Ôn tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
77 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 • Hàm số ( )f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn ;a b   thì ( )'f x xác ñịnh trên khoảng ( );a b . 
 • Hàm số ( )f x xác ñịnh và có liên tục trên nửa ñoạn ) ( ; ;a b hay a b   thì ( )'f x xác ñịnh trên 
khoảng ( );a b . 
 • Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
max max , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
min min , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( )( )
0 0
,
max
,x D
x D f x M
M f x
x D f x M∈
∀ ∈ ≤
• = ⇔ 
∃ ∈ =
( ) ( )( )
0 0
,
min
,x D
x D f x m
m f x
x D f x m∈
∀ ∈ ≥
• = ⇔ 
∃ ∈ =
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
Ví dụ 1: 
Giải : 
Xét : 
2
1 ( 1 ) 1 1 1 1
2(2 1)( 1) 2 ( 1) 14 4 1
n n n n
n n n n n n nn n
 + − + −
= < = − 
+ + + + ++ +  
Vậy :
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 23 3 5 1
n
S
n n n
   
< − + − + + − = −   
+   
2
2 2 2
2 1 1 1
2 2( 2)4 4 4 4
n n
n
S S
n nn n n
< − < − = − ⇒ <
+ ++ + +
2001 2001
2 2001 2001
2001 2 1
2003 2003 4006
n S S= ⇒ < − = ⇒ < 
GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 
Chứng minh rằng : 
1 1 1 1 2001
...
40063(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
+ + + + <
+ + + +
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
78 
Ví dụ 2: 
Giải : 
Vận dụng bất ñẳng thức a b a b− ≥ − . Dấu " "= xảy ra khi 0ab ≥ 
1 1
2 2
2008 2008
1 1
1 1
.......................
1 1
x x
x x
x x
 − ≥ −

− ≥ −


 − ≥ −
1 2 2008 1 2 2008
2008 1
1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1
so
E x x x x x x⇒ = − + − + + − ≥ + + + − + + +
 
Hay 2009 2008 1E ≥ − = 
Dấu " "= xảy ra khi 1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , ..., 0
... 2009
x x x x x
x x x
 ≥

+ + + =
Vậy min 1E = khi 1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , ..., 0
... 2009
x x x x x
x x x
 ≥

+ + + =
Ví dụ 3: 
Giải : 
Ta có 2 2( , ) ( 1) ( 1) 5 5P x y x y= − + + + ≥ ,x y∀ ∈ ℝ 
Dấu " "= xảy ra khi 
1
1
x
y
 =
 =
Vậy min ( , ) 5P x y = khi ( ) ( ), 1;1x y = 
Ví dụ 4: 
Cho 
1 2 3 4 2008
, , , ...,x x x x x thoả mãn 
1 2 2008
... 2009x x x+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
1 2 2008
1 1 ... 1E x x x= − + − + + − 
Tìm GTNN của biểu thức 2 2( , ) 2 2 7P x y x y x y= + − + + . 
Cho 2 2 9 0x y z+ − − = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )P x y z= − + − + − . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
79 
Giải : 
Trong không gian Oxyz ta xét ñiểm ( )1;2;3A và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0x y zα + − − = 
Nếu ( ) ( ); ;M x y z α∈ thì 2 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )AM x y z= − + − + − 
Mà 
2 4 3 9
( ; ) 2
4 4 1
AM d A α
+ − −
≥ = =
+ +
 nên 2 2 2(1 ) (2 ) (3 ) 4P x y z= − + − + − ≥ . 
Dấu " "= xảy ra khi ( ); ;M x y z là chân ñường vuông góc hạ từ ( )1;2;3A lên mặt phẳng ( )α . 
Vậy min 4P = . 
Ví dụ 5: 
Giải : 
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−
2
2 2
( 2 1) 5.( 1) 9 5 9
1
1( 1) ( 1)
x x x
A
xx x
− + + − +
= = + +
−− −
ðặt 
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
2
2 5 11 111 9 3
6 6 6
A t t t
 
