Ôn tập chương III: Nguyên hàm – tích phân 12

ÔN TẬP Chương III: Nguyên Hàm – Tích Phân 
I, Định nghĩa nguyên hàm.
Cho hàm số f(x) xác định trên K ( K là khoảng hay nửa khoảng ) . Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
 Nếu F’(x) = f(x) với mọi x K
Kí hiệu: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: C R
III. Các phương pháp tìm nguyên hàm: 
Tìm nguyên hàm bằng ĐN, T ính chất nguyên hàm đưa về cơ bản.
Phöông phaùp giaûi: 
 Thöôøng ñöa nguyeân haøm ñaõ cho veà nguyeân haøm cuûa toång vaø hieäu sau ñoù vaän duïng baûng nguyeân haøm thöôøng duøng keát quaû.
 Tính chất:
B¶ng c¸c c«ng thøc nguyªn hµm th­¬ng gÆp:
Nguy ên h àn c ủa h àm s ố s ơ c ấp
Nguy ên h àn c ủa h àm s ố h ợp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tính chất 1: 
Tính chất 2: ( k l à h ằng s ố kh ác kh ông )
 3. Tính chất 3: 
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
VÝ dô 1: T×m nguyªn hµm:
H­íng dÉn:
Baøi taäp ñeà nghò:
 Tính caùc tích phaân sau:
 1/I= 
 2/J= 
 3/K= 
VÝ dô 2: T×m nguyªn hµm:
f(x) = x3 – 3x + 
Gi¶i:
VÝ dô 3: T×m nguyªn hµm:
f(x) = + 
Gi¶i:
VÝ dô 4: T×m nguyªn hµm:
f(x) = (5x + 3)5
Gi¶i:
VÝ dô 5: T×m nguyªn hµm:
f(x) = sin4x cosx
Gi¶i:
 T×m nguyªn hµm b»ng ph­¬ng ph¸p ®æi biªn d¹ng I: u lµ hµm sè cña x
Daïng 1: Tính tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán daïng :
Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët u = (x) du = 
 Hoaëc Suy ra dx theo du : 
 thay vaøo bieåu thöùc.
 b2: Vieát tích phaân ñaõ cho theo bieán 
 môùi, roài tính tích phaân tìm ñöôïc .
T×m nguyªn hµm b»ng ph­¬ng ph¸p ®æi biªn d¹ng I: u lµ hµm sè cña x
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
Ví duï: Tính tích phaân sau:
Giaûi:
 Ñaët u = x2 + x +1 du = (2x+1) dx
Vaäy I= 
Tính caùc tích phaân sau:
1/ 2/ 3/ 4/ 
Ví duï : Tính tích phaân sau :
Giaûi:
Ñaët u= u2= x2+ 3 udu = x dx
 Vaäy J = 
 T×m nguyªn hµm b»ng ph­¬ng ph¸p ®æi biªn d¹ng I: x lµ hµm sè cña t
Daïng 2: Tính nguyeân haøm -tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán daïng II:X laø haøm soá cuûa t:
 Phöông phaùp giaûi: 
 b1: Ñaët x = u(t) dx = 
 b2: Vieát I = veà tích phaân môùi theo bieán môùi roài tính tích phaân .
 Chuù yù: Khi gaëp tích phaân maø bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân coù daïng :
 thì ñaët x= sint 
 thì ñaët x= tgt 
 thì ñaët x= 
 T×m nguyªn hµm b»ng ph­¬ng ph¸p ®æi biªn d¹ng I: x lµ hµm sè cña t
 Daïng 2: Tính nguyeân haøm - tích phaân baèng phöông phaùp ñoåi bieán daïng II:X laø haøm soá cuûa t:
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT – BTVN
Ví duï: Tính :
Giaûi:
 Ñaët x = sint dx = cost.dt. 
 Vaäy : = 
 = 
Daïng 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn:
Coâng thöùc töøng phaàn : 
Phöông phaùp giaûi: 
 B1: Ñaët moät bieåu thöùc naøo ñoù döôùi daáu tích phaân baèng u tính du. phaàn coøn laïi laø dv tìm v.
 B2: Khai trieån tích phaân khoâng xaùc ñònh ñaõ cho theo coâng thöùc töøng phaàn.
 B3: Tích phaân suy ra keát quaû.
