Ôn tập Đại số 11: Tổ hợp – xác suất

CHƯƠNG II
TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
A. TỔ HỢP
I. Qui tắc đếm
1. Qui tắc cộng:
	Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
	Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
	ĐS:	 có 12 đường.
Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
	ĐS:	có 25.24 = 600 trận
a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?
	b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
	ĐS: a) 18. 	b) 15.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
	ĐS: 36.
Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
	a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
	b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
	ĐS: a) 35. 	b) 29.
Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau.
Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đó có 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam.
ĐS: 161.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng:
	a) 	b) 	c) .
	ĐS: 	a) 25. 	b) 20.	c) 5 cặp.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3,  , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: .
	ĐS: 
Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi).
	ĐS: Số cần tìm có dạng:	Þ có 9.10.10 = 900 (số)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
	a) gồm 6 chữ số.
	b) gồm 6 chữ số khác nhau.
	c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
	ĐS:	a) 66	b) 6!	c) 3.5! = 360
a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
	b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
	c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
	d) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
	e) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
	ĐS: a) 3125. 	b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:
	a) Gồm 2 chữ số?	b) Gồm 2 chữ số khác nhau?	c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
	d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?	e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
	f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
	ĐS: a) 25. 	 b) 20.	c) 15	d) 8.	e) 120.	f) 24.
Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
	a) Khác nhau?
	b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
	c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
	d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
	e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
	ĐS: a) 100. b) 60.	c) 36	d) 52.	e) 48.
a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
	b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500).
	ĐS: a) 35. 	b) 24. 
II. Hoán vị
1. Giai thừa:
	n! = 1.2.3n	Qui ước: 0! = 1
	n! = (n–1)!n
	= (p+1).(p+2)n	(với n>p)
	= (n–p+1).(n–p+2)n	(với n>p)
2. Hoán vị (không lặp):
	Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.
	Số các hoán vị của n phần tử là:	Pn = n!
3. Hoán vị lặp:
	Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, , ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, , nk phần tử ak (n1+n2+ + nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử.
	Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử là:
Pn(n1, n2, , nk) = 
4. Hoán vị vòng quanh:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
	Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:	Qn = (n – 1)!
Rút gọn các biểu thức sau:
	A = 	B = 	C = 
	D = 	E = 	F = 
	A = 	(với m ³ 5)
Chứng minh rằng:	
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Giải các bất phương trình sau:	
a) 	b) 
c) 	
	ĐS:	a) Û 	Þ n = 4, n = 5, n = 6	b) n = 2, n = 3
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS:	a) x = –1; x = 4	b) x = 2; x = 3	c) n = 8
	d) n = 3	e) n = 6	f) n = 2	
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bằng chữ số 5?	b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
	c) Bắt đầu bằng 23?	d) Không bắt đầu bằng 345?
	ĐS:	a) 4!	b) 5! – 4!	c) 3!	d) 5! – 2!
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bởi chữ số 9?	b) Không bắt đầu bởi chữ số 1?
	c) Bắt đầu bởi 19?	d) Không bắt đầu bởi 135?
 	ĐS:	 a) 24. 	b) 96. c) 6 	d) 118.
Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên?
	ĐS: Với mọi i, j Î , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
	Þ Tổng tất cả các số là: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106
	= 6! (1+2++7).(1+10++106)
Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
	ĐS: 279999720.
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) Theo từng môn?
	c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
	ĐS:	a) P12	b) 3!(5!4!3!)	c) 2!(5!4!3!)
Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) A1 không ngồi cạnh B1?
	c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?
	ĐS:	a) Q8 = 7!	b) Q7 = 6!	c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
	ĐS:	
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
	ĐS: 18.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
	ĐS: 480.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
	a) Bạn C ngồi chính giữa?
	b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
	ĐS: a) 24. 	b) 12. 
Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
	ĐS: 143327232000.
Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a) Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
	b) Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
	ĐS: a) 86400. 	b) 2903040.
Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
	b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
	ĐS: a) 34560. 	b) 120960.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau?
	ĐS: 4838400.
Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?
	ĐS: 26336378880000.
Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
	ĐS: 298598400.
Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
	a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
	b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
	ĐS: a) 2.29!. 	b) 28.29!.
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
	ĐS: 3360.
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 5880.
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
	a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
	b) Các chữ số được xếp tuỳ ý?
	ĐS: a) 120.	b) 3024.
III. Chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp (không lặp):
	Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:	
	· Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
	· Khi k = n thì = Pn = n!
2. Chỉnh hợp lặp:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: 	
Rút gọn các biểu thức sau:	
A = 	B = 
C = 	D = 
E = 	F = 
	ĐS: A = 46;	B = 2750;	C = 1440;	D = 42	
Chứng minh rằng:
	a) 
	b) với n, k Î N, k ³ 2	
	c) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) = 2(n + 15)	c) 
	d) 	e) 2() = Pn+1	f) 
	g) 	h) 	i) 	
	k) 	l) 	m) 
	ĐS:	a) n = 6	b) n = 3	c) n = 6	d) n = 5	e) n = 4	f) n = 2; 3	g) x = 11.	h) x = 3; 4.	
	i) x = 5.	k) x = 8, 
Giải các bất phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	ĐS:	a) n = 3; 4; 5	b) 2 £ n £ 36
Tìm các số âm trong dãy số với: 
	ĐS: 
Một cuộc khiêu  ... m thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi:
 	a) Có bao nhiêu đường thẳng?	b) Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?
	ĐS: a) .	b) .
Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi:
 	a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?	b) Chúng tạo ra bao nhiêu tứ diện?
	ĐS: a) b) 
Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu:
 	a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm?
 	b) Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó?
	ĐS: a) b) 
V. Nhị thức Newton
1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nÎN và với mọi cặp số a, b ta có:
2. Tính chất:
	1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
	2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
	3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = ( k =0, 1, 2, , n)
	4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 
	5) ,	
	* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
	(1+x)n = 	Þ	
	(x–1)n = 	Þ	
Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:	
	a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	k) 
	ĐS: 
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:	
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
	ĐS: a) 45	b) 495	c) –10	d) 15	e) –8064	f) 210
Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: . Xác định hệ số ak: 
	a) ?
	b) ?
	c) ?
	d) ?
	e) ?
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) a46 = 18654300
Trong khai triển , tìm số hạng chứa (k, m < n)
	ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa xk.
	Ta có: (x + y + z)n = 
	mà (y + z)n–k = 	
 	Þ số hạng chứa là: 
Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:	
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
	e) 	f) 
	a) Cho biết trong khai triển tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11. Tìm hệ số của .
	b) 	Cho biết trong khai triển tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x.
	c) Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x4.
	d) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết rằng:
	.
	e) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết rằng:
	ĐS: a) 	b) n = 9 ; 84	c) n = 8; 	d) n = 10; 
	 e) n = 11; 
a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: 
	b) Tìm số mũ n của biểu thức . Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?
	c) Tìm số hạng thứ 6 của khai triển 
	d) Tìm số hạng chứa a7 trong khai triển 
	e) Tìm số hạng giữa của khai triển 
	f) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: .
	g) Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển 
	ĐS: a) 	b) n = 9 Þ T6 = 	 c) 
	d) 	e) 	f) 495.	g) 1820.
Trong khai triển của nhị thức: , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?
	ĐS: Ta có: Tk+1 = = 	
	Þ Þ k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T10 = 
Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:
 	a)	b) 
	ĐS: a) 	b) 
a) Tìm số hạng của khai triển là một số nguyên.
 	b)	Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển 
 	c)	Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển 
 	d)	Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển 
	ĐS: a) 	b) 
	c) 	d) 32 số hạng
a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển nếu 
	b) Trong khai triển theo lũy thừa tăng của x, cho biết : . Tìm n và x?
	c) Trong khai triển cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là 44. Tìm n.
	ĐS: a) 	b) 	c) n = 11
Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp
Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ):
 	a) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
	b) 	HD: Sử dụng: , với x = 2
	c) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
	d) 	HD: Sử dụng: , với x = 2
	e) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
 	f) 	HD: Sử dụng: , với x = 3
	g) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ):
 	a) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
	b) 	HD: Sử dụng: , với x = 1
 	c) 	HD: Sử dụng: , với x = 3
	d) 	HD: Sử dụng: , với x = 6
	d) 	HD: Sử dụng: , với x = 2
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển ):
 	a)	 HD: , với x = 1
	b) 	 HD: , với x = 1
 	c)	 HD: , với x = 10
 	d)	 
	HD: , với x = 3
	e) 
	 HD: , với x = 2
Dùng đẳng thức , chứng minh rằng:
 	a)	
	(Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)).
 	b)	
 	c)	
Tính giá trị các biểu thức A, B bằng cách tính A + B, A – B:	
a) A = 	B = 
b) A = 	B = 
	HD:  a) Ta có : = . Thay x = 1 ta được A + B = 32n = 9n
	Mặt khác, = . Thay x = 1 ta được A – B = 1
	Từ đó suy ra: A = ,	B = 
	b) Khai triển , với x = 1 Þ A + B = 
	 Khai triển , với x = 1 Þ A – B = 1
	Þ 
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.
