Nội dung ôn tập môn toán lớp 12 – học kỳ hai năm học 2008 - 2009

Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
I) Giới hạn ôn tập và các kiến thức cơ bản 
 A. Đại số và Giải tích . 
1. Nắm vững khái niệm nguyên hàm , nhớ bảng nguyên hàm của hàm số thường gặp , hiểu được tính 
chất cơ bản của nguyên hàm . Tìm nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến số và 
phương pháp tích phân từng phần. 
2. Nhớ định nghĩa tích phân và nắm vững phương pháp tính tích phân xác định của hàm số bằng 
phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần. 
3. Bước đầu thấy ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của tích phân trong hình học .Ứng dụng tích 
phân vào tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. 
4. Hiểu được dạng đại số , biểu diễn hình học của số phức , phép tính cộng trừ , nhân chia số phức 
dưới dạng đại số , môđun của số phức , số phức liên hợp , căn bậc hai của số phức. 
5. ***Hiểu được dạng lượng giác , acgumen của số phức , phép nhân và phép chia số phức dưới 
dạng lượng giác , công thức Moa-vơ . 
 B. Hình Học. 
1. Hiểu được cách xây dựng không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , biết xác định tọa độ điểm trong 
không gian và thực hiện các phép toán về vectơ trong Kgthông qua tọa độ các vectơ đó . 
2. Viết được phương trình của mặt phẳng , của đường thẳng , của mặt cầu , xét được vị trí tương đối 
của chúng bằng phương pháp tọa độ đồng thời thực hiện được các bài toán về khoảng cách , biết 
vận dụng các phép toán về véc tơ và tọa độ để nghiên cứu hình học không gian . 
II) Các yêu cầu và kĩ năng: 
1. Tìm được nguyên hàm bất kì của một hàm số và tìm được nguyên hàm của một hàm số thỏa mãn 
điều kiện cho trước . 
2. Tính được tích phân xác định của hàm số. Sử dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích 
vật thể tròn xoay . 
3. Thực hiện tốt các phép toán của số phức.Xác định được số phức khi biết một vài yếu tố.Xác định 
tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức. Giải phương trình trên tập số phức.Với học 
sinh ban KHTN cần thực hiện tốt các phép toán của số phức có dạng lựơng giác và ứng dụng của 
nó. 
4. Xác định được tọa độ điểm và vectơ , tính toán các biểu thức tọa độ của các phép toán của vectơ : 
cộng , trừ , nhân một véc tơ với số , biết tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng của tích vô 
hướng 
5. Biết lập phương trình tổng quát của mặt phẳng và xét các điều kiện để hai mp song song hoặc 
vuông góc 
6. Biết lập phương trình tham số của đường thẳng , xét Đk để hai đường thẳng song song , cắt nhau 
hoặc chéo nhau . 
7. Biết giải bài toán về khoảng cách : Khoảng cách giữa 2 điểm , từ một điểm tới một mặt phẳng . 
Với học sinh ban KHTN còn nhớ và vận dụng tôt công thức tính góc và khoảng cách giữa các đối 
tượng : điểm , đường thẳng và mặt phẳng . 
 Chú ý : Bài tập có đánh dấu *** là bài tập dành cho học sinh Ban KHTN 
III) Hệ thông câu hỏi và bài tập. 
A. Đại số và Giải tích . 
Loại I : Nguyên hàm , tích phân và ứng dụng 
Bài 1: Hãy tìm hàm số f(x) biết : 
 a) f ’(x)= 3 2xx x e− + − và f(4)= e 4 -2 b) f ’(x) = 3 2
4
1 2
5x x
x x
+ − + biết f(1) = 100 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
 c) f ‘(x) =sinx –cos3x và f(0) =21 d) f ‘(x)= ( )22 3x x+ biết f(1) = 4 9 12
ln 4 ln 9 ln 6
+ + 
e) f’(x)=
3
23 2
+
++
x
xx
 vµ f(-2)=10 f)f’(x) =sin3x.cos5x vµ f( )pi =100 g) f’(x) =x. 3 22 +x vµ f(2)=0 
 Bài 2.CMR: F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) 
• F(x)= )1ln( 2 ++ xx vµ f(x)=
1
1
2 +x
• F(x)=
2
ln
x
tg vµ f(x)=
xsin
1
• F(x) =
x
x
ln
 vµ f(x) =
xx
2ln
1
ln
1
− 
Bài 3 : Hãy tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 
 a) f(x)=
3 3 2x x
x
− +
 b)f(x)=
( )22 2x x
x
e
−
−
 c) f(x)= 2 2tan cotx x+ d) f(x)=cos3x.sin5x 
 e) f(x)=
2 2
1
sin 2 . os 2x c x
 g) f(x)=
1
1 os2xc+
 h) f(x) = 
2 3
2
x
x
−
+
 k) f(x)= ( )( )
1
3 3 2x x+ −
Bài 4: Hãy tính: 
 1, 3(2x-5) dx∫ 2, 7(5x+4)
dx
∫ 3,
5( 2x+3) dx−∫ 4)
2 13(3x -5)x dx∫ 5,
2 -6(2 1)(x +x-3)x dx+∫ 
 6,
m
( 1)
(ax+b)
dx
m ≠∫ 7, 5(2 7)
dx
x −
∫ 8, 2 32(2 3)
xdx
x +∫
 9,
7(3 5)
xdx
x −
∫ 10,
3 x
dx
e−−
∫ 11, 22 3
xdx
x +
∫ 
 12,
2
2
3
xdx
x x+ −
∫ 13, (2ln 5)
dx
x x −∫
 14,
2 tan
dx
x−∫
 18, 
1 x
dx
e+∫
 19)
1 1
dx
x x+ + −∫
 ***Bài 5: Hãy tính: 
 1, 29(3 2x)x dx−∫ 2, tan 2xdx∫ 3,
3sin xdx∫ 4,
5osc xdx∫ 6,
2
1 3
cotx
dx
cotx
−
+∫
 7, 
1 2
dx
cot x+∫
 8, 3os sinc x xdx∫ 9), 
( )
4
2s inx+cos
sin 2 osx
x dx
x c−
∫ 10, 
3
2
s inx.cos
1 cos
xdx
x+∫
 11) 6sin xdx∫ 12,
2sin os2xdxxc∫ 
 13, 3 5sin osxc xdx∫ 14, 
4tan xdx∫ 15, 
5cot xdx∫ 16, 21 x
dx
e−+∫
 17 22 1 3x x dx+∫ 
 18, 3 2 1x x dx+∫ 19, 
17 92 3x x dx−∫ 20, 
2 1x
dx
x
+
∫ 21, 
21 x
dx
x
−
∫ 22, 2 2
dx
a x+
∫ 
 23, 
2 2 7
dx
x x+ +
∫ 24, 2 2 5
dx
x x− +
∫ 25, 5 3ln 4
dx
x x −
∫ 26,
6
4
sin
os
xdx
c x
∫ 27,
1 x
dx
e+
∫ 
 Bài 6: Hãy tính ( Phương pháp Nguyên hàm từng phần ) 
 1, (2 3) xx e dx−∫ 2, ( 3)sin2xx dx+∫ 
23, (3 ) os2xx x c dx−∫ 
34, lnx xdx∫ 
2 35, xx e dx∫ 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
 26, 2 lnx xdx∫ 27, os x
xdx
c
∫ 3
ln
8,
x
dx
x
∫ 9, sinx
x
e dx∫ 10, sin xdx∫ 11, 3
osx
sin
xc
dx
x
∫ 
 Bài 7 : Hãy tính các tích phân sau: 
 1/I 
3
2
4
3tg x dx
pi
pi
∫ 2. 
4
2
6
(2cotg x 5)dx
pi
pi
+∫ 3/ 
2
0
1 cos x
dx
1 cos x
pi
−
+
∫ 4/ ∫
2
0
pi
sin2 x.cos2xdx 5/ 
4
4
0
cos x dx
pi
∫ 
 6/ 
3
0
(2cos2 x-3sin2 x)dx
pi
∫ 7/ 
2
4
4
1
sin
dx
x
pi
pi
∫ 8/
4
6
0
1
cos
dx
x
pi
∫ 9/ dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+∫
pi
 10/
2
3
0
cos xdx
pi
∫ 11/
32
0
4sin x
dx
1 cosx
pi
+
∫ 12/
1
3 2
0
x 1 x dx−∫ 13/
1
0
x
dx
2x 1+
∫ 14/
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫ 
 15/
2
3 2
0
(x 3) x 6x 8 dx− − +∫ 16/
1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx+ + +∫ 17/
xln 3
x 3
0
e
dx
(e 1)+
∫ 
 18/
1
3 4 5
0
x (x 1) dx−∫ 19/
0
2x 3
1
x(e x 1)dx
−
+ +∫ 20/
e
1
1 3ln x ln x
dx
x
+
∫ 21/
2e
e
ln x
dx
x
∫ 
 22/
e
2
1
ln x
dx
x(ln x 1)+
∫ 23/
x1
x
0
e
dx
e 1
−
− +
∫ 23/
2x2
x
0
e
dx
e 1+
∫ 24/
e
1
sin(ln x)
dx
x
∫ 25/
2xln 5
x
ln 2
e
dx
e 1−
∫ 
 26/ 
3
2
2
ln(x x)dx−∫ 27/
e
2
1
(ln x) dx∫ 28/
1
2
0
1
dx
4 x−
∫ 29/
33
2
1
x
dx
x 16−
∫ 30/
3
2
3
1
dx
x 3+
∫ 
 31/
3
2
3
1
dx
x 3+
∫ 32/
3
2
3
1
dx
x 3+
∫ 33/
e
1
1 3ln x ln x
dx
x
+
∫ 34/
2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫ 
 35/
6
2
0
x.sin x cos xdx
pi
∫ 36/=
1
0
2x 9
dx
x 3
+
+
∫ 37/
2
2
1
5
dx
x 6x 9− +
∫ 38/
1
2
0
3
dx
x 4x 5− −
∫ 
Bài 8 : Ứng dụng của tích phân. 
 Công thức : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 





==
=
=
bx;ax
)x(gy:)'C(
)x(fy:)C(
 là S = ∫ −
b
a
dx.)x(g)x(f 
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
 a) (C): y = 3x
4
 – 4x
2 
+ 5 ; Ox ; x = 1; x = 2 b) (C): y = x
2 
– x và (d): y = 4 – 4x ; Oy ; đường thẳng x = 3 
 c) y = sinx ; y = cosx ; x = 0; x = pi d) y = x2 – x ; Ox e) y = (2 + cosx)sinx ; y = 0 ; x = pi/2 ; x = 3pi/2 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
 e)y = – x
2
 ; x + y + 2 = 0 f)x = y
5
 ; y = 0 ;x = 32 g) (C): y = x
2 
+ x – 5 và (C’): y = – x
2 
+ 3x + 7 
 h)(C): y = x
2 
– 4x + 2 ; tiếp tuyến với (C) tại điểm M(3;– 1) và Oy 
 i)(C): y = x
3 
+ 3x
2 
– 6x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo= 1 
 k)(C): y = – x
3 
+ 2x + 2 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo = 2 
 l)(C): y = x
3 
– 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo= – 1/2 
 m) y = 
e
x
 + e
– x
2
 , x = – 1 ,x = 1 và Ox 
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
 a)(C): y = 
2x
2
 – x + 2
x – 1
 ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 2;x = 4 
 b)(C): y = 
– x
2
 + x + 1
x + 2
 ;tiệm cận xiên và 2 đường thẳng x = 0;x = – 1 
 c)(C): y = – x
2 
+ 2x + 3 và 2 tiếp tuyến tại 2 điểm A(0;3); B(3;0) 
 d)(C): y = x
2 
– 2x + 2 và các tiếp tuyến xuất phát từ điểm A(3/2;– 1) 
 e) y = e
x
 ; y =1 ; x = 2 f) y = (x – 1)(x + 2)(x – 3) ;y = 0 
 g) x = y ; y = – 2x + 3 ;Ox h) y = – 4 – x
2
 và x
2
 + 3y = 0
3.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
 a) y = x
2 
 và y = x b) ax = y
2
 và ay = x
2
 ( a > 0 ) c) y = xe
x
 , y = 0 , x = – 1, x = 2 
 d) y = |lnx| và y = 1 e) y = (x – 6)
2
 và y = 6x – x
2 
f) x
2
 + y
2
 = 8 và y
2
 = 2x 
 g) x
2
 + y
2
 = 16 và y
2
 = 6x 
Công thức : Thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng 
giới hạn bởi :





==
=
bx;ax
Ox
)x(fy:)C(
 là V = [ ]∫pi
b
a
2
dx.)x(f 
1.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox: 
 a)y = sinx ; y = 0 ;x = 0 ; x = pi/2 b) y = cos2x ; y = 0 ;x = 0 ; x = pi/4 
 c)y = cos
4
x + sin
4
x ; y = 0 ; x = 0 ; x = pi/2 
 d)y = cos
6
x + sin
6
x ; y = 0 ; x = pi/4; x = pi/2 
 e)y = xe
x
 ; y = 0 ;x = 0 ; x = 1 f)y= x .lnx ; y = 0 ; x =1 ; x = e 
 g)y = 
4
x
 ; y = 0 ; x = 1;x = 4 h)y = 2x ,y = – x + 3 , Ox 
 i)y = x
2
 , y = 2 – x, Ox j)y = x
2
 ,y = 2 – x, Oy 
 k)y = 
3
x
 ,y = – 2x + 7 l)y = 1 – x, y = 3 – 2x – x
2
2.Tính thể tích hình tròn xoay do các hình sau tạo thành khi quay quanh trục Ox: 
 a)y = 3x – x
2
 ; y = 0 b)y = x
2
 ; y = 3x c)y = x
3 
+ 1; y = 0; x = 0; x = 1 
 d)y = 
4
x
 ; y = – x + 5 e)y = 2x ; y = – x +3 ; y = 0 
 g)y = x
2
 ; y = 2 – x ; y = 0 (phần nằm ngoài y = x2) 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
 h)y = x
2
 ;y = 10 – 3x ; y = 1 (phần nằm ngoài y = x2) 
3. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm M(1;1) có hệ số góc k < 0 ,(d) lần lượt cắt Ox và Oy tại A và B. 
a)Tính thể tích vật thể tròn xoay do tam giác OAB tạo thành khi quay quanh Ox 
b)Tìm k để thể tích ấy nhỏ nhất 
Loại II : SỐ PHỨC 
Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức: 
a) 3 5z i= − + b) 2z i= − c) 12z = d) 0z = 
Bài 2. Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng tọa độ. 
2 3i+ 2i− 3 3 i− + 
Bài 3. Cho ( ) ( )2 1 3 5z a b i= − + + với ,a b R∈ . Tìm các số a, b để: 
a) z là số thực b) z là số ảo 
Bài 4. Tìm các số thực x và y, biết: 
a) ( ) ( )2 1 5 4 3 2x i y i+ + = − + − b) ( ) ( )2 4 3 1x i y i− − = − + 
c) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 1x y i x y x i− + + = + − + 
Bài 5. Tìm z và tính z với: a) 2 3z i= − + b) 2 2z i= − c) 11z = − d) 7z i= 
Bài 6. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp: 
a) 2z = và z là số ảo. 
b) 5z = và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. 
Bài 7. Tính ' , ' , . 'z z z z z z+ − với: 
a) 5 2 , ' 4 3z i z i= + = + b) 2 3 , ' 6 4z i z i= − = + 
c) 4 7 , ' 2 5z i z i= − − = − d) 1 3 , ' 3 2z i z i= + = − + 
Bài 8. Thực hiện các phép tính: 
a) ( )21 i− b) ( )22 3i+ c) (  ... )M ∈ (Oxz) vµ A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1) 
b)M ∈ (Oxy) vµ A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(-5; 3; 3) 
C©u 12: TÝnh gãc t¹o thµnh bëi c¸c cÆp c¹nh ®èi cña tø diÖn 
ABCD biÕt: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) 
C©u 13: Chøng minh r»ng ∆ABC cã A(4; 1; 4) B(0; 7; -
4), C(3; 1; -2) lµ tam gi¸c tï 
C©u 14: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh a. 
Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh 
A’D’, D’C’, CC', A’A. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm M, 
N, P, Q cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. TÝnh chu vi cña tø 
gi¸c MNPQ theo a 
C©u 15: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A’B’C’D’ c¹nh b»ng 1. 
Trªn c¸c c¹nh BB’ CD, A’D’ lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao 
cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1). Chøng minh r»ng AC’ 
vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (MNP) 
C©u 16: Cho ∆ABC biÕt A(1; 0; 2) B(-2; 1; 1) C(1; -3; -
2). Gäi D lµ ®iÓm chia ®o¹n AB theo tû sè -2 vµ E lµ 
®iÓm chia ®o¹n BC theo tû sè 2. 
a) T×m täa ®é c¸c ®iÓm D, E 
b) T×m coossin cña gãc gi÷a hai vÐctơ AD
uuur
 vµ 
AE
uuur
C©u 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). TÝnh 
®é dµi ph©n gi¸c ngoµi gãc A cña ∆ABC 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng: 
 Bµi1: LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua A(1; 1; 1) vµ 
1) // Ox vµ Oy 2) // Ox vµ Oz 3) // Oy vµ Oz 
Bµi2: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua 
A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) vµ // Ox 
 Bµi3: ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua AB vµ // CD 
biết A(5; 1; 3) B(1; 6; 2)C(5; 0; 4) D(4; 0; 6) 
Bµi5: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0(Q): y - z -1 = 0 
.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ ⊥ (P); (Q) 
 ®−êng th¼ng trong kh«ng gian: 
 Bµi1: TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M(1; 1; 2) ®Õn ®−êng th¼ng 
(d): 
1
3
32
2
−
+
=
−
=
− zyx
 Bµi2: XÐt vÞ trÝ t−¬ng ®èi cña ®−êng th¼ng (d) vµ mÆt 
ph¼ng (P) biÕt: 
a) (d): 