= + + = + + ≥ 
 
Dấu " "= xảy ra khi 5 1 5 13
8 1 8 5
t x
x
= − ⇔ = − ⇔ = −
−
2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +
2
2 2
3( 2 1) 2( 1) 1 2 1
3
1( 1) ( 1)
x x x
B
xx x
− + − − +
= = − +
−− −
Tìm GTNNcủa biểu thức 
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−
2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +
2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
80 
ðặt 
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
( )223 2 1 2 2B t t t= − + = − + ≥ 
Dấu " "= xảy ra khi 11 1 2
1
t x
x
= ⇔ = ⇔ =
−
Vậy min 2B = khi 2x = 
2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ 
Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi 
giới thiệu 5 cách giải ñộc ñáo . 
Cách 1 : 
2
22 2
1 3 1 3
2 2 2 2
N x x
      
   = + + + − +            
2 22 2
1 3 1 3
( ) 0 ( 0
2 2 2 2
N x x
      
   = − − + − − + − + −            
Trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy xét các ñiểm ( )1 3 1 3, , , , , 0
2 2 2 2
A B C x
   −
   −
   
   
Dựa vào hình vẽ ta có N AC CB AB= + ≥ 
2 1AC x x= + + , 2 1BC x x= − + 
Mà 
22
1 1 3 3
2 2
2 2 2 2
AB AB
  
 = + + + = ⇒ =      
Dấu " "= xảy ra khi , ,A B C thẳng hàng , hay 
0x = , nghĩa là C O≡ 
Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ : 
a b a b N a b+ ≥ + ⇒ ≥ +
     
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
81 
Chọn : 2 2
1 3 1 3
; 1, ; 1
2 2 2 2
a x a x x b x b x x
   
   = − + ⇒ = − + = + ⇒ = + +
   
   
   
( )
2
2(1; 3) 1 3 2 2a b a b N+ = ⇒ + = + = ⇒ ≥
   
Dấu " "= xảy ra khi 0a b x= ⇔ =

Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 3: 
Do 2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ , do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân . 
Ta có : ( ) ( ) 42 2 4 242 1 1 2 1 2,N x x x x x x x≥ − + + + = + + ≥ ∈ ℝ 
Dấu " "= xảy ra khi 
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x
 + + = − +
⇔ =
+ + =
Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 4: 
Vì ( )
2
2 2 4 2
2
1 0,
0, 2 1 2 1
1 0,
x x x
N x N x x x
x x x
 − + ≥ ∀ ∈
⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = + + + +
+ + ≥ ∀ ∈
ℝ
ℝ
ℝ
Do 
2
4 2
1 1
1 1
x
x x
 + ≥

+ + ≥
. ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi 0x = , nên 2 4 2N N≥ ⇒ ≥ 
Vậy min 2N = khi 0x = 
 Cách 5: 
Dễ thấy ( ) 2 21 1,N f x x x x x x= = + + + − + ∈ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ . 
Với 
1 2
0x x∀ > > , ta có ( ) ( )1 20, 0f x f x> > nên dấu của ( ) ( )1 2f x f x− cũng là dấu của 
( ) ( )2 21 2f x f x− 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 2 4 21 2 1 2 1 1 2 22 2 1 1 .f x f x x x x x x x− == − + + + − + + 
Vì 
2 2
1 2
1 2 4 2 4 2
1 1 2 2
0
0
1 1
x x
x x
x x x x
 > >
> > ⇒ 
+ + ≥ + +
 nên ( ) ( )2 21 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > 
Suy ra ( ) ( )1 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > 
Với 0x > thì hàm số ( )f x luôn ñồng biến và 0x < thì hàm số ( )f x luôn nghịch biến và ( )0 2f = 
Vậy ( )f x ñạt ñược giá trị cực tiểu tại 0x = . Do ñó min 2N = khi 0x = . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
82 
Ví dụ 6: 
Giải : 
Ví dụ 7: 
Giải : 
2
2 2 2
3 6 10 4 4
3 3 7
2 2 2 2 ( 1) 1
x x
A
x x x x x
+ +
= = + = + ≤
+ + + + + +
Dấu " "= xảy ra khi 2( 1) 0 1x x+ = ⇔ = − 
Vậy max 7A = khi 1x = − 
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Vì 0x > nên 0M > .Do ñó 
1
max minM
M
→ ⇔ → 
2 2 2 2
21 1 2 .2000 2000 2.2000 2000 4.2000( 2000) .
x x x x x
x
M x x x
+ + − + +
= + = = 
21 ( 2000)
8000 8000
x
M x
−
= + ≥ 
Tìm GTLNcủa biểu thức 
2
2
3 6 10
2 2
x x
A
x x
+ +
=
+ +
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Tìm GTLN và NN của biểu thức 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
83 
Dấu " "= xảy ra khi 2000x = 
1 1
min 8000 max
8000
M
M
= → = 
Vậy 
1
max
8000
M = khi 2000x = 
Ví dụ 8: 
Giải : 
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 10 3
, 3 2 5 3 0, *
3 2 1
x x
A x A x A x A x
x x
+ +
= ∀ ∈ ⇔ − + − + − = ∀ ∈
+ +
ℝ ℝ 
• 23 2 0 ,
3
A A x− = ⇔ = ∀ ∈ ℝ 
• 23 2 0 ,
3
A A x− ≠ ⇔ ≠ ∀ ∈ ℝ phương trình ( )* là phương trình bậc 2 ñối với x . Do ñó phương 
trình ( )* có nghiệm nếu ( ) ( ) ( )2 55 4 3 2 3 0 7
2
A A A A∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ 
Vậy 
5
max 7,min
2
A A= = 
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ 
ðặt tan 2,
2 2
u x x
π π−
= < < 
4 2 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
3 tan 4 tan 3 3cos 4 sin cos 3 sin sin 2
( ) 3
2(1 tan ) (sin cos )
u u u u u u u
A g u
u u u
+ + + +
= = = = −
+ +
Vì 2
5 5
5 min ( ) min
0 sin 2 1 ( ) 3 2 2
2 max ( ) 3 max 3
g u B
u g u
g u B
 