	ĐS: a = 210.	(HV hành chính QG, 2000)
Chứng minh:
 	a) 
	HD: a) Chú ý: 
	Þ S = 
Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ):
 	a) 	 HD: Lấy đạo hàm: , với x = 1
	ĐS: 
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ):
 	a)	HD: , với x = 1
	b) 	HD: , với x = 1
	c) 	HD: 
	d) 	HD: , với x = 1
Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng tích phân của khai triển ):
 	a) 	HD: 
	b) 	HD: 
	c) 	HD: 
	d) 	HD: 
	e) 	HD: 
	f) HD: 
Dạng 3: Toán chia hết
Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r
	nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r +  + nbqrn–1 + rn
	Do đó an và rn có cùng số dư khi chia cho b. Tức là: an º rn(mod b)
	Vậy nếu aº r (mod b) thì an º rn (mod b)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với "n Î Z+, ta có:
	a) 4n + 15n – 1 9	b) 16n – 15n – 1 225
	HD: a) Ta có 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 +  + 3n + 1 º 3n + 1 (mod 9)
	(vì 3k 9 , "k ³ 2)
	4n + 15n – 1 º 3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9)
	Vậy 4n + 15n – 1 9
	b) 16n = (1 + 15)n = 1 + n.15 + +  + n.15n–1 + 15n 
	º 1 + 15n (mod 152)
	Do đó: 16n – 15n – 1 º 1 + 15n – 15n – 1 º 0 (mod 225)
	Vậy 	16n – 15n – 1 225
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với "n Î Z+, ta có:	26n+1 + 36n+1 + 56n + 1 7
	HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + 1 = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + 1
	= 2.64n + 3.729n + 15625n + 1 
 	= 2[(7.9 + 1)n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + 7
	Do đó với mọi số tự nhiên p và q thì:
	(7p+1)q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+  + (7p+1) + 1]
	nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho 7.
B. XÁC SUẤT
I. Biến cố và xác suất
1. Biến cố 
	· Không gian mẫu W: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
	· Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A Ì W.
	· Biến cố không: Æ	· Biến cố chắc chắn: W
	· Biến cố đối của A: 
	· Hợp hai biến cố: A È B	· Giao hai biến cố: A Ç B (hoặc A.B)
	· Hai biến cố xung khắc: A Ç B = Æ
	· Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
	· Xác suất của biến cố: P(A) = 	
	· 0 £ P(A) £ 1;	P(W) = 1;	P(Æ) = 0
	· Qui tắc cộng: Nếu A Ç B = Æ thì P(A È B) = P(A) + P(B)
	Mở rộng: A, B bất kì: P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
	· P() = 1 – P(A)
	· Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:
	a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
	b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
	c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.
	ĐS: a) n(W) = 36. n(A) = 5 Þ P(A) = 	b) 	c) 
Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em học khá môn Toán, 17 em học khá môn Văn.
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.
	ĐS: a) n(AÇB) = n(A) + n(B) – n(AÈB) = 15 +17 – 25 = 7 Þ P(AÇB)=	 b) 
Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ĐS: a) 	b) 
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS: 
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
ĐS: 
Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.
ĐS: 
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.
ĐS: a) 	b) 	c) 
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được:
ít nhất 2 bóng tốt	b) ít nhất 1 bóng tốt.
Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi.
Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái.
Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi	b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi
c) Không có học sinh trung bình.
Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
Số đó là số lẻ.
Số đó chia hết cho 5
Số đó chia hết cho 9.
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
	· X = {x1, x2, ,xn}
	· P(X=xk) = pk	p1 + p2 +  + pn = 1
2. Kì vọng (giá trị trung bình)
	· m = E(X) = 
3. Phương sai và độ lệch chuẩn
	· V(X) = = 	· s(X) = 
Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94.
Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X:
X
1
2
3
P
0,3
0,5
0,2
	Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X.