính các tích phân sau (dạng 3):
19. (n Î N*)	20. 	21. 
	22. 	23 . 	24.	
Tính các tích phân sau (dạng 4):
25. 	26. 	27. 
	28.	29. 	30. 
	31. 	32. 	33. 
	34. 	35. 	36. 
Tính các tích phân sau (dạng 5):
37.	38. 	39. 
	40. 	41. 	42. 
	43. 	44. 	45.
	46. 	47.	48. 	
	Luyện tập
1. 	2. 	 	3.
4. 	5. 	 	 6. 
7. 	8. 	 	 9 
10. 	11. 	12. 
13.	14. 	15. 	
16. 22.	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 	
III/ Dieän tích hình phaúng:
1/ Daïng toaùn1: Dieän tích hình phaúng g ... 2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , 
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ vµ 
b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC), (ACD), (ABD), (BCD).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. 
Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P) 
a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) ,
d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) :x-2y+2z-5=0 sao cho khoảng cách từ M(5 ;-2 ;1) đến mặt phẳng (P) bằng 4.
Bài 16 :Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với 2 mặt phẳng (Q) :x+y+z-2=0,(R):-2x+y-z=0
Và tiếp xúc với mặt cầu (S) :x2+y2+z2-2x+6y-4z-10=0
Bài 17 : Lập phương trình mặt phẳng (P) 
	a/Chứa trục ox và khoảng cách từ M(4 ;1 ;2) đến (P) bằng 2.
	b/Chứa trục Oy và khoảng cách từ N(6 ;4 ;-5) đến (P) bằng 3.
Bài 18 :Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M(5 ;3 ;4) và cắt 3 trục toạ độ tại 3 điểm cách đều gốc toạ độ .
Bài 19 :Cho A(a ;0 ;0) ,B(0 ;b ;0) ,C(0 ;0 ;c) với a,b,c là 3 số dương thay đổi luôn thoã mãn a2+b2+c2=3. Xác định a,b,c sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) đạt Max.
Bài 20 : Cho 2 mặt phẳng (P) :2x-y+3z+1=0 ,(Q) :x+y-z+5=0 và điểm M(1 ;0 ;5) .Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) .Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua giao tuyến d cư (P) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng 3x-y+1=0.
Bài 21 :(ĐHKBCB-2010):Trong không gian cho A(1;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) trong đó b,c >0 và mặt phẳng (P):y-z+1=0.Xác định b,c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến (ABC) bằng 1/3.
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coù vtcp = (a1;a2;a3)
( Với a1.a2.a3 ≠ 0 )
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) 
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :
 Cho 2 đường thẳng:
d1 :x=x1+a1t; y=y1+a2t ; z=z1+a3t có véctơ chỉ phương=(a1;a2;a3) và M1 (x1, y1, z1) Î d1 
d2 :x=x2+b1t; y=y2+b2t ; z=z2+b3t có véctơ chỉ phương=(b1;b2;b3) và M2 (x2, y2, z2) Î d2
CI/
 * d1// d2 Û 
*d1º d2 Û 
 * d1 cắt d2 Û có nghiệm duy nhất.
 * d1 chéo d2 Û vô nghiệm. 
 * Đặc biệt : d1^d2 Û 
 C2/
 * d1// d2 Û 
 *d1º d2 Û 
* d1 cắt d2 Û 
* d1 chéo d2 Û 
* Đặc biệt : d1^d2 Û 
5.VÞ trÝ t­¬ng ®èi ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng : 
 §­êng th¼ng d ®i qua A(xA,yA,zA) cã VTCP .
 MÆt ph¼ng (): Ax + By + Cz + D = 0 cã PVT 
 * Aa1 + Ba2 + Ca3 d c¾t ()
 * 
 * 
6.Góc giữa 2 đường thẳng : 
7.Khoảng cách giữa từ M đến đường d1: 
8. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2).
9.Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN
Daïng 1: Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song (D)
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mpa
Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân a : d/ = a Ç b
Vieát pt mp(b) chöùa (d) vaø vuoâng goùc mpa
 Þ 
Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2)
Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 :
C1/ + Tìm = [d1, d2]
 + Mp(a) chöùa d1 , (d) ; mp(b) chöùa d2 , (d) d = a Ç b
CII/
 Đưa phương trình 2 đường thẳng về dạng tham số..
Tìm lần lượt là VTCP của d1 và d2
Lấy 2 diểm A, B lần lượt thuộc 2 đường thẳng tính 
Đường thẳng AB là đường vuông góc chung 
Giài hệ tìm A, Þ phương trình đường vuông góc chung AB.
Daïng 7: PT d qua A vaø caét d1 , d2 : d = a Ç b
vôùi mpa = (A,d1) ; mpb = (A,d2)
Daïng 8: PT d // D vaø caét d1,d2 : d = a1 Ç a2
 vôùi mpa1 chöùa d1 // D ; mpa2 chöùa d2 // D
Daïng 9: PT d qua A vaø ^ d1, caét d2 : d = AB
vôùi mpa qua A vaø ^ d1 ; B = d2 Ç a
Daïng 10: PT d ^ (P) caét d1, d2 : d = a Ç b
vôùi mpa chöùa d1 vaø ^(P) ; mpb chöùa d2 vaø ^ (P)
Daïng 11: Hình chieáu cuûa ñieåm M
 1. H laø hình chieáu cuûa M treân mpa
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø vuoâng goùc mp(a) : ta coù 
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : 
 2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d) 
Vieát phöông trình mp(a) qua M vaø vuoâng goùc vôùi (d): ta coù 
Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt :
Daïng 12 : Ñieåm ñoái xöùng
 a/ Tìm ñieåm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua mp(P) :
Laäp pt ñt (d) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc mp(P).
Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa ñt(d) vaø mp(P) .
M/ ñoái xöùng vôùi M qua (P) Û H laø trung ñieåm cuûa MM/ neân : 
 b/ Tìm ñieåm M / ñoái xöùng vôùi ñieåm M qua ñt(d) :
Laäp pt mp (P) ñi qua ñieåm M vaø vuoâng goùc ñt(d).
Tìm toaï ñoä giao ñieåm H cuûa ñt(d) vaø mp(P) .
M/ ñoái xöùng vôùi M qua (d) Û H laø trung ñieåm cuûa MM/ neân : 
Daïng 12 : CM söï song song:
 a/ Cm ñt(d) // ñt(d/) :
ñt(d) ñi qua ñieåm M1(x1 , y1 , z1) vaø coù VTCP 
ñt(d/) ñi qua ñieåm M2( x2 , y2 , z2) vaø coù VTCP .
Ta tính .
ñt(d) // ñt(d/) .
 b/ Cm ñt(d) // mp(P) :
ñt(d) ñi qua ñieåm M1(x1 , y1 , z1) vaø coù VTCP 
mp(P) : Ax + By + Cz + D = 0 coù VTPT .
ñt(d) // mp(P) 
Daïng 12 : CM söï vuoâng goùc :
 a/ Cm ñt(d) ñt(d/) :
ñt(d) coù VTCP 
ñt(d/) coù VTCP .
ñt(d) ñt(d/) 
b/ Cm ñt(d) mp(P) :
ñt(d) coù VTCP 
mp(P) coù VTPT .
ñt(d) mp(P) 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau :
a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tham số cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng
vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: a) ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh: 
b)Tìm hình chiếu của M trên d, suy ra điểm M’ đối xứng với M qua d.
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : vµ
(P): x+y+z+1=0. T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
Bµi 6: 1/ LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
 a) 	b) .
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P)
 Bµi 7: a/ LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng th¼ng () cho bëi :.	
b/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua ()
Bµi 8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt:
a) (P): x-y+z+3=0	b) (P): y+4z+17=0
Bµi 9: Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ .
	a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) .
b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
 CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau. X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã.
Bµi 11: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) .
Bài 12: Cho hai phương trình (d), (d’)có pt 	
a/Chứng tỏ rằng 2 đường thẳng chéo nhau .
b/Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó .
c/Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;3;1) và cắt cả 2 đường thẳng .
ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012
ĐH Khối A 2002
§H Khèi B 2002
§H Khèi D 2002
§H Khèi A 2003
§H Khèi B 2003
§H Khèi D 2003
§H Khèi A 2004
§H Khèi B 2004
§H Khèi D 2004
§H Khèi A 2005
§H Khèi B 2005
§H Khèi D 2005
§H Khèi A 2006
§H Khèi B 2006
§H Khèi D 2006
§H Khèi A 2007
§H Khèi B 2007
§H Khèi D 2007
§H Khèi A 2008
§H Khèi B 2008
NC/A-2009 
	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng D1 : ; D2 : . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 
CB/B-2009 
Trong không gian Oxyz cho diện ABCD có A(1,2,1); B(-2,1,3); C(2,-1,1), D(0;1;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) . 
NC/B-2009 
Trong không gian Oxyz cho điểm A(-3,0,1); B(1,-1,3); và mặt phẳng . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P). Viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất. 
CB/D-2009 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z –20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). 
NC/D-2009
 	 Cho mặt phẳng (P): và đường thẳng (D): . V iết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với 
CB/A-2010
 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x - 2y + z = 0 và đường thẳng D: .Gọi C là giao điểm (D) và (P), M là điểm thuộc (D) . Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC= . 
CB/B-2010
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) . Trong đó b,c dương và mặt phẳng (P): y - z + 1 = 0 . Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng . 
NC/B-2010
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng D: . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến D bằng OM. 
CB/D-2010
 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + z - 3 = 0 và (Q): x - y + z - 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
NC/D-2010
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng D1: . và D2: . Tính tọa độ M thuộc D1 sao cho khoảng cách từ M đến D2 bằng 1. 
CB/A-2010	
Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, 0, 1); B(0, -2, 3); và mặt phẳng . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3. 
CB/B-2011
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x + y + z- 3 = 0 và đường thẳng D: .Gọi I là giao điểm (D) và (P). Tìm M là điểm thuộc (P) sao cho MI vuông với D và MI= . 
NC/B-2011
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2; 1; 1), B(-3 -1; 2) và đường thẳng D: . Tìm M là điểm thuộc D sao cho tam giác MAB có diện tích bằng . 
CB/D-2011
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng D đI qua điểm A , vuông với d vàd cắt trục Ox. 
CB/A-2012 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
NC/A-2012 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: , mặt phẳng (P) : x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A (1; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng D cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
CB/B-2012:
NC/B-2012:
CB/D-2012 
NC/D-2012: