Nguyên hàm và tích phân - Lê Hồ Quý

 NGUYÊN HàM Và TíCH PHÂN
 	Lê Hồ Qúy 
 	 (Nguyên GV. Trường THPT Lê Lợi - Kon Tum)
	Trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông và tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng thường có câu về tích phân. Phương đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần thường được sử dụng để tính các tích phân đó. Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu một số dạng tích phân thường gặp trong các kỳ thi nói trên cùng với các phương pháp giải chúng.
Đ1. Nguyên hàm
A. Kiến thức :
I. Định nghĩa : Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x(a; b) ta có F’(x) = f(x).
Định lí : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì :
*)Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó.
*)Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) đều có dạng F(x) + C.
Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là , vì vậy := F(x) + C
II. Một số tích chất :
III. Bảng các nguyên hàm :
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
	Yêu cầu phần này, học sinh hiểu được khái niệm nguyên hàm, vận dụng các tính chất và bảng các nguyên hàm để tính được nguyên hàm một số hàm đơn giản. Chú ý đến công thức: df(x) = f’(x)dx.
	Và một số công thức vi phân thường sử dụng, học sinh nên học thuộc :
B. Các dạng toán:
Dạng 1. Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x)
Phương pháp : Sử dụng định nghĩa nguyên hàm, các tính chất và bảng các nguyên hàm.
Ví dụ 1:
1) Tính đạo hàm của hàm số 
2) Từ đó suy ra .
Lời giải
2) Từ kết quả câu 1) ta suy ra F(x) là nguyên hàm của .
Vậy = .
Ví dụ 2 : Tính :
g) (ĐHBK Hà Nội - 2000)
(ĐH Y Thái Bình - 2001)
(ĐHQG Hà Nội-2001)
Lời giải.
áp dụng:
Dạng 2. Tìm nguyên hàm của hàm số y = f(x) thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp : 
+ Tìm họ các nguyên hàm của hàm số y=f(x): (*)
+ Từ điều kiện cho trước ta tìm được C ;
+ Thay giá trị của C vào (*) ta tìm được nguyên hàm cần tìm
Ví dụ 3 : Tìm một nguyên hàm G(x) của hàm số f(x), biết :
.
Lời giải 
áp dụng công thức: , ta có:
C. Bài tập tự luyện:
Bài 1. Tính :
g) (ĐHKT Quốc dân -2000)
 (Học viện Ngân Hàng-1999)
 (ĐH Ngoại Thương-2001)
Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) :
Đ2. Tích phân
A. Kiến thức cần nhớ :
I. Định nghĩa: Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K. F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x), kí hiệu là .
Vậy (Công thức Niutơn-Laipnit)
II. Phương pháp đổi biến số:
Giả sử ta phải tính với f(x) là hàm liên tục trên [a; b].
Dạng 1:
Đặt x=u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , f[u(t)] được xác định trên đoạn và =a, =b.
* Biến đổi f(x)dx=f[u(t)]u’(t)dt=g(t)
* Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
* Tính 
* Kết luận: 
Dạng 2:
Đặt t=v(x), v(x) có đạo hàm liên tục 
* Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt
* Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
* Tính 
* Kết luận: 
III. Phương pháp tích phân từng phần:
Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
Hay 
B. Các dạng toán cơ bản:
Dạng toán 1. Tích phân các hàm hữu tỉ
Tích phân các hàm hữu tỉ 
Phương pháp: Giả sử bậc của P(x) nhỏ hơn bậc Q(x) (nếu ngược lại ta lấy tử chia cho mẫu). Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2.
	Trong nội dung chương trình phổ thông ta chỉ tiếp xúc với các dạng sau của Q(x):
Trong tích phân dạng trên khi tính toán ta thường gặp 2 bài tích phân sau:
Bài toán 1: .
Lời giải
Đổi cận: 
x
0
a
t
0
Bài toán 2:
Lời giải
.
Lời giải.
Đổi cận: 
x
0
1
t
-
0
.
.
Lời giải.
Đổi cận: 
x
-2
0
t
0
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
Lời giải.
a) Ta có: 
 (theo 1))
Nhân hai vế cho (x+1)(x+2), ta được:
1 = (A+B)x + 2A + B
Hai đa thức này đồng nhất với nhau khi và chỉ khi :
Từ đó ta thu được cách phân tích sau:
c) Ta có:
Nhân 2 vế cho (x+1)(x2+1), ta được:
2x2+x+3=A(x2+1) + (Bx+C)(x+1)=(A+B)x2 + (B+C)x + A + C
 Ta có thể giải (*) ngắn gọn hơn như sau:
d) Cách 1: Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích:
Cách 2: 
Đổi cận: 
x
0
1
t
Chú ý: Để tính tích phân dạng trong đó m, n là các số nguyên dương, ngoài phương pháp hệ số bất định, ta còn có thể sử dụng phép đặt để giải.
Luyện tập: Tính các tích phân sau:
(ĐH Ngoại thương-Năm 2001)
Dạng toán 2: Tích phân các hàm vô tỉ
A. Phương pháp hữu tỉ hóa:
Dạng 1: Đối với tích phân dạng là hàm hữu tỉ, ta hữu tỉ hóa bằng cách đặt 
Ví dụ 1: Tính tích phân (ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)
Lời giải.
* Đặt . Ta có:
3dx=3t2dtdx=t2dt
* Đổi cận: 
x
0
2
t
2
* Do đó : 
Ví dụ 2. Tính tích phân 
Lời giải.
+ và ta cũng có x=t2-1
+ Đổi cận: 
x
0
3
t
1
2
+ 
Chú ý: Ta có thể giải trực tiếp như sau:
Ví dụ 3. Tính tích phân .
Lời giải.
Đổi cận :
x
t
2
3
Do đó: 
Ví dụ 4. Tính tích phân (ĐH Khối A-Năm 2005)
Lời giải.
* Đổi cận: 
x
0
t
2
1
* Do đó:
.
Chú ý : Để tính tích phân dạng , ta đổi biến số 
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :
 (ĐH BK Hà Nội -2000)
 (ĐH Khối B-Năm 2004)
Lời giải.
* Đổi cận: 
x
0
ln2
t
* Do đó:
Chú ý: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng , ta có thể tìm cách giải theo hướng: Đặt t=.
Luyện tập : 
1.Tính các tích phân sau :
(ĐH Khối A-Năm 2006)
2.Tính các tích phân sau :
Dạng 2. Tích phân của hàm f(x) chứa các căn dạng
 Ví dụ : Tính tích phân 
Lời giải
Luyện tập : Tính các tích phân sau:
Dạng 3. Tính tích phân trong đó
Ví dụ 1. Tính tích phân 
Lời giải.
Ví dụ 2. Tính tích phân 
Lời giải.
Cách 1. * (xem phần phương pháp lượng giác hóa).
Ta tính :
Cách 2 :
Dạng 4 . Để tính tích phân dạng: ta có thể giải như sau:
Ví dụ 1: Tính tích phân: 
Lời giải.
Ví dụ 2: Tính tích phân: 
Lời giải.
Sử dụng công thức tích phân từng phần:
Luyện tập: Tính các tích phân sau:
B. Phương pháp lượng giác hóa:
Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có chứa:
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
Lời giải.
Luyện tập: Tính các tích phân sau:
Dạng toán 3: tích phân các hàm lượng giác
Phương pháp:
1) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với cosx, đặt t = sinx
2) Hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx, đặt t = cosx
3) Hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx, cosx, ta đặt t = tgx
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
 (Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999)
 (ĐH Giao thông Vận tải-2000 )
Lời giải
Chú ý: 
3) Hàm số dưới dấu tích phân là hàm chẵn đối với sinx, cosx
Ví dụ: Tính tích phân: 
Lời giải
Ví dụ: Tính tích phân: 
Lời giải
5) Hàm dưới dấu tích phân có dạng sinax.sinbx, sinax.cosbx, cosax.cosbx, ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng biến đổi về tổng các tích phân cơ bản.
Ví dụ 1: Tính tích phân: 
Lời giải
Ví dụ 2: Tính tích phân: .
Lời giải
b) Bạn đọc tự giải.
Chú ý: 1) Trong bài toán tích phân trên, ta chú ý rằng d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx, sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích:
cosx=a(sinx+cosx)+b(sinx-cosx)=(a+b)cosx + (a-b)sinx
Ta có: 
Lời giải
Vì d(sinx + cosx) = (cosx - 4sinx)dx, ta phân tích như sau:
2sinx + 3cosx = A(cosx-4sinx) + B(sinx + 4cosx)
	 = (B - 4A)sinx + (4B+A)cosx
( Bài tập tự luyện: 
Tính các tích phân sau:
a)(ĐH Công đoàn - 1999)
c)(ĐH Cần Thơ - 2000)
b) (Học viện Kỹ thuật Mật mã-1999)
d) (ĐH Y Hà Nội - 2000)
Dạng toán 4: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
1) Tích phân dạng 
Ví dụ 1: Tính tích phân 
Lời giải
* Cách 1: 
* Cách 2: 
2) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng p(x).f(x) trong đó p(x) là một đa thức, f(x) là một hàm lượng giác thì cách giải chung là:
Ví dụ 2: Tính tích phân: 
	(Đề dự bị - Khối D - Năm 2006)
Lời giải
3) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng p(x).f(ex) trong đó p(x) là một đa thức thì cách giải chung là :
Ví dụ 3: Tính tích phân: 
	(Đề ĐH Khối D - Năm 2006)
Lời giải
4) Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng p(x).ln(f(x)) trong đó p(x) là một đa thức hoặc là hàm số lượng giác, thì cách giải chung là:
Ví dụ 4: Tính tích phân: 
	(Đề ĐH Khối D - Năm 2007)
Lời giải
Ví dụ 5: Tính tích phân: 
Lời giải
( Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
(ĐH Công đoàn -Năm 2000)
(ĐH Dược Hà Nội-Năm 2001)
(ĐHSP Vinh – 2001)
Dạng toán 5: Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Để tính tích phân (a<b) trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a; b], ta thực hiện các bước:
Bước 1: Giải phương trình f(x)=0 trên (a; b), giả sử đó là các nghiệm x0, x1, , xn (x0<x1<<xn)
Bước 2: Ta biến đổi :
Ví dụ 1: Tính tích phân 
	(Đề ĐH Khối D - Năm 2003)
Lời giải
Ví dụ 2: Tính tích phân 
	(ĐHDL Phương Đông - Khối A - Năm 2001)
Lời giải
( Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
Dạng toán 6: Một số lớp tích phân đặc biệt
Tính chất 1 : Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a; a] với a > 0, thì
Chứng minh
Ví dụ 1: Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn .
 (ĐHSP Hà Nội 2 - Năm 1998)
Lời giải
	Việc xác định hàm số f(x) ở đây là rất khó nhưng nếu vận dụng tính chất 1 thì việc tính I rất thuận lợi. Thật vậy:
Tính chất 2 : Nếu hàm f(x) liên tục và là hàm lẻ trên đoạn [-a; a] với a > 0, thì .
Chứng minh
Ví dụ 2: Tính tích phân : 
Lời giải
Hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên theo tính chất 2 ta có : I = 0.
Lời giải trực tiếp như sau:
Ví dụ 3 : Tính tích phân : 
	(Học viện Kỹ thuật Mật mã - Năm 1999)
Lời giải
Chú ý rằng hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ đối với x.
Tính chất 3 : Nếu hàm f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [-a; a] với a > 0, thì .
Chứng minh tương tự như tính chất 2, chú ý f(-x) = f(x)
Ví dụ 4: Tính tích phân : 
	(ĐH Lâm Nghiệp - Năm 1999)
Lời giải
Chú ý : Sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1, ta tính được : 
Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thì 
Chứng minh
Ví dụ 5: Tính tích phân 
Lời giải
Tính chất 5 : Nếu a > 0, f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R thì với mọi số thực dương ta có:
Chứng minh
Ví dụ 6: Tính tích phân 
 (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông - Năm 1999)
Lời giải
Ví dụ 7: Tính tích phân 
	(ĐH Bách khoa Hà Nội - Năm 1999)
Lời giải
Tính chất 6: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [0; a] với a > 0, thì 
Chứng minh
Ví dụ 8: Tính tích phân 
	 (ĐH Thủy Lợi - Năm 2001)
Lời giải
Tính chất 7: Nếu f(x) liên tục trên [0; 1] thì .
Chứng minh
Ví dụ 9: Tính tích phân 
	 (ĐH Y dược TP. Hồ Chí Minh - Năm 1992)
Lời giải
Tính chất 8: Nếu f(x) là hàm liên tục , tuần hoàn có chu kì T thì:
Chứng minh
Ví dụ 10: Tính tích phân 
Lời giải
Ví dụ 11: Tính tích phân 
Lời giải
Mời các bạn sử dụng các tính chất trên để tính các tích phân sau đây :
a) 
c) (ĐH Huế - 1999)
e) 
b) (ĐH GTVT Hà Nội-2000)
d) (ĐH Mỏ-Địa chất-2001)
f) 
Dạng toán 7: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân
Kiến thức:
1) 
2) 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
(ĐHSP Vinh - Năm 2000)
(ĐH Tây Nguyên - Năm 2000)
(ĐH Đà Nẵng - Năm 2000)
Lời giải
( Chú ý: Để chứng minh , ta tìm Minf(x), Maxf(x) trên [a; b], sau đó sử dụng tính chất 2.
Ví dụ 2: Chứng minh:
Lời giải
Bằng phương pháp như trên ta thu rất nhiều bất đẳng thức.
( Bài tập tự luyện: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Đ3. ứng dụng tích phân để tính diện tích và thể tích
A. Tính diện tích của hình phẳng:
I. Tóm tắt lý thuyết:
1 )Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] có đồ thị (C). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là:
 (1)
2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x) và y=g(x) (f(x), g(x) liên tục trên [a; b]) và hai đường thẳng x=a, x=b là:
	 (2) 
Thay đổi vai trò của x và y cho nhau, ta được các công thức tương tự với x là hàm số của y.
II. Các dạng toán:
1. Bài toán cho trước cận của tích phân:
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 - x - 2, y = 0, x = -2, x = 0.
Lời giải
áp dụng công thức (1), ta có:
Ví dụ 2: Tính diện tích phần hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường y = xex, y = 0, x = -1, x = 2.
	(Học viện Bưu chính Viễn thông - Năm 2001)
Lời giải
áp dụng công thức (1), ta có:
( Lưu ý 1: Khi tính tích phân , ta làm như sau:
* Giải PT f(x) = 0 với a ≤ x ≤ b.
* Xét dấu của f(x) trên đoạn [a; b]. Giả sử
2. Bài toán không cho trước cận của tích phân:
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và x2 + 3y = 0.
	(ĐH Bách khoa Hà Nội - Năm 2001)
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đường trên là nghiệm của phương trình:
áp dụng công thức (2) ta có:
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y2 = x3 và y2 = (2-x)3
Lời giải
Tọa độ giao điểm của hai đường trên là nghiệm của hệ phương trình:
( Lưu ý 2: Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường có PT f(x,y) = 0 và g(x,y) = 0 ta làm như sau:
* Chuyển hai PT về dạng hàm số (với đối số thích hợp); xác định cận của tích phân.
* Tính diện tích của hình phẳng theo công thức (2).
3. Sử dụng hình vẽ để định cách giải
Ví dụ 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
	(ĐH Khối B - Năm 2002)
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đường trên là nghiệm của phương trình:
Chú ý: Ta có thể tính diện tích 
( Lưu ý 3: Với các hình phẳng (H) phức tạp, ta phân tích nó thành hợp hoặc hiệu của các hình đơn giản để sử dụng công thức (1), (2).
B. Tính thể tích của khối tròn xoay:
I. Tóm tắt lý thuyết:
1) Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0 và hai đường thẳng x=a, x=b (a<b) quay xung quanh trục Ox tạo thành vật thể có thể tích:
 (3)
2 )Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quay xung quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay có thể tích:
	 (4)
3) Hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), x = 0 và hai đường thẳng y=a, y=b (a<b) quay xung quanh trục Oy tạo thành vật thể có thể tích:
 (5)
4) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y=a, y=b quay xung quanh trục Oy tạo nên khối tròn xoay có thể tích:
	 (6)
II. Các dạng toán:
1. Hình phẳng quay xung quanh trục hoành:
Ví dụ 6: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
	(ĐH Khối B - Năm 2007)
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường y = xlnx và y = 0 là:
Thể tích phải tìm là:
Ví dụ 7: Gọi (D) là miền được giới hạn bởi các đường y = -3x + 10, y = 1 và y = x2 (x>0). Tính thể tích vật thể tròn xoay do ta quay (D) xung quanh trục Ox tạo nên (miền (D) nằm ngoài parabol y = x2).
	(Đề 66/Iva - Bộ đề tuyển sinh ĐH, CĐ)
Lời giải
* PT hoành độ giao điểm của hai đường y = -3x + 10 và y =1 là:
* PT hoành độ giao điểm của hai đường y = -3x + 10 và y =x2 là:
* PT hoành độ giao điểm của hai đường y = x2 và y =1 là:
( Lưu ý 4: Để tính thể tích của khối tròn xoay khi quanh một hình phẳng xung quanh trục hoành, ta ta làm như sau:
* Tìm tọa độ giao điểm của các đường cho trong đầu bài để suy ra cận của tích phân.
* Viết PT f(x,y) = 0 (nếu có) thành hàm số của y theo x.
* Sử dụng công thức (3) hoặc (4) để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành.
2. Hình phẳng quay xung quanh trục tung:
Ví dụ 8 : Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = (x-2)2 và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng (D) khi nó quay quanh trục Oy.
	(ĐH Hàng Hải - Năm 2000)
Lời giải
Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối tròn xoay dó các hình phẳng (H1): , trục Oy, y=0, y=4 và (H2): , trục Oy, y=0, y=4 quay xung quanh trục Oy tạo nên.
Thể tích cần tìm là:
( Lưu ý : Việc tính thể tích của khối tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục tung được làm như trong lưu ý 4, chuyển PT f(x,y) = 0 thành hàm số của x theo y, x = g(y), cận của tích phân là tập xác định của hàm số này.
( Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = ex, y = e-x, x= 1.
	(ĐH Tài chính-Kế toán Hà Nội-Năm 2000)
Bài 2 : 
	 (Đề thi Tuyển sinh ĐH Khối A - Năm 2002)
Bài 3 : Cho a > 0, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình :
Tìm giá trị của a để diện tích trên đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 4 : Cho (D) là miền phẳng bị giới hạn bởi các đường cong : .
a) Tính diện tích miền (D).
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho (D) quay quanh trục Ox.
	(ĐH Nông nghiệp - Năm 1999) 
Bài 5 : Cho hình tròn có tâm I(2 ; 0), bán kính R = 1, quay xung quanh trục Oy. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên.
	(Đề 58/Iva - Bộ đề tuyển sinh)