Chuù yù:
a/Khi tính tính tích phaân töøng phaàn ñaët u, v sao cho deã tính hôn neáu khoù hôn phaûi tìm caùch ñaët khaùc.
b/Khi gaëp tích phaân daïng : 
 - Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø moät trong caùc haøm soá eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta ñaët u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Neáu baäc cuûa P(x) laø 2,3,4 thì ta tính tích phaân töøng phaàn 2,3,4 laàn theo caùch ñaët treân.
- Neáu P(x) laø moät ña thöùc ,Q(x) laø haøm soá ln(ax+b) thì ta ñaët u = Q(x) ; dv = P(x).dx
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
Ví duï 1:
 Tính caùc tích haân sau:
 I= 
Giai: 
Ñaët :
(chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx )
vaäy I=x cosx - = xcosx – Cosx + C
 I = Cosx.(x – 1) + C
Tính caùc tích phaân sau:
1/ 
 2/ 
Ví duï 2: 
Tính caùc tích phaân sau:
J=
Giaûi
 Ñaët :
Vaäy J= lnx. - 
Tính caùc tích phaân sau:
3/ 4/ 5/
Daïng 4: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm höõu tæ thöôøng gaëp:
a/Daïng baäc cuûa töû lôùn hôn hay baèng baäc cuûa maãu:
Phöông phaùp giaûi: 
 Ta chia töû cho maãu taùch thaønh toång cuûa moät phaàn nguyeân vaø moät phaàn phaân soá roài tính.
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
Ví duï: 
Tính caùc tích phaân sau:
Giaûi:
I = + C
Tính caùc tích phaân sau:
I = 
Ví duï: 
Tính caùc tích phaân sau:
Giaûi:
+C
Tính caùc tích phaân sau:
J = 
b/Daïng baäc1 treân baäc 2:
Phöông phaùp giaûi: 
 Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính.
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
Tröôøng hôïp maãu soá coù 2 nghieäm phaân bieät:
Ví duï: 
 Tính caùc tích phaân:
I = 
Giaûi
Ñaët:=
 A(x-3)+B(x+2)=5x-5 
 Cho x=-2 A=3. cho x=3 B=2. 
 Vaäy ta coù: 
I = 
I = 
Tính caùc tích phaân sau:
1/I= 
Tröôøng hôïp maãu soá coù nghieäm keùp:
Ví duï: 
Tính caùc tích phaân : 
I = 
Giaûi
CI:
 I=
 =(ln + C
CII: Ñaët 
 Ax -2A+B= 0 
Vaäy: I = = 
Tính caùc tích phaân sau:
2/I= 
Tröôøng hôïp maãu soá voâ nghieäm:
Ví duï: 
Tính caùc tích phaân I= 
Giaûi:
Ta coù = 
Tính J= 
Ñaët x+1= dx=.
vaäy J= =t + C
Vaäy I= Trong ñoù t ñöôïc xaùc ñònh : x+1=
Tính caùc tích phaân sau:
3/ I= 
Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ:
 Daïng1: 
 Ñaët t=
 Daïng 2: 
 Ñaët t=
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
Ví duï: 
Tính tích phaân 
I = 
Giaûi
Ñaët: 
 u = u3= 1-x x= 1-u3 
 dx= -3u2du.
 Vaäy I= 
Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 
 2/ 
Daïng 6: Tính tích phaân cuûa moät soá haøm löôïng giaùc thöôøng gaëp
Daïng:
Phöông phaùp giaûi:
Duøng coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång ñeå taùch thaønh toång hoaëc hieäu caùc tích phaân roài giaûi.
Daïng: 
Phöông phaùp giaûi: Neáu n chaün duøng coâng thöùc haï baäc, n leû duøng coâng thöùc ñoåi bieán. 
VÝ Dô – Bµi tËp
H­íng dÉn
BTTT - BTVN
Ví duï :
Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx
Daïng: Ñaëc bieät: 
Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx
 Caùc tröôøng hôïp coøn laïi ñaët x=tgt
Ví duï: 
 Tính caùc tích phaân sau:
a/I1= 
Giaûi
a/I1= 
 = 
Tính caùc tích phaân sau:
2/ 
b/I2= 
b/I2=
Tính caùc tích phaân sau:
3/ 
c/I3= 
c/I3==
Ñaët u=sinx du = cosx dx.