+=
+=
+=
tz
ty
tx
1
39
412
 (P): y + 4z + 17 = 0 
b) (d): 



=−
=−++
01
03
y
zyx
 (P): x + y - 2 = 0 
Bµi3: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng d qua 
A(1; 2; 3) vµ ⊥ víi (d1): 2 2
3 2
x t
y t
z t
=

= −

= −
 Và cắt (d2) biết 
(d 2 ) là giao tuyến của 2 mp : 4 10 0x y z− + + = và 
2 4 6 0x y z− − + = 
 Bµi4: Cho A(-2; 4; 3) vµ mÆt ph¼ng (P): 2x - 3y + 6z 
+ 19 = 0. H¹ AH ⊥ (P). ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña 
®−êng th¼ng AH vµ t×m täa ®é cña H 
Bµi5: Cho d: 
x 1 y 1 z 3
1 2 2
+ − −
= =
−
 vµ (P): 2x - 2y + z 
- 3 = 0. T×m täa ®é giao ®iÓm A cña d vµ (P). Viết 
phương trình đường thẳng qua A , vuông góc với d 
và chứa trong mặt phẳng (P) . 
Bµi6: Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng d1: 
x 3t 2
y t
z 2t
= − −

= −

=
 vµ d2: 
x 2 2t
y t
z 2 t
= − +

= −

= +
chÐo nhau 
 Bµi7: Chøng minh r»ng hai ®−êng th¼ng d1: 
x 5 2t
y 1 t
z 5 t
= +

= −

= −
 vµ d2: 
x 3 2t
y 3 t
z 1 t
'
'
'
= +

= − −

= −
 song song vµ viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa hai 
®−êng th¼ng ®ã. 
Bµi8: a)ViÕt ph−¬ng tr×nh cho A(1; 2; 1) vµ ®−êng 
th¼ng d: 
x y 1 z 3
3 4 1
− +
= = . 
b)ViÕt pt mp (P) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng d. 
c)TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A ®Õn ®−êng th¼ng d 
 Bµi9: Cho ®−êng th¼ng d: 
x 1 2t
y 2 t
z 3t
= +

= −

=
 vµ mÆt ph¼ng 
(P): 2x - y - 2z + 1 = 0 
1. T×m täa ®é ®iÓm K ®èi xøng víi ®iÓm I(2; -1; 3) qua ®−êng 
th¼ng d 
2. T×m täa ®é c¸c ®iÓm thuéc ®−êng th¼ng d sao cho kho¶ng 
c¸ch tõ mçi ®iÓm ®ã ®Õn mÆt ph¼ng (P) b»ng 1 
Bµi10: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) 
D(1; 1; 1). T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn mÆt 
ph¼ng (ABC) vµ suy ra täa ®é ®iÓm K ®èi xøng víi D 
qua (ABC) 
 Bµi11: ViÕt pt đt qua A(1; 5; 0) vµ c¾t c¶ hai ®−êng 
th¼ng (d1): 1
2 1
x t
y t
z t
=

= −

= −
 (d2): 2 3
3
x k
y k
z k
=

= −

= −
 Bµi12: ViÕt pt đt (d) qua A(0; 1; 1) vµ vu«ng 
gãc víi (d1) 
1 2
8 1 1
x y z− +
= = vµ (d2) 
1
1
x
y t
z t
= −

=

= +
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
Bµi13: Viết pt đt qua M(0; 1; 1) vµ vu«ng gãc víi d1 
zy
x
=+=
−
2
3
1
vµ c¾t ®−êng th¼ng d2
1
1
x
y t
z t
= −

=

= +
 Bµi14: ViÕt pt đt d ⊥ (P): x + y + z - 2 = 0 vµ c¾t c¶ 
hai đt : (d1): 





=
−=
+=
tz
ty
tx
2
1
2
 (d2): 



=−
=−+
03
022
y
zx
 Bµi15: Cho (d1): 





−=
−=
+=
tz
ty
tx
5
1
25
(d2): 





−=
−−=
+=
1
1
1
1
3
23
tz
ty
tx
CMR: (d1) // (d2). ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa 
(d1) vµ (d2). TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a (d1) vµ (d2) 
Bµi16: Cho hai ®−êng th¼ng 
(d1): 





