Nội dung ôn tập thi tốt nghiệp khối 12 môn: Toán

OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
1 
NỘI DUNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP KHỐI 12 
Môn : TOÁN (2010-2011) 
I/. PHA ÀN GIA ÛI TÍCH : 
1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò hsoá daïng : 
 y= a x3 + bx2 + cx + d ; y = ax4 +bx2 +c 
y = ax b
cx d
+
+
2.Caùc baøi toaùn lie ân quan : 
- Söï töông giao cuûa hai ñoà thò 
- Ba daïng tie áp tuyeán 
- Bieän luaän theo m soá nghieäm pt baèng ñoà thò 
- Tìm caùc ñie åm treân (c ) coù toaï ñoä laø caùc soá nguyeân 
- Tìm m ñeå haøm soá coù cñ vaø ct 
- Tìm m ñeå haøm soá ñaït cöïc trò thoaû ñk cho tröôùc 
- Tìm m ñeå (
1c ) vaø ( 2c ) txuùc nhau 
- Tìm GTLN vaø GTNN (treân 1 khoaûng hoaëc 1 ñoaïn ) 
- Tìm m ñeå pt coù n nghieäm 
3/.Nguye ân haøm vaø tích phaân : 
- Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá thöôøng gaëp 
- Tính tích phaân baèng p2 ñoåi bie án soá vaø pp tích phaân töøng phaàn 
- ÖÙng duïng cuûa tích phaân : tính dieän tích hình phaúng , theå tích vaät theå troøn xoay 
4.Phöông trình – bất phương trình – hệ phương trình muõ vaø logarit : 
- Giaûi phöông trình muõ , baát phöông trình muõ vaø logarit. 
- Giaûi heä phöông trình muõ vaø logarit . 
5. Soá phöùc : 
 - Moâñun cuûa soá phöùc , caùc pheùp toaùn tre ân soá phöùc. 
 - Caên baäc hai cuûa soá phöùc 
 - Phöông trình baäc hai vôùi heä soá phöùc . 
 - Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc . 
 II /. PHA ÀN HÌNH HOÏC : 
1/.Hình hoïc khoâng gian toång hôïp : 
- Tính theå tích khoái laêng truï , khoái choùp. 
- Tính theå tích khoái truï , khoái noùn , khoái caàu. 
- Tính dieän tích xung quanh cuûa hình noùn , hình truï , die än tích maët caàu . 
2/. Phöông phaùp toaï ñoä trong khoâng gian : 
a/.Caùc baøi toaùn veà ñieåm vaø vectô : 
· Tìm toaï ñoä 1 ñie åm thoaû ñie àu kie än cho tröôùc , troïng taâm tam giaùc , giao ñieåm cuûa ñöôøng 
thaúng vaø maët phaúng , giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng , hình chieáu cuûa 1 ñie åm treân ñöôøng 
thaúng , maët phaúng , tìm ñieåm ñoái xöùng vôùi 1 ñie åm qua ñöôøng thaúng , maët phaúng cho tröôùc , 
tìm giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu . 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
2 
· Chöùng minh hai vectô cuøng phöông hoaëc khoâng cuøng phöông , 2 vectô vuoâng goùc , 3 vectô 
ñoàng phaúng hoaëc khoâng ñoàng phaúng, tính goùc giöõa hai vectô , die än tích tam giaùc , theå tích töù 
die än , chieàu cao töù die än , ñöôøng cao tam giaùc 
b/.Caùc baøi toaùn veà maët phaúng vaø ñöôøng thaúng : 
- Laäp pt maët phaúng :qua 3 ñieåm , maët phaúng theo ñoaïn chaén , qua 1 ñieåm song song vôùi maët 
phaúng , qua 1 ñieåm ^ vôùi ñöôøng thaúng , qua 1 ñieåm song song vôùi hai ñöôøng thaúng , qua hai 
ñie åm vaø ^ vôùi maët phaúng , qua 1 ñieåm vaø chöùa moät ñöôøng thaúng cho tröôùc , chöùa 1 ñt a vaø 
song song vôùi 1 ñt b. 