= = 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒ 
 = = 
Ví dụ 9: 
Giải : 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
2
2
2 10 3
,
3 2 1
x x
A x
x x
+ +
= ∈
+ +
ℝ 
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ 
Cho 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T xy yz zx= + + . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
84 
Ta có 2 2 2 2( ) 0 2( ) 0x y z x y z xy yz zx+ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ hay 
1
1 2 0
2
T T+ ≥ ⇔ ≥ − 
Dấu " "= xảy ra chẳng hạn khi 
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = − 
Vậy 
1
min
2
T = − chẳng hạn khi 
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = − 
Mặt khác 
2
2 2 2 2
2
( ) 0
( ) 0 2( ) 2( )
( ) 0
x y
y z x y z xy yz zx
z x
 − ≥

− ≥ ⇒ + + ≥ + +
 − ≥
 hay 2 2 1T T≥ ⇔ ≤ 
Dấu " "= xảy ra khi 
3
3
x y z= = = ± 
Vậy max 1T = khi 
3
3
x y z= = = ± 
Ví dụ 10: 
Giải : 
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. 
2
1 1 (1 )(1 )
xyx y
x y x y
+ ≥
+ + + +
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )x y x y
+ ≥
+ + + +
Cộng vế theo vế , ta ñược: 
( )
22 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+ +
≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ +
+ + + +
Dấu " "= xảy ra khi 0x y= > 
Ví dụ 11: 
Giải : 
Chứng minh rằng với mọi 0, 0x y> > , ta luôn có ( )
2
(1 )(1 ) 1x y xy+ + ≥ + . 
Cho 4a ≥ , chứng minh rằng : 1 17
4
a
a
+ ≥ 
. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
85 
Ta có : 
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + + 
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương 
16
a
 và 
1
a
 . 
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2
a a
a a
+ ≥ = = 
Mà 
15 15 15
4 .4
16 16 4
a
a ≥ ⇒ ≥ = 
Vậy :
1 1 15 17
16 16 4
a a
a
a a
+ = + + ≥ 
Dấu " "= xảy ra khi 4a = . 
Ví dụ 12: 
Giải : 
ðặt 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1A
a b c a b c a b b c a c a b c
         
= + + + = + + + + + + +         
         
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược: 
3
2 2 2 3 3 3
3 3 1 1
1 1A
abc abca b c a b c
 