 Vaäy: I=
Tính caùc tích phaân sau:
4/
d/I4=
d/I4==
Ñaët u=sinx du = cosx dx.
Vaäy: I4=
*C¸ch ®Æt u vµ dv trong ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
u
P(x)
lnx
P(x)
dv
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chó ý: §iÒu quan träng khi sö dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn lµ lµm thÕ nµo ®Ó chän u vµ thÝch hîp trong biÓu thøc d­íi dÊu tÝch ph©n f(x)dx. Nãi chung nªn chän u lµ phÇn cña f(x) mµ khi lÊy ®¹o hµm th× ®¬n gi¶n, chän lµ phÇn cña f(x)dx lµ vi ph©n mét hµm sè ®· biÕt hoÆc cã nguyªn hµm dÔ t×m.
 Cã ba d¹ng tÝch ph©n th­êng ®­îc ¸p dông tÝch ph©n tõng phÇn:
NÕu tÝnh tÝch ph©n mµ P(x)lµ ®a thøc chøa x vµ Q(x) lµ mét trong nh÷ng hµm sè: th× ta th­êng ®Æt 
NÕu tÝnh tÝch ph©n mµ P(x) lµ ®a thøc cña x vµ Q(x) lµ hµm sè ln(ax) th× ta ®Æt 
NÕu tÝnh tÝch ph©n hoÆc th×
 ta ®Æt 
 hoÆc ®Æt 
Trong tr­êng hîp nµy, ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn hai lÇn sau ®ã trë thµnh tÝch ph©n ban ®Çu. Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶ tÝch ph©n cÇn tÝnh.
II.TÝch ph©n mét sè hµm sè th­êng gÆp
1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc
a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:
 .
 (trong ®ã víi mäi )
XÐt .
 +)NÕu th× tÝnh ®­îc.
 +)NÕu th× ,
 (trong ®ã )
 .
 +) NÕu th× 
§Æt , ta tÝnh ®­îc I.
b) TÝnh tÝch ph©n: .
(trong ®ã liªn tôc trªn ®o¹n )
 +) B»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho: 
 +)Ta cã I= 
 . TÝch ph©n = 
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc.
 c) TÝnh tÝch ph©n víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x.
NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc.
NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c tr­êng hîp:
+ Khi Q(x) chØ cã nghiÖm ®¬n th× ®Æt
 .
+ Khi th× ®Æt
+ Khi víi a ¹ b th× ®Æt
VÝ dô 7. TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i: 
 C¸ch 1.B»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè ta cã thÓ t×m A, B sao cho:
VËy .
Do ®ã 
 .
C¸ch 2. V× nªn ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n trªn b»ng c¸ch:
 	T×m A, B sao cho: 
VËy .
Do ®ã 
 .
VÝ dô 8:TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i:
Do 
 §Æt 
VËy .
VÝ dô 9. TÝnh tÝch ph©n: . 
Gi¶i:
 .
2. TÝch ph©n c¸c hµm l­îng gi¸c
2.1.D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n c¬ b¶n
VÝ dô 10: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 
 a) ;
b);
 c) 
.
Gi¶i
 a) 
 . 
b) Ta cã 
.
 . 
c) 
.
2.2.D¹ng 2: §æi biÕn sè ®Ó h÷u tØ hãa tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c 
2.2.1.TÝnh 
 Ph­¬ng ph¸p:
 §Æt 
 Ta cã: vµ 
 ®· biÕt c¸ch tÝnh.
VÝ dô 11. 
TÝnh 
I = 
Gi¶i: §Æt 
 .
2.2.2. TÝnh 
Ph­¬ng ph¸p: 
§Æt ®· tÝnh ®­îc.
VÝ dô 12. 
TÝnh: .
Gi¶i:
Ta cã 
 §Æt 
2.2.3. TÝnh .
Ph­¬ng ph¸p:
+)T×m A, B, C sao cho:
+) VËy =
=
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc
 TÝch ph©n
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc.
VÝ dô 13.
 TÝnh: . 
Gi¶i:
 B»ng c¸ch c©n b»ng hÖ sè bÊt ®Þnh, t×m A vµ B sao cho:
 .