- Laäp pt ñöôøng thaúng : Qua 2 ñieåm , qua 1 ñieåm vaø song song vôùi ñt , qua 1 ñieåm vaø song 
song vôùi 2 mp caét nhau , qua 1 ñieåm vaø vuoâng goùc vôùi 1 mp , pt hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt 
tre ân mp , qua 1 ñieåm vaø vuoâng goùc vôùi 2 ñt , qua 1 ñieåm vaø caét 2 ñöôøng thaúng , qua 1 ñieåm 
vuoâng goùc vôùi ñt thöù nhaát vaø caét ñt thöù hai. 
- Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñt , ñt vaø mp. 
c/. Khoaûng caùch : 
- Töø 1 ñie åm ñeán 1 mp , 1 ñie åm ñeán 1 ñt , giöõa 2 ñt. 
d/. Maët caàu: 
- Tìm taâm vaø baùn kính cuûa maët caàu coù phöông trình cho tröôùc. 
- Laäp pt maët caàu : Coù ñöôøng kính AB , coù taâm I vaø tie áp xuùc vôùi mp , coù taâm I vaø ñi qua 1 ñieåm 
M , qua 4 ñieåm khoâng ñoàng phaúng ( ngoaïi tie áp töù die än). 
- Laäp pt maët phaúng : Tieáp xuùc vôùi maët caàu taïi 1 ñie åm M thuoäc maët caàu , chöùa 1 ñöôøng thaúng 
vaø tie áp xuùc vôùi maët caàu , song song vôùi mp cho tröôùc vaø tie áp xuùc vôùi maët caàu. 
e/. Goùc : 
- Goùc giöõa 2 vectô 
- goùc trong cuûa tam giaùc 
- goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng 
- goùc giöõa 2 ñöôøng thaúng 
- goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 
PHA ÀN I : GIA ÛI T ÍCH 
W W W .MA THVN.COM - VA ÁN ÑEÀ 1 : KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ VAØ CAÙC BAØI TOAÙN LIEÂN QUAN. 
Baøi 1: cho haøm soá y =2x3 – 3x2 
1/Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C ) haøm soá 
2/Tìm k ñeå phöông trình : 2x3 – k= 3x2 +1 coù 3 nghieäm phaân bie ät 
Ñaùp soá :( - 2 < k < -1) 
3/V ieát phöông trình caùc tie áp tuyeán cuûa ( c ) bie át tie áp tuyeán ñi qua goác toaï ñoä 
Ñaùp soá :
0
9
8
y
y x
=é
ê
ê = -
ë
Baøi 2: Cho haøm soá y= x4 +kx2-k -1 ( 1) 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
3 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( c ) haøm soá khi k = -1 
2/ V ieát phöông trìh tie áp tuyeán vôi ( c) bie át tie áp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 
y= 
2
x - 1. Ñaùp soá : y= -2x-2 
3/. Xaùc ñònh k ñeå haøm soá ( 1 ) ñaït cöïc ñaïi taïi x = -2. 
Baøi 3: Cho haøm soá y= (x-1)2 ( 4 - x ) 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (c ) cuûa haøm soá 
2/ V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi ( c) taïi ñie åm uoán cuûa (c ) . Ñaùp soá : y = 3x - 4 
3/ V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi ( c) qua A ( 4 , 0 ) . Ñaùp soá : y = 0 vaø y = -9x + 36 
Baøi 4: Cho haøm soá y= 1
2
x4 – ax2 +b 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( c) cuûa haøm soá khi a =1 , b = - 3
2
 2/ V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi (c ) taïi giao ñieåm cuûa ( c ) vôùi ox 
Ñaùp soá : 12x34y --= . vaø 12x34y -= . 
Baøi 5: a/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá y= 1
2
 x4 -3x2 + 3
2
b/ V ieát phöông trình tie áp tuyeán cuûa ( C) taïi caùc ñie åm uoán . 
Ñaùp soá : y = 4x+3 vaø y = -4x +3 
c/ Tìm caùc tie áp tuyeán cuûa (C ) ñi qua dieåm A ( 0, 3
2
) 
Ñaùp soá : y = 0 ; y =
2
3
x22 +± . 
Baøi 6: Cho haøm soá y = x3 +3x2 +mx +m -2 coù ñoà thò (Cm ) 
1/ Khaûo saùt söï bie án thie ân vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá khi m= 3 
2/ Goïi A laø giao ñieåm cuûa ( C) vaø truïc tung. V ieát phöông trình tie áp tuyeán d cuûa (C ) taïi A . 
3/ Tìm m ñeå (Cm )caét truïc hoaønh taïi 3 ñie åm phaân bie ät 
Baøi 7: Cho haøm soá y= 2
2
x
m
3
x 22
3
-+ coù ñoà thò ( Cm ) 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò( C ) cuûa haøm soá vôùi m= -1 
2/ Xaùc ñònh m ñeå ( Cm) ñaït cöïc tie åu taïi x = -1. 
3/ V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi (C ) bie át tie áp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 
 y= - 5
2 2
x
+ . Ñaùp soá : y =
6
19
x2 - vaø y =
3
4
x2 + 
Baøi 8 :1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C ) cuûa haøm soá y= - 1
3
x3 – 2x2 -3x +1 
2/ Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå pt : 1
3
x3 +2x2 +3x +m =0 coù 3 nghieäm phaân bie ät 
3/ Tìm m ñeå pt : 1
3
x3 +2x2 +3x -2 +m2 = 0 coù 1 nghieäm 
4/ V ieát pttt cuûa ( C ) song song vôùi ñöôøng thaúng y= -3x 
Baøi9 : Cho haøm soá y= mx3 – 3x 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò cuûa haøm soá khi m = 4 
2/ Tìm giao ñieåm cuûa (C )vôùi ñöôøng thaúng D : y = -x +2 
Baøi 10 : Cho haøm soá y= x3 – 3x +1 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
4 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá 
2/ Moät ñöôøng thaúng d ñi qua ñieåm uoán cuûa (C )vaø coù heä soá goùc baèng 1. Tìm toaï ñoä giao 
ñieåm cuûa d vaø (C ) 
ÑS: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 ) 
Baøi 11 : Cho haøm soá y= - 4 21 92
4 4
x x+ + 
1/ Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C ) cuûa haøm soá 
2/ Veõ vaø vie át pttt vôùi ñoà thò (C ) taïi tie áp ñie åm coù hoaønh ñoä x= 1 
ÑS: y= 3x+1 
Baøi 12 : 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá : y = x3 -6x2 + 9x 
 2/. Vôùi caùc giaù trò naøo cuûa m , ñöôøng thaúng y = m caét (C) taïi 3 ñie åm phaân bie ät . 
Baøi 13 : 1/. Tìm caùc heä soá m vaø n sao cho haøm soá : y = -x3 + mx + n 
 ñaït cöïc tie åu taïi ñie åm x = -1 vaø ñoà thò cuûa noù ñi qua ñieåm ( 1 ; 4) 
 2/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá vôùi caùc giaù trò cuûa m , n tìm ñöôïc . 
Baøi 14: 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá : y = -x3 +
2
3 x2 + 6x -3 
 2/. CMR phöông trình -x3 +
2
3 x2 + 6x -3 = 0 coù 3 nghieäm phaân bie ät , trong ñoù coù 
moät nghieäm döông nhoû hôn ½ . 
Baøi 15 : 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá : y = -x4 +2x2 + 2 
 2/. Duøng ñoà thò ( C) , bie än luaän theo m soá nghieäm cuûa pt : 
 x4 -2x2 -2 +m =0 
Baøi 16: 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá : y = x4 +x2 -3 
2/. CMR ñöôøng thaúng y = -6x-7 tie áp xuùc vôùi ñoà thò cuûa haøm soá ñaõ cho taïi ñie åm coù hoaønh ñoä 
baèng -1 . 
Baøi 17 : 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá : y = 
1x2
3x
+
+- 
 2/. V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc hoaønh . 
 3/. V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi (C) taïi giao ñieåm cuûa (C) vôùi truïc tung . 