≥ + + + = + 
 
Và 
3
1 1
8 8
3 8
+ + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ 
 
a b c
abc abc
abc
Vậy : 
3
1 729
1
8 512
A
 
≥ + = 
 
. Dấu " "= xảy ra khi 2a b c= = = . 
Cho 0x y> ≥ . Chứng minh rằng : 
2
4
3
( )( 1)
x
x y y
+ ≥
− +
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 
2
8
2 2 , 1, 1,
( )( 1)
x y y y
x y y
− + +
− +
2
4
2 2
8 8
2 2 2( 1) 4 2( )( 1)
( )( 1) ( )( 1)
x y y x y y
x y y x y y
⇒ − + + + ≥ − +
− + − +
2 2
4 4
1 4 3
( )( 1) ( )( 1)
x x
x y y x y y
⇔ + + ≥ ⇔ + ≥
− + − +
Cho ... DỤNG THỰC TẾ 
Ví dụ 1: 
Giải : 
Gọi x là bán kính ñáy . ðể hộp kim loại hình trụ có thể tích 2V x hπ= thì hiều cao của hộp là 
2
V
h
xπ
= . 
Lượng kim loại ñể làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp : ( ) 2 22 2 . , 0
V
S x x x x
x
π π
π
= + > 
Sự biến thiên của ( ) ( ) ( ) 32' 2 2 , ' 0 2
V V
S x S x x S x x
x
π
π
 
= − = ⇔ = 
 
( )'S x ñổi dấu từ âm sang dương nên hàm số ( )S x ñạt ñiểm cực tiểu tại 3
2
V
x
π
= . 
Vậy : 3 3
4
,
2
V V
r h
π π
= = 
Ví dụ 2: 
Giải : 
Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x , cạnh còn lại thứ hai là y , ta có 6 16 10x y y x+ + = ⇒ = − 
Diện tích tam giác : (theo công thức hêrông). 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26 4 8 8 4 10 16,0 10S x p p p x p y x y x x x= − − − = − − = − + − < < 
( ) ( )
2
5
' 4 ' 0 5
10 16
x
S x S x x
x x
−
= = ⇔ =
− + −
( )'S x ñổi dấu từ dương sang âm nên hàm số ( )S x ñạt ñiểm cực ñại tại 5x = . Diện tích tam giác lớn 
nhất khi mỗi cạnh còn lại dài ( )5 cm .Khi ñó diện tích lớn nhất : ( ) 12S x = 
Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước . Tìm bán kính ñáy r và 
ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất . 
Chu vi của một tam giác là ( )16 cm , ñộ dài của một cạnh tam giác là ( )6 cm . Tìm hai cạnh còn lại 
của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
110 
Ví dụ 2: 
Giải: 
Thể tích hình hộp là ( )2 3 2
500
500 , 0V x h cm h x
x
= = ⇒ = > 
Diện tích của mảnh cáctông dùng làm hình hộp là : ( ) 2 2 20004 , 0S x x xh x x
x
= + = + > 
Bài toán trở thành tìm 0x > sao cho tại ñó ( )S x ñạt giá trị nhỏ nhất . 
Ta có ( ) ( )
3
2 2
2 10002000
' 2 , 0
x
S x x x
x x
−
= − = > 
 ( )' 0 10S x x= ⇔ = 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng ( )0;+∞ 
x 0 10 +∞ 
( )'S x − 0 + 
( )S x 
 300 
Vậy ( )10x cm= thì min ( ) 300S x = . 
Ví dụ 3: 
Giải : 
ðặt , 0 2 2
2
a
BM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − 
Trong tam giác vuông BMQ có  tan .tan 3
QM
QBM QM BM QBM x
BM
= ⇒ = = 
Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cáctông . Hộp có ñáy là hình vuộng cạnh ( )x cm , 
ñường cao là ( )h cm và có thể tích là 3500cm . Gọi ( )S x là diện tích của mảnh cáctông. Tìm 
( )x cm sao cho ( )S x nhỏ nhất . 
Cho một tam giác ñều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm 
trên cạnh BC , hai ñỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác ñịnh 
vị trí ñiểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ñó. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
111 
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là ( ) ( ). 2 3S x MNQM a x x= = − 
Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 3, 0;
2
a
S x a x x x
 
= − ∈  
 
( ) ( )' 4 3 3, 0; ' 0
2 4
a a
S x x a x S x x
 
= − + ∈ = ⇔ = 
 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng 0;
2
a 
 
 
x 0 
4
a
2
a
( )'S x + 0 − 
( )S x 
2 3
8
a
 0 0 
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 
2 3
8
a
 khi 
4
a
x = 
Ví dụ 4: 
Giải : 
Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi ñơn vị diện tích 
mặt hồ trung bình cân nặng : ( ) ( ) ( ) *. 480 20 ,f n n P n n n n N= = − ∈ 
( ) ( )' 480 40 ' 0 12f n n f n n= − = ⇔ = 
Vậy ñể thu ñược nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ là 12n = con cá. 
Ví dụ 16: 
Trong các hình chữ nhật có chu vi là ( )40 cm , hãy các ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. 
Giải : 
Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật có chiều dài ( )x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là ( )20 cm . Chiều 
dài cạnh kia là ( )20 x cm− . Diện tích hình chữ nhật là : ( ) ( )20 ,0 20S x x x x= − ≤ ≤ 
( ) ( )' 20 2 , 0 20 ' 0 10S x x x S x x= − < < = ⇔ = 
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt 
hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng ( ) ( )480 20P n n gam= − . Hỏi phải thả 
bao nhiêu cá trên một ñơn vị diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất ?. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
112 
Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi 10x = . Trong các hình chữ nhật chu vi ( )40 cm , hình vuông cạnh 
( )10 cm có diện tích lớn nhất bằng ( )2100 cm 
Ví dụ 5: 
Giải : 
Gọi 0
2
a
x x
 
< < 
 
là ñộ dài của cạnh của hình vuông bị cắt . 
Thể tích của khối hộp là ( ) ( ) ( )22 ,0 ' 2 6 , 0
2 2
a a
V x a x x V a x a x x= − < < ⇒ = − − < < 
( ) ( ) 3
0
2
2 6 0
2
' 0 max6
6 270 2 0
2
a
x
aa x a x
a ax
V V Va
x a x < <
 − − =  = 
⇒ = ⇔ ⇔ ⇒ = =   

Ví dụ 6: 
Giải : 
1) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta có : ( )
, 0 0 , 8
82 16
x y x y
y xx y
 > < < 
⇔  = −+ =  
Diện tích hình chữ nhật là ( ) 2
0 8
8 8 ,0 8 max 16 4
x
S xy x x x x x S khi x y
< <
= = − = − < < ⇒ = = = 
2) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta có : 
, 0, 0
4848
x yx y
xy y
x
 > > 
⇔ = =  
Chu vi của hình chữ nhật là ( ) ( )
0
48
2 2 , 0 min 4 3 16 3
x
p x y x x p p
x >
 
= + = + > ⇒ = = 
 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : 
( ) 2) 2 5a f x x x= + − trên ñoạn 2;3 −  
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau , rồi gập 
tấm nhôm lại ñể ñược một cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích 
của khối hộp là lớn nhất . 
1) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất . 
2) Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích 248m , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
113 
( )
3
2) 2 3 4
3
x
b f x x x= + + − trên ñoạn 4;0 −  
( ) 1)c f x x
x
= + trên khoảng ( )0;+∞ 
( ) 2) 2 4d f x x x= − + + trên ñoạn 2;4   
( )
22 5 4
)
1
x x
e f x
x
+ +
=
+
 trên ñoạn 0 : 1   
( ) 1)f f x x
x
= − trên nửa khoảng (0 : 2 
( ) ( )36 2) 4 1g f x x x= + − trên ñoạn 21;
3
 
− 
 
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : 
( ) 3 2) 3 9 1a f x x x x= + − + trên ñoạn 4;4 −  
( ) 3) 5 4b f x x x= + − trên ñoạn 3;1 −  
( ) 4 2) 8 16c f x x x= − + trên ñoạn 1;3 −  
( ) 3) 3 3d f x x x= − + trên ñoạn 33;
2
 
− 
 
( ))
2
x
e f x
x
=
+
 trên nửa khoảng ( 2;4−  
( ) 1) 2
1
f f x x
x
= + +
−
 trên khoảng ( )1;+∞ 
( ) 2) 1g f x x x= − trên ñoạn 1;1 −  
( )) sin2h f x x x= − trên ñoạn ;
2
π
π
 
− 
 
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : 
( ) 2) 2 sin sin 1a f x x x= + − 
( ) 2) cos 2 sin .cos 4b f x x x x= − + 
( ) 3 2) cos 6 cos 9 cos 5c f x x x x= − + + 
( ) 3) sin cos2 sin 2d f x x x x= − + + 
( )) 1 2 sin 1 2 cose f x x x= + + + 
( ) 5) sin 3 cosf f x x x= + 
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
114 
4 2 26y x mx m= − + trên ñoạn 2;1 −  . 
2
2
2
24 4
x x
y
xx x
= + −
++ +
3 22 3 12 1y x x x= − − + trên ñoạn 
5
2;
2
 
− 
 
2cosy x x= + trên ñoạn 0;
2
π 
 
 
2 cos2 4 siny x x= + trên ñoạn 0;
2
π 
 
 
2. lny x x= trên ñoạn 1;e   
5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân ñược cho bởi công thức ( ) ( )20,025 30G x x x= − trong ñó 
( )x mg là liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân 
ñể huyết áp giảm nhiều nhất và tính ñộ giảm ñó . 
Hướng dẫn 
( ) ( )' 0 0, 20 , '' 20 0G x x x G= ⇔ = = < . Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều nhất là 
( )20 mg . ðộ giảm huyết áp là ( )20 100G = . 
6. Một con cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6 /km h . Nếu 
vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên là ( )/v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ ñược cho 
bởi công thức ( ) 3 ,E v cv t= trong ñó c là một hằng số , ( )E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước ñứng 
yên ñể năng lượng tiêu hao là ít nhất. 
Hướng dẫn : 
Vận tốc cá khi dòng nước ñứng yên là ( )/v km h , thì vận tốc của cá khi ngược dòng nước là 
( )6 /v km h− 
Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách 300s km= là 
300
6
t
v
=
−
Năng lượng tiêu hao của cá 
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 3
2
300 2 18
, 6 ' 300 min 9
6 6
v v
E v cv t cv J v E v c E v khi v
v v
−
= = > ⇒ = ⇒ =
− −
7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát 
hiện bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t là ( ) 2 345 , 0;25f t t t t  = − ∈   . Nếu coi ( )f t là hàm số xác 
ñịnh trên ñoạn 0;25   thì ñạo hàm ( )'f t ñược xem là tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) tại thời ñiểmt . 
)a Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm . 
)b Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc ñộ ñó. 
)c Xác ñịnh các ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn hơn 600 . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
115 
)d Xét chiều biến thiên của hàm số ( )f t trên ñoạn 0;25   . 
Hướng dẫn : 
( ) 2 345 , 0;25f t t t t  = − ∈   
)a ( ) ( ) ( )' 3 30 ' 5 375f t t t f= − ⇒ = 
)b ( ) ( ) ( )'' 90 6 max ' ' 15 675f t t f t f= − ⇒ = = 
)c ( ) ( )' 3 30 600 10 20f t t t t= − > ⇔ < < 
)d ( ) ( )' 3 30 0, 0 25f t t t t= − > < < ⇒Hàm số ( )f t ñồng biến trên ñoạn 0;25   . 
8. Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB và hai cạnh bên ñều dài 1m . Tính góc  DAB CBAα = = sao 
cho hình thang có diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất ñó.Giả sử  , 0
2
ADC x x
π
= < < 
Hướng dẫn : 
( ), sin ; cos ; 1 2 cos 1 cos sin , 0
2 2
AB CD
AH CD AH x DH x DC x S AH x x x
π+
⊥ = = = + ⇒ = = + < <
9. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác ñịnh tam giác có diện 
tích lớn nhất . 
Hướng dẫn : 
Gọi ,x y là ñộ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm , 0 10,x< < 
0 10y< < và ( ) ( ) ( )22 2 2 21 1 1 100 ,0 100
2 4 4
S xy cm S xy x x x= ⇒ = = − < < với 2 2 100x y+ = 
10. Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ ñứng . Hai mặt bên ' ', ' 'ABB A ACC A là 
hai tấm kính hình chữ nhật ( ) ( ) ( )' 20 , ' ' 5 ,AA m A B m BC x m= = = . 
)a Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x 
)b Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất ñó . 
Hướng dẫn : 
( ) ( )2 0;105 100 ,0 10 max 5 2 250xV x x x V V∈= − < < ⇒ = = . 
Giải hệ phương trình : 
sin
sin 2 2 sin cos 1
, 0;
4
x y sinxe
y
y cos y x x
x y
π
−

 =

− = + −
  
 ∈ 
  