−=
−−=
+−=
tz
ty
tx
2
23
31
 (d2): 
2
3 4
5 6
x t
y t
z t
=

= −

= − +
 1) CMR: (d1) chÐo (d2) 
 2) ViÕt pt mÆt ph¼ng (P) chøa (d1), mÆt ph¼ng (Q) chøa 
(d2) sao cho (P) // (Q) TÝnh kho¶ng c c¸h gi÷a (d1) vµ (d2) 
 3) ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) // Oz vµ 
c¾t (d1) vµ (d2). 
 4)ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng vu«ng gãc chung 
cña (d1) vµ (d2). 
 Bµi17: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8) 
 1) CM: SB ⊥ OA. 
 2) CMR: h×nh chiÕu vu«ng gãc cña SB lªn mÆt 
ph¼ng (OAB) ⊥ OA. Gäi K lµ giao ®iÓm cña h×nh chiÕu 
®ã víi OA. H6y x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm K. 
 3) Gäi P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh 
SO, AB. T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao cho PQ vµ 
KM c¾t nhau. 
Bµi18: T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A(-2; 4; 3) lªn 
mÆt ph¼ng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0 
Bµi19: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0 
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) ®i qua A, B vµ ⊥ (P). 
2) ViÕt ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña giao tuyÕn gi÷a (P) 
vµ (Q). T×m to¹ ®é ®iÓm K ®èi xøng víi A qua (P). 
Bµi20: LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(2; 3; -1)
 ⊥ (d) c¾t (d). 
1
3
42
−
==
zyx
 Bµi21: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) vµ mÆt ph¼ng 
(P): 2x - y + z + 1 = 0. T×m ®iÓm M ∈ (P) sao cho: AM 
+ BM ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
 V) mÆt cÇu: 
 Bµi1: Cho tø diÖn ABCD víi A(3; 2; 6) ; B(3; -1; 0) ; 
C(0; -7; 3) ; D(-2; 1; -1). 
 1) CMR: tø diÖn ABCD cã c¸c cÆp ®èi vu«ng 
gãc víi nhau. 
 2) TÝnh gãc gi÷a ®−êng th¼ng AD vµ mÆt ph¼ng (ABC). 
 3) ThiÕp lËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø 
diÖn ABCD. 
 Bµi2: Cho mÆt ph¼ng (P): 16x - 15y - 12z + 75 = 0 
 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã t©m lµ gèc 
to¹ ®é tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P). 
 2) T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm H cña mÆt ph¼ng (P) 
víi mÆt cÇu (S). 
 3) T×m ®iÓm ®èi xøng cña gèc to¹ ®é O qua mÆt 
ph¼ng (P). 
 Bµi3: Cho h×nh lËp ph−¬ng ABCD.A'B'C'D': A ≡ O ; 
B(1; 0; 0) ; D(0; 1; 0) ; A'(0; 0; 1). Gäi M lµ trung ®iÓm 
cña AB vµ N lµ t©m h×nh vu«ng ADD'A'. 
 1) ViÕt ph−¬ng tr×nh cña mÆt cÇu (S) ®i qua c¸c 
®iÓm C, D', M, N. 
 2) TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn giao cña (S) víi 
mÆt cÇu ®i qua c¸c ®iÓm A' , B, C, D. 
 3) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph−¬ng 
ABCD.A'B'C'D' c¾t bíi mÆt ph¼ng (CMN). 
 Bµi4: Cho (S): x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z - 67 = 0 
Đường d là giao tuyến của 2 mp 3 2 8 0x y z− + − = 
và 2 3 0x y− + = . Cho mp (Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0 
1) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d) vµ tiÕp xóc víi (S). 
2) ViÕt ph−¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (d) lªn 
(Q). 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi. 
Bµi 1 Trong kg 0xyz ,Cho A(2;1;0) ,B(-1;2;3). 
1.TÝnh CosA0B , diÖn tÝch tam gi¸c 0AB. 
2.ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) trung trùc c¹nh AB. 
3. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vµ song song víi (P). 
4. ViÕt ph−¬ng tr×nh ChÝnh t¾c cña AB. 
5. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ (R) 
vu«ng gãc víi (P) vµ (0xy). 
Bµi 2Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(2;3;1) 
B(4;1;-2),C(6;3;7)vµ D(-5;-4;8). 
1.Chøng minh ABCD lµ mét tø diÖn. 
2. ViÕt pt tham sè,chÝnh t¾c,tæng qu¸t cña AM( M lµ 
träng t©m tam gi¸c ADC) 
3. TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. 
 4. lËp ph−¬ng tr×nh ®−êng cao AH cña tø diÖn. 
Bµi 3 Chøng minh r»ng c¸c cÆp ®−êng th¼ng sau chÐo 
nhau,h6y lËp pt ®−êng vu«ng gãc chung. 
1. (d1):





−−=
+=
−=
tz
ty
tx
32
3
21
 (d2) :





−=
+=
=
tz
ty
tx
23
1
2
 2. 
(d1) :





−=
+−=
+=
tz
ty
tx
3
2
1
 (d2): 
'
1 2 '
3 ' 4
x t
y t
z t
=

= +

= −
 Bµi 4 Cho (d) : 
1
1
4
2
3
2 −
=
+
=
− zyx
 vµ (P): 
x+2y+3z+4 = 0. 
1. T×m giao ®iÓm cña (d) vµ (P). 2. ViÕt pt h×nh chiÕu 
cña (d) lªn (P). 
 3. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A(-3;1;0) ®Õn (d),(P). 
Bµi 5. Cho ®iÓm A(1;1;2), B(2;1;-3) vµ (P) 
:2x+y-3z-5 = 0. 
1 T×m to¹ ®é h×nh chiÕu cña A trªn (P). 2. 
T×m to¹ ®é ®iÓm A ®Ó AA ®èi xøng qua (P). 
3. T×m ®iÓm M trªn (P) sao cho MA+MB nhá nhÊt. 4. T×m 
®iÓm N trªn (P) sao cho NA+NC nhá nhÊt víi C(0;-1;1). 
Bµi 6. Cho (d):



