Ôn tập Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
1/ Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm	Û (C1) và (C2) không có điểm chung.
	(1) có n nghiệm	Û (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1	Û (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).
(1) có nghiệm kép x0	Û (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).
2/ Một số bài toán về giao điểm của hàm bậc 3
Giả sử hàm số: y = ax3 + bx2 + cx + d với a ¹ 0 có đồ thị là (C).
 2.1 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
	CI/ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
	Û 
 CII/ Nếu y = ax3 + bx2 + cx + d =(x-x0).(a.x2+b’.x+c’). (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û a.x2+ b’x+c’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác x0
 2.2 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ >a
	CI/ Giả sử a > 0 ta có :
	(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > a Û 
 CII/ Nếu y = ax3 + bx2 + cx + d =(x-x0).(a’.x2+b’.x+c’). (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt biệt có hoành độ >a Û a.x2+ b’x+c’=0 có 2 nghiệm phân biệt > a và x0>a
 2.3 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ <a
	CI/ Giả sử a > 0 ta có : (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < a
	Û 
 CII/ Nếu y = ax3 + bx2 + cx + d =(x-x0).(a.x2+b’.x+c’). (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt biệt có hoành độ <a Û a.x2+ b’x+c’=0 có 2 nghiệm phân biệt < a và x0<a
 2.4 Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm tiếp xúc tại 1 điểm 
 2.5 Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất
	 Dy' £ 0 Ú 
 2.6 Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành CSC : 
	Û 
3/Biện luận số giao điểm của đồ thị (C) của hs : y=ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) với trục Ox
	Nếu x = a là 1 nghiệm, ta có ax3 + bx2 + cx + d = (x - a)(ax2 + b1x + c1) (1)
Ta có (1) luôn có 1 nghiệm là x = a số nghiêm của (1) phụ thuộc số nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:
i)	nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = a (C) và Ox có 1 giao điểm
ii)	nếu (2) có nghiệm kép x = a thì (1) có duy nhất nghiệm x = a (C) và Ox có 1 giao điểm
iii)	nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ¹ a thì (1) có 3 nghiệm phân biệt (C) và Ox có 3 giao điểm
iv)	nếu (2) có 1 nghiệm x = a và 1 nghiệm khác a thì (1) có 2 nghiệm. (C) và Ox có 2 giao điểm
v)	nếu (2) có nghiệm kép ¹ a thì (1) có 2 nghiệm (C) và Ox có 2 giao điểm
 4/Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình 
Phương pháp giải:
B1: Biến đổi phuong trình 
B2: Vẽ đồ thị (C) của hàm y = f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng 
y = (cùng phương với trục hoành ). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Baøi taäp ñeà nghò:
Baøi 1 : Cho hàm số có đồ thị (C).
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cña hµm sè.
 b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: x3 - 3x2 + m + 1 = 0
Baøi 2: Cho haøm soá y= x3 - 3x – 2 coù ñoà thò (C)
 a) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò haøm soá.
 b) Duøng ñoà thò (C), ñònh m ñeå phöông trình x3 - 3x = m coù 3 nghieäm phaân bieät.
Bài 3: : Cho hàm số y = x4 – 4 x2 + 5 có đồ thị (C).
 a) Khaûo saùt và vẽ đồ thị haøm soá trên.
 b) Duøng ñoà thò (C) cuûa haøm soá vöøa khaûo saùt bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình x4 – 4 x2 + 5 = m.
Bài 4: Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
 a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
 b) Dïng ®å thÞ (C), h·y biÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh 
Ví dụ :
1/ Cho hàm số . Chứng minh đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt?
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng:
 có .
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi và hai nghiệm đó đều khác .
Vậy đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt với mọi .
2/ Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt?
Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:
Ñaët 
 Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , tức là:
 .
3/ Cho hàm số . 
 a/ Với các giá trị nào của , đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt ?
b/ Tìm tập hợp trung điểm của đoạn khi thay đổi?