 3/. V ieát phöông trình tie áp tuyeán cuûa ( C) bie át tie áp tuyeán vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng 
(d) : 7x – y +2 =0 
Baøi 18 : 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò ( C) cuûa haøm soá : y = 
1x
1x2
+
+ 
 2/. V ieát phöông trình tie áp tuyeán cuûa ( C) bie át tie áp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm M( -1 ; 3) 
 ÑS : y = 
4
13
x
4
1
+ 
Baøi 19 : Cho haøm soá y = 3 21 ( 1) ( 3) 4
3
x a x a x
-
+ - + + - 
 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C) cuûa haøm soá khi a = 0 
 2/. V ieát phöông trình tie áp tuyeán vôùi (C) taïi ñie åm uoán cuûa (C) . ÑS : y = 114
3
x - 
Baøi 20 : Cho haøm soá y = x3 + ax2 + bx +1 
 1/. Tìm a vaø b ñeå ñoà thò cuûa haøm soá ñi qua 2 ñieåm A ( 1 ; 2) vaø B( -2 ; -1) 
 ÑS : a = 1 ; b = -1 
 2/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C) cuûa haøm soá öùng vôùi a vaø b tìm ñöôïc . 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
5 
Baøi 21 : Cho haøm soá y = x4 + ax2 + b 
 1/. Tìm a vaø b ñeå haøm soá coù cöïc trò baèng 3
2
 khi x = 1 
 ÑS : a = -2 ; b = 5
2
 2/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C) cuûa haøm soá öùng vôùi a = 1
2
- vaø b = 1 . 
 3/. V ieát phöông trình tie áp tuyeán cuûa (C) taïi ñie åm coù tung ñoä baèng 1 . 
Baøi 22 : Cho haøm soá y = 2
2 x-
 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 
 2/. Tìm caùc giao ñieåm cuûa (C) vaø ñoà thò cuûa haøm soá y = x2 + 1 . V ieát phöông trình tie áp tuyeán 
cuûa (C) taïi moãi giao ñieåm . 
 ÑS : y = 1 1
2
x + ; y = 2x 
Baøi 23 : Cho haøm soá y = 3 2
1
x
x
-
-
 1/. Khaûo saùt vaø ve õ ñoà thò (C) cuûa haøm soá. 
 2/. Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå ñöôøng thaúng y = mx + 2 caét ñoà thò (C) taïi 2 ñie åm phaân bie ät. 
 ÑS : 6 2 5; 6 2 5
0
m m
m
ì - +ï
í
¹ïî
W W W .MA THVN.COM - VA ÁN ÑEÀ 2: GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT-GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM 
SOÁ 
Baøi 1: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá y= 
2 3
1
x
x
+
-
 tre ân [2 ;4 ] 
Baøi 2: Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá : y= 2 sinx - 34 sin
3
x 
1/ Treân ñoaïn [ 0 , p ] 2/ Treân ñoaïn [ 0 ; 
6
p ] 
 3/ Treân ñoaïn [ -
2
p ; 0 ] 4/ Treân R 
Baøi 3 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa haøm soá : y = 2 3
1
x
x
+
-
 tre ân ñoaïn [ -2 ; 0 ] 
 ÑS :miny= 3- ; maxy = 1
3
Baøi 4 : Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá 5x3x2x
3
1
y 23 ++-= tre ân khoaûng (1;+¥ ) 
ÑS :miny= 5 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
6 
Baøi 5: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá 5x3x2x
3
1
y 23 ++-= tre ân ñoaï ... 
y t
z t
= +ì
ï = - +í
ï =î
 tre ân mpa : x+y+2z-5=0 
Baøi 2 : V ieát pt hình chieáu vuoâng goùc d/ cuûa d : 1 2
1 2 3
x y z- +
= =
-
 tre ân mpa :x-y+z+10=0 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
18 
 WWW.MATHVN.COM - VAÁN ÑEÀ 16: VÒ TR Í TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA 2 ÑÖÔØNG THA ÚNG d VA Ø 
d/ 
Phöông phaùp : 
+ d coù vtcp u
v
 vaø ñi qua ñieåm M 
+ d/ coù vtcp /u
uuv
 vaø ñi qua ñieåm M/ 
+ Tính /MM
uuuuuv
a/. d vaø d/ truøng nhau Û u
v
 , /u
uuv
 vaø /MM
uuuuuv
b/. d // d/ Û 
ìï
í
ïî
uuvr
uuuuurr
/
/
u vaø u cuøng phöông
u vaø MM khoâng cuøng phöông
c/. d caét d/ Û 
ì
ï
íé ù =ïë ûî
uuvr
uur uuuuurr
/
/ /
u vaø u khoâng cuøng phöông
u,u . MM 0 
d/. d vaø d/ cheùo nhau Û é ù ¹ë û
uur uuuuurr
/ /u,u . MM 0 
* Chuù yù : / /d d u u^ Û ^
uuvv
Baøi 1: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa 2 ñt : 
 d1: 
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +ì
ï = - -í
ï = +î
 d2 : 
x t
y 3 3t
z 7 4t
=ì
ï = - -í
ï = +î
Ñaùp soá : d1 // d2 
Baøi 2: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa 2 ñt : 
d1: 1 2
x t
y t
z t
=ì
ï = - +í
ï =î
 d2 : 
1
1 2 3
x y z-
= =
-
Ñaùp soá : d1 cheùo d2 
Baøi 3: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa 2 ñt : 
d1:
4
1 1 2
x y z +
= =
- -
 d2 : 
1 2
3 1 1
x y z- -
= =
- -
Ñaùp soá : d1 cheùo d2 
Baøi 4: cho 2 ñt d1 : 
7 3
2 2
1 2
x t
y t
z t
= +ì
ï = +í
ï = -î
 d2 : 
1 2 5
2 3 4
x y z- + -
= =
-
a/. Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa d1 vaø d2 . Ñaùp soá : A (1,-2,5) 
 b/. V ieát pt mp (P) chöùa d1 vaø d2. Ñaùp soá : (P) : 2x-16y-13z+31=0 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
19 
Baøi 5 : Xeùt vò trí töông ñoái cuûa 2 ñt : d1 : 
1
2
1
x t
y t
z t
= -ì
ï = +í
ï = - +î
 d2 : 
/
/
/
2 2
3 2
2
x t
y t
z t
ì = -
ï
= +í
ï =î
Ñaùp soá : d1 // d2 
Baøi 6: Tìm toaï ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñt d1 :
3 2
2 3
6 4
x t
y t
z t
= - +ì
ï = - +í
ï = +î
 vaø d2 : 
ï
î
ï
í
ì
+=
--=
+=
/
/
/
t20z
t41y
t5x
Ñaùp soá : A (3,7,18) 
WWW.MATHVN.COM - VAÁN ÑEÀ 17: VÒ TR Í TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THA ÚNG d VA Ø 
MA ËT PHA ÚNG a 
1/. Caùch 1: d coù vtcp a
v
, a coù vtpt n
v
a/. Neáu a
v
. n
v
¹ 0 ® d caét a 
b/. Neáu a
v
. n
v
=0® d//a hay dÌ a 
 Tìm MÎd: 
//M d
M d
a a
a a
Ï ®é
ê Î ® Ìë
2/. Caùch 2: Giaûi heä pt cuûa d vaø a 
§ Heä coù 1 nghieäm Û d caét a 
§ Heä voâ nghieäm Û d // a 
§ Heä voâ soá nghieäm Û dÌ a 
Baøi 1: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñt d : 
1
3 2
2
x t
y t
z t
= - +ì
ï = -í
ï = - +î
Vaø mpa : x+2y+3z+3=0 
Ñaùp soá : d//a 
Baøi 2: Cho ñt d : 
1
2 (2 1)
3 2
x mt
y m t
z t
= +ì
ï = - + -í
ï = - +î
 vaø mpa :x+3y-2z-5=0 
a/. Tìm m ñeå d caét a . Ñaùp soá : m ¹ 1 
b/. Tìm m ñeå d//a . Ñaùp soá : m=1 
c/. Tìm m ñeå d vuoâng goùc vôùia . Ñaùp soá : m= -1 
Baøi 3: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñt d : 1 2
2 1 3
x y z- +
= =
-
 vôùi mpa : 2x+y+z-1=0 
Ñaùp soá : d caét a taïi A (2,1/2,-7/2) 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
20 
Baøi 4: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñt d : 2 2
x t
y t
z t
=ì
ï = - +í
ï = -î
 vôùi mpa : 2x+y+z-1=0 
Ñaùp soá : d caét a taïi A (1, 0,-1) 
Baøi 5: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa ñt d : 
1
4
1
x t
y t
z t
= -ì
ï = -í
ï = - +î
 vôùi mpa : 5x-y+4z+3=0 
Ñaùp soá : dÌ a 
WWW.MATHVN.COM - VAÁN ÑEÀ 18: KHOA ÛNG CA ÙCH 
1/. Khoaûng caùch töø 1 ñieåm M ñeán mpa : 
( ) 0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
a
+ + +
=
+ +
2/. Khoaûng caùch töø 1 ñieåm M ñeán ñt D : 
· D qua M0 vaø coù vtcp u
v
( ) 0
u, M M
d M,
u
é ùë ûD =
v uuuuuv
v 
3/. Khoaûng caùch giöõa 2 ñt cheùo nhau : 
· 1D qua M1 vaø coù vtcp 1u
uuv
· 2D qua M2 vaø coù vtcp 2u
uuv
( ) 1 2 1 21 2
1 2
u , u .M M
d ,
u , u
é ùë ûD D =
é ùë û
uuv uuv uuuuuuv
uuv uuv 
*Chuù yù: 
Khoaûng caùch giöõa 2 mp song song = Khoaûng caùch töø 1 ñie åm tre ân mp thöù nhaát ñeán mp 
thöù hai. 
Khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song = Khoaûng caùch töø 1 ñie åm treân ñt thöù nhaát 
ñeán ñt thöù hai. 
Khoaûng caùch giöõa 1 ñöôøng thaúng song song vôùi 1 mp = Khoaûng caùch töø 1 ñie åm treân 
ñt ñeán mp. 
Baøi 1: Cho A (1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . V ieát pt mpa qua 3 ñieåm A , B, C .Tính dieän 
 tích tam giaùc ABC , theå tích khoái töù die än OABC. 
Ñaùp soá : a : x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 3
2
 ; V OABC= 
3
2
Baøi 2: Tính khoaûng caùch töø ñie åm M (1,2,-1) ñe án ñt D : 1 2 2
2 1 2
x y z- + -
= = 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
21 
Ñaùp soá : 221
3
Baøi 3: Cho 2 ñt cheùo nhau : 
1D :
2 2
1
3 2
x t
y t
z t
= +ì
ï = +í
ï = -î
 2D :
1 2
1 2
x t
y t
z t
= +ì
ï = -í
ï =î
Tính khoaûng caùch giöõa 1D vaø 2D . Ñaùp soá : 7/3 
Baøi 4: Cho 2 ñt 1D : 
1 7 3
2 1 4
x y z- - -
= = vaø 2D : 
ï
î
ï
í
ì
-=
+=
+-=
t2z
t22y
t1x
Chöùng minh 1D cheùo 2D . Tính khoaûng caùch giöõa 1D vaø 2D . 
Ñaùp soá : 5
14
 WWW.MATHVN.COM - VAÁN ÑEÀ 19 : GOÙC 
1/. Goùc giöõa 2 vectô : ( ) 1 21 2
1 2
.
cos ,
.
u u
u u
u u
=
uv uuvur uur
uv uuv 
1/. Tìm goùc j giöõa 2 ñt 1D vaø 2D : 
· Tìm 2 vtcp 1u
uuv
 vaø 2u
uuv
 cuûa 1D vaø 2D . 
· 
1 2
1 2
.
cos
.
u u
u u
j =
uv uuv
uv uuv 
2/. Tìm goùc j giöõa 2 mp a vaø b : 
· Tìm 2 vtpt : 1n
uv
 vaø 2n
uuv
 cuûa a vaø b 
· 
1 2
1 2
.
cos
.
n n
n n
j =
uv uuv
uv uuv 
· Chuù y ù : 1 2n na b^ Û ^
uv uuv
3/. Tìm goùc j giöõa ñöôøng thaúng d vaø mp a : 
· Tìm vtcp u
v
 cuûa d. 
· Tìm vtpt n
v
 cuûa a 
· 
u.n
sin
u . n
j =
v uuv
v uuv 
Baøi 1: Tính goùc j giöõa ñt d : 1 1 3
1 12
x y z- + -
= =
-
 vaø truïc Ox. Ñaùp soá : j =450 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
22 
Baøi 2: Tính goùc j giöõa ñt d : 
x t
y 1 2t
z 2 t
=ì
ï
= +í
ï = +î
 vaø mpa : 2 1 0x y z+ - - = 
Ñaùp soá : j =300 
Baøi 3: Tính goùc j giöõa 2 mp: 
a : 3y-z-9=0 ; b : 2y+z+1=0 
Ñaùp soá : j =450 
Baøi 4: Tìm m ñeå goùc giöõa 2 ñt sau baèng 600 : 
1D : 
4 2
1 12
x y z+ +
= =
-
 vaø 2D : 
3
1 2
1
x t
y t
z mt
= +ì
ï
= +í
ï = - +î
 Ñaùp soá : m = -1 
WWW.MATHVN.COM - WWW.MATHVN.COM - VAÁN ÑEÀ 20: PHÖÔNG TR ÌNH MA ËT CA ÀU. 
1/. Phöông trình maët caàu taâm I , baùn kính R : 
· ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 (1) 
· x2+y2+z2 +2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2) 
Vôùi : 
2 2 2R a b c d= + + - 
Taâm I ( -a ; -b ; -c ) 
2/. Vò trí töông ñoái giöõa mc(S) vaø mp a : 
· Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 coù taâm I vaø baùn kính R. 
 mpa : Ax+By+Cz+D=0 
a/. ( ),d I Ra > Û mp a khoâng coù ñie åm chung vôùi (S) 
b/. ( ),d I Ra = Û mp a tie áp xuùc vôùi (S) (a laø tie áp die än ) 
c/. ( ),d I Ra < Û mp a caét (S) theo ñöôøng troøn giao tuyeán coù pt : 
2 2 2 2
Ax+By+Cz+D=0
( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R 
ì
í
î
3/. Moät soá daïng toaùn veà maët caàu: 
a/. V ieát pt mc (S) taâm I vaø tie áp xuùc vôùi mpa , tìm toaï ñoä tie áp ñie åm H cuûa 
a vaø (S): 
· R = d (I , a )® pt (1) 
· H=DI a vôùi D qua I vaø aD ^ 
b/.Maët caàu coù ñöôøng kính ABÞ taâm I laø trung ñieåm cuûa AB,R=1 (1)
2
AB ptÞ 
c/. Maët caàu ngoaïi tie áp töù die än ABCD ( hay maët caàu qua 4 ñieåm A ,B,C,D khoâng ñoàng 
phaúng ) : 
· Theá toaï ñoä A ,B,C,D vaøo pt(1) hay pt(2) , ,A B CÞ hoaëc a , b ,c 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
23 
d/.Maët phaúng a tie áp xuùc (S) taïi AÎ(S) (tie áp die än a ) 
+ (S) coù taâm I, a qua A coù vtpt IA
uur
 Þ pt (a ) 
e/. Caùch tìm toaï ñoä taâm I/ , baùn kính R/ cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa mpa 
 vaø (S) : 
§ (S) coù taâm I , baùn kính R , a coù vtpt n
v
§ ( ) 2/ 2 ,R R d I a= - é ùë û 
§ Ñöôøng thaúng D qua I , D ^ a ® pt tham soá D . 
§ I/ = aDÇ ® Toaï ñoä I/ 
Baøi 1: Cho A (1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2) 
1/. Chöùng minh : A ,B,C,D ñoàng phaúng . 
2/. Goïi A / laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân mp(Oxy) , V ieát pt maët caàu (S) qua A / ,B,C,D 
Ñaùp soá : A /(1,-1,0) ; ptmc(S) : x2+y2+z2 -5x -2y -2z +1 = 0 
3/. V ieát pt tie áp die än cuûa (S) taïi A /. 
Ñaùp soá : a : 3x+4y+2z+1=0 
Baøi 2: Cho 4 ñieåm : A ,B,C,D bieát A (2,4,-1) , 4OB i j k= + -
uuuv v v v
 , C(2,4,3) , 2 2OD i j k= + -
uuuv uuv v v
1/. Chöùng minh : ; ;AB AC AC AD AD AB^ ^ ^ . Tính theå tích khoái töù die än ABCD. 
Ñaùp soá : V= 4/3 
2/. V ieát pt tham soá cuûa ñöôøng vuoâng goùc chung D cuûa 2 ñt AB vaø CD . Tính goùc j giöõa D 
vaø (ABD). 
Ñaùp soá : ( ), 0, 4,2a AB CDD é ù= = -ë û
uuv uuuv uuuv
 ; 1sin
5
j = 
3/. V ieát pt mc (S) qua A , B, C, D . V ieát pt tie áp die än a cuûa (S) song song vôùi (ABD) 
Ñaùp soá : (S) : x2+y2+z2 -3x -6y -2z +7 = 0 ; a 1: z + 
21
1
2
- =0 ; a 2: z - 
21
1
2
- =0 
Baøi 3: Cho mpa : x+y+z-1=0 vaø ñt d : 1
1 1 1
x y z -
= =
-
1/. Tính theå tích khoái töù die än ABCD vôùi A ,B,C laø giao ñieåm cuûa a vôùi Ox ,Oy ,Oz vaø D = 
d ( )OxyÇ 
Ñaùp soá : V = 1/6 
2/. V ieát pt mc (S) qua A ,B,C,D , tìm toaï ñoä taâm I/ vaø baùn kính R/ cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán 
cuûa (S) vôùi mp (ACD). 
Ñaùp soá : (S) : x2+y2+z2 -x -y -z = 0 ; I/ /1 1 1 3, , ;
2 2 2 2
Ræ ö =ç ÷
è ø
Baøi 4: cho A (3,-2,-2) vaø mpa : x+2y+3z-7 = 0 
1/. V ieát pt mc (S) taâm A vaø tie áp xuùc vôùi a , tìm toaï ñoä tie áp ñie åm H cuûa (S) vaø a . 
Ñaùp soá : (S) : (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14 ; H(4,0,1) 
2/. Xeùt vò trí töông ñoái cuûa (S) vôùi mp(Oyz) . 
Ñaùp soá : (S) caét mp(Oyz) 
Baøi 5: Cho mpa : 2x-2y-z+9=0 vaø mc(S) : x2+y2+z2 -6x +4y -2z-86 = 0 
1/. Tìm toaï ñoä taâm I , tính baùn kính R cuûa (S) . 
Ñaùp soá : I(3,-2,1) ; R = 10 
OÂn taäp TN THPT Moân Toaùn www.MATHVN.com NH 2010-2011
www.mathvn.com 
24 
2/. Chöùng minh a caét (S) , vie át pt ñöôøng troøn giao tuyeán (C) cuûa a vaø (S).Tìm toaï ñoä taâm I/ 
, baùn kính R/ cuûa ( C ) . 
Ñaùp soá : R/ =8 ; I/ (-1,2,3) 
Baøi 6: Cho mc(S) : (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2 = 77 vaø 2 ñt 
d1: 
5 4 13
2 3 2
x y z+ - -
= =
-
 d2: 
1 3
1 2
4
x t
y t
z
= +ì
ï = - -í
ï =î
V ieát pt mp a tie áp xuùc vôùi (S) vaø a song song vôùi d1 vaø d2. 
Ñaùp soá : 
4 6 5 128 0
4 6 5 26 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + - =
*WWW.MATHVN.COM - WWW.MATHVN.COM - VAÁN ÑEÀ 21: CA ÙCH VIE ÁT PT ÑÖÔØNG 
VUOÂNG GOÙC CHUNG d 
CUÛA 2 ÑÖÔØNG CHEÙO NHA U d1 , d2 
d1 coù vtcp 
r
a ,d2 coù vtcp 
r
b 
· Laáy ñie ám A Î d1 Þ toïa ñoä ñie åm A theo t1 
· Laáy ñie ám B Î d2 Þ toïa ñoä ñie åm B theo t2 
· AB laø ñöôøng vuoâng goùc chung Û 
. 0
. 0
ì ì^ =ï ïÛí í
^ =ï ïî î
uuur r uuur r
uuur r uuur rAB a AB a
AB b AB b
· Giaûi heä tre ân ta tìm ñöôïc t1 vaø t2 Þ toïa ñoä A vaø B 
· Vieát phöông trình ñöôøng thaúng AB. 
Baøi 1: Cho 2 ñöôøng thaúng : d1: 
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
= -ì
ï = +í
ï = - +î
 vaø d2 : 
2 4 1
3 1 2
x y z- - -
= =
- -
V ieát pt ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2. 
Baøi 2: Cho 2 ñöôøng thaúng : d1: 1 2
x t
y t
z t
=ì
ï = - +í
ï =î
 vaø d2 : 1 2
3
=ì
ï = -í
ï =î
x t
y t
z t
1/. Chöùng minh : 1 2d d^ vaø d1 cheùo d2. 
2/. V ieát pt ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2. 
 -----------------------------------------------