=−+−
=−+−
012
0532
zyx
zyx
 vµ (P):x-y-z-
2= 0. 
1. TÝnh Sin cña gãc gi÷a (d) vµ (P). 
2. ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa (d) vµ 
 a) Qua A(2;1;3). 
b)Song song víi (d1) : 



=−+−
=−−−
012
023
zyx
zyx
 c) song song víi (P). 
Bµi 7 . Cho (P):2x+y+2z+10 = 0, (Q): 3y-z-1=0, 
(R): 2y+mz = 0. 
1. TÝnh gãc gi÷a(Q) vµ (R) khi m =1.2.TÝnh gãc gi÷a 
(Q) vµ (P). 3.T×m m ®Ó gãc gi÷a (Q) vµ (R) b»ng 450. 
Bµi 8. Cho ®iÓm A(1;0;-2), B(2;1;2),C(3;-1;1)vµ D(2;-3;0). 
1. Chøng minh ABCD lµ mét tø diÖn. 
2 . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu biÕt: a) T©m I(2;-1;0) vµ 
A thuéc mÆt cÇu. b) MÆt cÇu qua ABCD. 
Bµi 9. Cho mÆt cÇu cã pt: x2 +y2 +z2 -2x-4y-6z = 0. 
1. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu trªn. 
2. Gäi A,B,C lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña mÆt cÇu víi c¸c 
trôc 0x, 0y,0z.ViÕt pt mÆt ph¼ng(ABC) 
.3. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña ®−êng trßn: 
 a) Ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. b) lµ giao cña 
mÆt cÇu vµ mÆt (0xy). 
Bµi 10. Cho tø diÖn cã 4 ®Ønh lµ A(6;-2;3), 
B(0;1;6),C(2;0;-1) vµ D(4;1;0). 
1. LËp pt mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn. 2. ViÕt pt tiÕp diÖn 
cña mÆt cÇu t¹i A. 
4. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña mÆt cÇu vµ ®−êng th¼ng: 
1
3
4
1
3
1
−
−
=
−
=
− zyx
Bµi 11. Cho hai mÆt cÇu 
 (S1) : x
2 +y2 +z2 - 6x+4y-2z - 86 = 0. 
(S2) : x
2 +y2 +z2 +6x-2y-4z-2 = 0. 
vµ (P) : 2x-2y-z+9 = 0. 
1. X¸c ®Þnh t©m cña ®−êng trßn lµ giao cña (P) vµ (S1). 
2. Cmr (S1) vµ (S2) c¾t nhau theo mét ®−êng trßn,x¸c 
®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®−êng trßn ®ã. 
3. Gäi I1,I2 lÇn l−ît lµ t©m cña (S1) vµ (S2). 
 a)LËp pt mÆt cÇu t©m I1 vµ tiÕp xóc víi (P). b)X¸c ®Þnh 
to¹ ®é giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng I1I2 víi (P) vµ víi (S1). 
Bài 12: Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình 
maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) : 
=

= −

= −
x t
y t 2
z 2t 6
sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) 
vaø maët caàu (S)
 : 
2 2 2x y z 2x 2y 2z 1 0+ + + − + − = laø ñöôøng 
troøn coù baùn kính r = 1. 
Bài 13: Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam 
giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng 
caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. 
Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø 
(SAC) vuoâng goùc nhau. 
Néi dung «n tËp m«n to¸n líp 12 – häc kú hai n¨m häc 2008-2009. 
Tæ: to¸n – Tr−êng: trung häc phæ th«ng Cæ loa – HuyÖn: §«ng anh – TP: Hµ néi.