Giải:
 a/ Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị : 
 cắt tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 
b/ Tọa độ trung điểm của đoạn là:
( Do theo heä thöùc Viet, ta coù: )
Suy ra hay 
Vậy nằm trên đường thẳng .
Từ suy ra . Do nên 
Vậy tập hợp trung điểm của đoạn khi lấy các giá trị trong tập hợp là phần đường thẳng ứng với .
4/ Cho hàm số . Xác định để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Để có 3 nghiệm ta phải có: 
So sánh ,, ta có: . Do theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng , ta có: 
Thay vào , ta được .
Bài tập đề nghị
Cho hàm số .	(ĐH Khối-D 2006)
	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
	b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Cho hàm số 	(*) (m là tham số)	(ĐH Khối-A 2003)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=-1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).	(ĐH Khối-D 2003)
b. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) (m là tham số)(ĐH Khối-A 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
5. Cho hàm số 
 Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt . Xác định sao cho độ dài là nhỏ nhất?
6. Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Tìm để đường thẳng , là tham số cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dương.
7. Cho hàm số .
 Tìm các giá trị của tham số để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
8. Cho hàm số .
 Tìm để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm sao cho vuông góc với ?
Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Cho hàm số 
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị 
 b/ Tìm để phương trình có 6 nghiệm phân biệt?
Cho haøm soá , laø tham soá.
a/ Khaûo saùt veõ ñoà thò haøm soá khi . 
b/ Tìm ñeå ñöôøng thaúng caét ñoà thò taïi 4 ñieåm phaân bieät ñeàu coù hoaønh ñoä nhoû hôn 2.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Tóm tắt lý thuyết:
· Daáu hieäu caàn: Haøm f(x) ñaït cöïc trò taïi x0 vaø coù ñaïo haøm taïi x9 thì f/(x0)=0
· Daáu hieäu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > 0.
+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại tại x0, 
+Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu tại x0
Chú ý: 
Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b). 
Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 ó
·Daáu hieäu II:
Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0 Î (a;b)
 +Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
 +Nếu thì hàm số đạt cực đại tại x0.
 Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những trường hợp mà y/ khó xét dấu 
*Cực trị của hàm hữu tỉ : 
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 và giá trị cực trị y(x0) = .
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu)	.
- Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu 
- Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm phía trên trục hoành	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành	.
- Để hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành	.
- Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số 
 Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số 
 Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 
Một số ví dụ :
1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
 1) . 2) 
Giải
1) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
 Vậy giá trị cần tìm là: và .
2) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt khác –1 
Vậy giá trị cần tìm là: 
2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị
1) . 2) 
Giải
1) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Xét :
 đổi dấu khi x đi qua 
Hàm số có cực trị không thỏa
Xét :
Hàm số không có cực trị không đổi dấu 
 phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
 Vậy giá trị cần tìm là .
2) 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1) 
Hàm số không có cực trị không đổi dấu 
 phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
Xét :
 thỏa
Xét :
Yêu cầu bài toán : vô nghiệm 
Vậy giá trị cần tìm là: 
 3. Cho hàm số . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung hay có hai nghiệm phân biệt thoả 
Vậy giá trị cần tìm là: 
4. Cho hàm số . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): .
 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị 
Đặt 
Hai điểm A, B ở về hai phía của hai đường tròn 
 (do )5. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu thoả .
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
Hàm số có cực đại và cực tiểu hay có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Theo định lí Vi-ét và theo đề bài, ta có:
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) và (3), ta có: 
Thế vào (2), ta được:
 (do )
 (thoả (*))
Vậy giá trị cần tìm là: 
6. Cho hàm số . 
 Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó.
 (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)
Giải: 
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Ta có:
Tương tự ta cũng có:
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu là:
.
7. Cho hàm số . Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu.
Giải
Tập xác định: 
Đạo hàm: 
 (1)
Hàm số có cực đại và cực tiểu có hai nghiệm phân biệt 
 (*)
Lấy y chia cho y’, ta có:
Gọi là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì là nghiệm của (1)
Theo định lí Vi-ét, ta có:
Ta có:
Tương tự ta cũng có: 
Yêu cầu bài toán 
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: .
Bài tập đề nghị :
Cho hàm số . Định m để:
Hàm số luôn có cực trị.
Có cực trị trong khoảng .
Có hai cực trị trong khoảng .
Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Cho hàm số y = x3-3x2+3mx+3m+4.
Khảo sát hàm số khi m = 0.
Định m để hàm số không có cực trị.
Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
Cho hàm số . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
Cho hàm số (1), m là tham số.	(ĐH Khối-B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
	b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.
Cho hàm số 	(1) (m là tham số).
 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.	(ĐH Khối-B năm 2002)
 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 	(*) (m là tham số)
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng .
(Döï bò 1 khoái A 2002) Cho haøm soá:, (1)
	a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m=1.
	b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc vuoâng caân .
(Döï bò 1 khoái D 2002) Cho haøm soá:, (1)
	a) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m=0.
	b) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù cöïc ñaïi cöïc tieåu . Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì khoaûng caùch 
	giöõa hai ñieåm cöïc trò cuûa ñoà thò haøm soá (1) baèng 10.
Cho hàm số . Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
Xác định m để hàm số .
a. Đồng biến trên R. b. Đồng biến trên .
Dạng 3: TIẾP TUYẾN VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG
Cho hàm số ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm .
- Tính đạo hàm và giá trị .
- Phương trình tiếp tuyến có dạng: .
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc .
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là .
- Giải phương trình: , tìm nghiệm .
- Phương trình tiếp tuyến dạng: .
Chú ý: Cho đường thẳng D: y = kx + m, khi đó:
- Nếu có hệ số góc a = k.
- Nếu Þd có hệ số góc .
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
Cách I/ - Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó 
 - Điều kiện tiếp xúc của là hệ phương trình sau phải có nghiệm: giải hệ này tìm được k thế vào (*) tìm được phương trình tiếp tuyến
Cách II/ Giả sử tiếp điểm là , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: . 
Do điểm , ta được: . Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến .
Tổng quát: Cho hai đường cong và . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm. .
Bài tập đề nghị :
 Cho ñöôøng cong (C) y = x3. Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng cong :
a.Taïi ñieåm A(-1 ; -1) b.Tiếp tuyến đi qua B(2 ;8). c. Taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng –2 
d.Taïi ñieåm coù tung ñoää baèng –8 e. Bieát raèng heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng 3.
Cho hàm số 
 a/ Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình .
 b/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Cho hàm số .
 a/ Hãy tìm tất cả các điểm thuộc trục mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị.
Cho hàm số . a/ Khảo sát vẽ đồ thị khi .
 b/ Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Cho hàm số .
Tìm trên đồ thị các điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng .
Cho hàm số 
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
 b/ Tìm tọa độ điểm thuộc , biết tiếp tuyến của cắt 2 trục tại và tam giác có diện tích bằng .
Cho hàm số 
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác cân tại gốc tọa độ .
Cho hàm số 
 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại hai điểm phân biệt sao cho độ dài là nhỏ nhất?
Cho hàm số 
 Xác định để đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến của tại song song nhau?
Cho hàm số .
 a/ Khảo sát vẽ đồ thị .
 b/ Cho điểm . Xác định để từ điểm kẽ được hai tiếp tuyến đến sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục ?
Cho hàm số .a/ Khảo sát vẽ đồ thị .
 b/ Hãy tìm tất cả các điểm thuộc trục mà từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị.
Cho hàm số .
 Cho . Tìm phương trình các đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đồ thị của hàm số.
Cho haøm soá . Laäp phöông trình tieáp tuyeán taïi caùc ñieåm coá ñònh maø ñoà thò haøm soá luoân ñi qua vôùi moïi .
Cho haøm soá 
 Tìm caùc ñieåm treân ñoà thò maø tieáp tuyeán taïi moãi ñieåm aáy vôùi ñoà thò vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm cöïc ñaïi, cöïc tieåu cuûa ?