2.3.D¹ng 3: §æi biÕn sè ®Ó ®­a vÒ tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c ®¬n gi¶n h¬n 
 (Xem vÝ dô 17, 20, 21)
2.4.Chó ý: Nguyªn hµm d¹ng , víi lµ mét hµm h÷u tØ theo sinx, cosx
§Ó tÝnh nguyªn hµm trªn ta ®æi biÕn sè vµ ®a vÒ d¹ng tÝch ph©n hµm h÷u tØ mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh tÝch ph©n.
Tr­êng hîp chung: §Æt 
 Ta cã 
Nh÷ng tr­êng hîp ®Æc biÖt:
+) NÕu lµ mét hµm sè ch½n víi sinx vµ cosx nghÜa lµ 
 th× ®Æt hoÆc , sau ®ã ®­a tÝch ph©n vÒ d¹ng h÷u tØ theo biÕn t.
 +) NÕu lµ hµm sè lÎ ®èi víi sinx nghÜa lµ: 
 th× ®Æt .
 +) NÕu lµ hµm sè lÎ ®èi víi cosx nghÜa lµ: 
 th× ®Æt .
3.TÝch ph©n hµm v« tØ 
3.1 .D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n v« tØ c¬ b¶n
VÝ dô 14. 
TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i
VÝ dô 15:
TÝnh tÝch ph©n 
I =.
Gi¶i: I=. 
3.2.D¹ng 2: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c
 (xem vÝ dô 2)
3.3D¹ng 3: BiÕn ®æi lµm mÊt c¨n
 Gåm: §æi biÕn sè t lµ toµn bé c¨n thøc
 ViÕt biÓu thøc trong c¨n d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng ®óng
VÝ dô 16:
TÝnh 
Gi¶i: 
§Æt t= 
 Ta cã: xdx=-tdt, Khi x= 0 th× t =1,khi x = 1 th× t =0 
VËy 
4.TÝch ph©n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Ph­¬ng ph¸p:Chóng ta ph¶i ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 
VÝ dô 17:
 TÝnh 
Gi¶i: 
LËp b¶ng xÐt dÊu cña trªn ®o¹n 
x
-2 -1 1 2
 + 0 - 0 +
Do ®ã 
III.TÝch ph©n mét sè hµm ®Æc biÖt
1.Cho hµm sè liªn tôc vµ lÎ trªn ®o¹n . Khi ®ã
 .
VÝ dô 18: 
Chøng minh .
Gi¶i: 
 §Æt . Khi x= th× t = - , khi th× 
Do ®ã : I= 
Suy ra : 2I = 0. Ta ®­îc .
2.Cho hµm sè liªn tôc vµ ch½n trªn ®o¹n . Khi ®ã .
 Chøng minh : Ta cã (1)
 Ta tÝnh b»ng c¸ch ®Æt 
 (2)
 Thay (2) vµo (1) ta ®­îc 
VÝ dô 19: 
TÝnh tÝch ph©n: 
Gi¶i: 
 Ta cã 
Do lµ hµm sè lÎ trªn nªn 
vµ lµ hµm sè ch½n trªn nªn ta cã: 
VËy .
3.Cho hµm sè liªn tôc vµ ch½n trªn ®o¹n. Khi ®ã
Chøng minh: §Æt t= -x dt= - dx
Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= 
Khi x= - th× t = ; x = th× t =- 
VËy 
Suy ra 
VÝ dô 20 : 
TÝnh tÝch ph©n: . 
Gi¶i:
§Æt t = -x dt = - dx
Khi x= - 1 th× t = 1 ; x =1 th× t = -1 
VËy 
Suy ra 
4.Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n .Khi ®ã 
 .
 Chøng minh: 
 §Æt 
 Khi x = 0 th× , khi th× t = 0
Do ®ã .
NhËn xÐt : B»ng c¸ch lµm t­¬ng tù ta cã c¸c c«ng thøc
 *NÕu f(x) liªn tôc trªn th× 
 *NÕu f(x) liªn tôc trªn th× 
VÝ dô 21:
Chøng minh: I=.
Gi¶i :
 T­¬ng tù nh­ trªn ta cã:
 I= =J
 +) VËy I+J= 
VËy I= .
VÝ dô 22: 
TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i:
 §Æt .
Khi ®ã 
VËy 
Bµi tËp ®Ò nghÞ
Bµi 1.TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
 ( §H-KA-2006)
(§H-KA-2005)
(§H-KB-2005)
Bµi 2.TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
Bµi 3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau