Nguyên hàm và tích phân 12

1 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 
Bảng các nguyên hàm : 
 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶; 𝑥∝𝑑𝑥 =
𝑥∝+𝟏
∝+1
+ 𝐶(∝≠ −1) ; 
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 ; 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
 𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑎 + 𝐶 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ; 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 ; 
𝑑𝑥
𝒄𝒐𝒔2𝑥
= 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ; 
𝑑𝑥
𝒔𝒊𝒏2𝑥
= −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 ; 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝐶; 
 (𝑎𝑥 + 𝑏)∝𝑑𝑥 =
(𝑎𝑥 + 𝒃)∝+𝟏
𝑎(∝ +1)
+ 𝐶(∝≠ −1) ; cos⁡(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =
1
𝑎
sin⁡(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 
2 2 2 2
2
1/ ;2/
2 2
dx x k
ln x x k C x kdx x k ln x x k C
x k
          

  
I.Nguyên hàm của hàm số lượng giác: 
 1/ 
5 6
4 3 4 2(1 )
5 7
sin x sin x
sin xcos xdx sin x sin x dsinx C      . 
 2/ 
9 7 11
5 6 2 2 6 2(1 ) cos
9 7 11
cos x cos x cos x
sin xcos xdx cos x cos xd x C        
 3/ 
2
4 2 21 2 1 2 1. (1 2 )(1 2 )
2 2 8
cos x cos x
sin xcos xdx dx cos x cos x dx
  
     
 
   
31 1 4 1 2 6 1 2 4 61 2 2 1 4 2
8 2 16 2 2 32 2 2 6
cos x cos x cos x sin x sin x sin x
cos x cos x dx cos x dx x
     
               
     
 
 4/  3
1 1
8 8 (3cos 3 ) 3( 9 7 ) 11 5
4 8
cos xsin xdx sin x x cos x dx sin x sin x sin x sin x dx        
1 9 3 7 11 5
8 3 7 11 5
cos x cos x cos x cos x
C
 
      
 
. 
 5/ 
2
cos 1 1 1 1 1
ln ln tan( / 2)
sin 1 2 cos 1 cos 1 2 1
dx d x cosx
dx C x C
x cos x x x cosx
 
        
    
   
 6/ 
2sin 3 (3 4 ) (3 4 ) 6 17 (3 4 )
3 4 3 4 25 25 3 4
x cosx a sinx cosx b cosx sinx d sinx cosx
dx dx dx
sinx cosx sinx cosx sinx cosx
    
   
     
6
ln 3 4
25
x sinx cosx C    . 
2 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
 7/  
cos 1 ( ) ( ) 1
ln
1 2 2
dx xdx sinx cosx sinx cosx
dx x sinx cosx C
tanx sinx cosx sinx cosx
  
     
    
. 
 8/ 
3
3 3 2
4 ( ) ( ) ( / 4)
2 2 ( ) ( )
( ) ( ) ( / 4)
sinx sinx cosx sinx cosx d x
dx dx sinx cosx d sinx cosx
sinx cosx sinx cosx cos x


       
     
2( / 4) ( )tan x sinx cosx C      . 
 9/ 
2 2
( / 2)
3 5 3 6 ( / 2) 10 ( / 2) ( / 2) ( / 2)(3 5 ( / 2))
dx dx d x
sinx cosx cos x sin x cos x cos x tan x
 
     
( / 2) 1
ln 3 5 ( / 2)
3 5 ( / 2) 5
dtan x
tan x C
tan x
  

. 
 10/ 
2 2 2
( / 2)
7 6 9 16 ( / 2) 12 ( / 2) 2 ( / 2) ( / 2) 6 ( / 2) 8
dx dx dtan x
cosx sinx cos x sin x cos sin x tan x tan x
 
       
1 1 1 1 ( / 2) 4
( / 2) ln
2 ( / 2) 4 ( / 2) 2 2 ( / 2) 2
tan x
dtan x C
tan x tan x tan x
  
    
   
 . 
 11/ 
2 2 3
2
4 2 2 3
sin x sin x dx tan x
dx tan xdtanx C
cos x cos x cos x
      . 
 12/ 
3 3 2 2( ) ( 1) / ( ) / 2 lntan xdx tan x tanx tanx dx tanx tan x dx sinxdx cosx tan x cosx C            . 
 13/ 
4 4 2 2 2 2 2( 1 1) ( 1) ( 1)cot xdx cot x cot x cot x dx cot x cot x dx cot x dx dx              
3( ) /3cotx cotx x C     . 
 14/ 
2
( / 2 /8)
2 2 2 ( / 4) 2 2 ( / 2 /8) 2
dx dx dx cot x
C
sinx cosx cos x sin x

 

    
    
   . 
 15/ 
3 33
2 5 / 3 8 / 333
3 3 2
3
8
sin x sinx sin x sinx cotx
cotxdx dx cot xcotxdcotx cot xdcotx cot x C
sin x sin x sin x
 
          . 
 16/ 
4
3/ 4 4
23 54
4
dx tanxdx
tan xdtanx tanx C
tanxcos xsin xcos x
      . 
 17/ 
1/ 3 2 / 3
3
3
( ) ( ) ( )
2
sinx cosx
dx sinx cosx d sinx cosx sinx cosx C
sinx cosx
      

  . 
 18/ 
2
3 3 3
( 2) 12 1 2 1
( 2)
( 2) 2 ( 2) 2
d tcos xdx dsin x
t sinx cosx
sinx cosx sinx cosx t
        
     
3 2
2 1 1t
dt C
t t t

   . 
 19/ 
2 2
1 2 3
( )
4 22 4 2 2 26 8 3/ 4
cosxdx dsinx dsinx u
C sinx sinu
cos x sin x sin x
    
  
   . 
 20/ 
2 2 2
1 2 2
2ln
sin x dx sinxcosx
dx dx tanx cosx C
cos x cos x cos x

       . 
 21/ 
2 3 4 2
3 1 3
3 5 8 3 3 2
(1 ) 3 1
( 3 3 ) 3ln
4 2 2
dx dx tan x dtanx t t
t t t t dt t C
sin xcos x cos xtan x tan x t
               . 
3 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
 22/ 
2 2 2 2 2
3 4 3 4 3 ( 3 ) 1 1
3 4 3 4 3 3 2 2
sinx cosx dcosx dsinx d tant
dx dsinx
sin x cos x cos x sin x tan t sinx sinx
  
       
      
     
2
ln 3 ( 3 )
2
sinx
t C cosx tant
sinx

   

. 
 23/  3 3/ 2( 0; / 2 ) 2 /3cosx cos xdx x cosxdcosx cos x C        . 
 24/ 
2 2 21 1 ( /3) 1 1
2 3 2
2 ( /3) 2 83
cos xdx cos xdx cos t
dt cost sint dt
sin x sint sintsinx cosx


  
      
  
    
1
ln 2 3 2 ( /3)
8 2
t
tan sint cost C t x 
 
     
 
. 
 25/ 
2 2 2 2 2 2
2 2
2 22 2 2 2
sin cos /( )
( )
x xdx tdt b a a cos x b sin x
a b C
t b aa cos x b sin x
 
   

  . 
 26/ 
2 2
( )
ln ( ) ( )
4 22 2 1 ( ) 1
cosx sinx d sinx cosx dtant dt t
dx tan C tant sinx cosx
costsin x sinx cosx tan t
 
        
   
    . 
 27/ 
2 2 2 22 ( (0; / 4)) ( ) ln 2
2
cos x
tan x cot x dx x cotx tanx dx dx sin x C
sin x
          . 
 28/ 
2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 3 1 3
3 34 1 3
sin xdx sinxdsinx
d sin x sin x C
cos x sin x sin x
     
 
   . 
 29/ 
 ( ) ( )1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin x a x b dxdx
a b k
cos x a cos x b sin a b cos x a cos x b

  
   
     
1 ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ) ln
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sin x a sin x b cos x b
d x a d x b C
sin a b cos x a cos x b sin a b cos x a
   
     
     
  . 
 30/ 
 ( ) ( )1
( )
( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
cos x a x b dxdx
a b k
sin x a cos x b cos a b sin x a cos x b


  
    
     
1 ( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ) ln
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos x a sin x b sin x a
d x a d x b C
cos a b sin x a cos x b cos a b cos x b
   
     
     
  . 
BÀI TẬP : 
 Tìm các nguyên hàm sau: 
3 3
2 2
cos 4 3 4
1/ ;2 / ;3/ ;4 / ;5/ ;6 / ;7 / ;
3 7 1 1 2 4 1
dx xdx sin xdx dx sin xsin x cos xdx sin xdx
dx
cosx cosx sinx cos x cosx tanx cot x cos x cosx cosx    
       
3 3
2 4 6
1 2 2
8/ ;9 / ;10/ ;11/ ;12/ ;13/ ;
2 1 2
cos xdx sinx sin x sinxdx dx dx sin x cos x
dx dx
sin x sinx cos x sin x sin x cos x sinx cosx
  
       
4 4
2 2 3
4
14/ ;15/ ;16/ ;17 / ;18/ ;19/ ;
1 2 2 2 2
dx sin x dx tan x dx dx
dx dx
sin xcos x cosx sinxcos x cos x sin x sinx cosx       
 3 56
2
20/ ;21/ ;22/ ;23/ 1 sin
( ) ( )1 3 3 2
sin x sinx sinx cosx dx
dx dx cos x xcos x
cos x a cos x bcosx sin x
 

  
    . 
4 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
 24/ ;25/ ( ) ;26/ ;27 /
2 2
dx sinxdx sinxcosxdx
tanxtan a x dx
sinx cosxsinx cosx sin x


    . 
 II.Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ: 
 1/ 
1
ln
( 1)(2 1) 1 2 1 1 2 1 2 1
xdx a b dx dx x
dx C
x x x x x x x
 
      
       
    . 
𝑥𝑑𝑥
 2𝑥 − 1 (3𝑥 + 4)
 ; 
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝒂2
 ; 
𝑑𝑥
𝑥2 2𝑥 + 3 
 ; 
𝑑𝑥
𝑥2 − 𝒂2
 ; 
𝑑𝑥
 2𝑥 − 3 (3𝑥 + 2)
 2/ 
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
ln
( 2) 2 ( 2) 4 2 4 2
dx dx x
dt C
x x x x t t x
 
     
    
   . 
 3/ 
10
10 2 10 10 2 2 2 2
1 1 ( 1) 1 1 1
( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1) 10 ( 1)
dx dx dt t t
dt dt
x x x x t t t t t t t
  
      
     
     
10
2 10 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln
10 1 10 10 1 1
t x
dt C C
t t t t t x x
   
                  
 . 
 4/ 
2 2
4 2 2 2
1 1 1/ ( 1/ ) 1 1 1 1 2
ln
1 1/ ( 1/ ) 2 2 2 2 2 2 2 2
x x d x x t
dx dx dt C
x x x x x t t t
    
      
       
    . 
4′) 
𝑥2 + 1
𝑥𝟒 + 1
𝑑𝑥 ; 4") 
𝑑𝑥
𝑥𝟒 + 1
 5/ 
2
2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3
( ) / 1 1 2 1 2
( 0)
( ) ( ) / 2 2 2
dx d atant adt cos t cos t sin t
a dt t C
x a a tan t a a cos t a a
  
       
   
    . 
 6/ 
2 2
10 10 8 7 9
1 4 4 1 1 1 4
( 2 3 )
(2 3 ) 27 27 2 7 9
x dx t t
dt C t x
x t t t t
   
       
  
  . 
 7/ 
4 4 2 2 3
3
6 6 2 6
1 1 1
( ) /3
1 1 1 3 1
x x x x dx dx
dx dx arctanx arctanx C
x x x x
   
     
      
. 
 8/ 
3 2 2
6 4 2 3 3 3 2 2
( ) (1 1/ ) ( 1/ ) 1
ln
4 4 1 1/ 4( 1/ ) ( 1/ ) ( 1/ ) ( 1) 2 1
x x dx x dx d x x dt t
C
x x x x x x x x x x x t t t
  
    
             
. 
BÀI TẬP: 
 Tìm các nguyên hàm sau: 
3 2 2 2 2001
9 5 2 2 4 2 5 2 2 2 1002
1 ( 1)
1/ ;2 / ;3/ ;4 / ;5/ ;6 /
3 ( ) 1 ( 1) ( 5 1)( 3 1) (1 )
dx x dx x x dx x dx x dx
dx
x x x k x x x x x x x x
 
              
. 
5 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
III. Nguyên hàm của các hàm số có chứa ẩn dưới dấu căn thức: 
 1/ 
3 5
2 4 2 3
3
1 ( 1) /3 1 1 1
( 2 ) ( 3 1)
3 3 53 1
x t t
dx t dt t t dt t C t x
tx
   
        
  
   . 
 2/ 
2 3 2( 1) 1 1
( 1) ( 2 1)
2(1 ) 2 2 3 21 2 1
xdx t tdt t t
t tdt C t x
tx
 
        
   
   . 
 3/ 
3 2 3
2
2
( 2)
2 ( 2)
32
x dx t tdt t
t C t x
tx

     

  . 
 4/ 
3 2 2 2
43
43
(3 ) / 4 3 1 1 3 1 3
1 ln 1 ( 1)
1 4 1 4 1 4 21 1
x dx t dt t t
dt t dt t t C t x
t t tx
    
             
      
    . 
 5/ 3/ 2 3/ 2
1 1 1
( 1) ( 1)
2 31 1
dx x x
dx x x C
x x
  
         
  . 
 6/ 
6 3 3 2
2 6
3 23
1
6 6 1 6 ln 1 ( )
1 1 3 2
dx dt t dt t t
t t dt t t C t x
t t t tx x
  
              
      
    . 
 7/ 
2
22 2
1 1 1 1 1 1 1 1
ln ln
( 1) 2 1 1 2 1 21 1 1
dx tdt t x
dt C C
t t t t tx x x
   
       
      
   . 
 8/ 
22 2 2
( 1) 1 1 1 1 1
ln
( 1) 2 1 1 2 1( 1) 2 2 ( 1) 2 2
dx x dx tdt t
dt C
t t t t tx x x x x x
  
      
         
    . 
 9/ 
2
...
1
dx dsinx cosxdx
sinx cosx sinx cosxx x
  
  
   
 10/ 
2 22 2 3 2 2 2 3( ) ( )
dx datant costdt sint
C
a aa x a a tan t
   
 
   . 
 11/ 
2 3 5
2 2
6 6
1
(1 )
3 5
x costdsint cot t cot t
dx cot t cot t dcott C
x sin t
  
      
 
    . 
 12/ 
2
2
(1/ )
2 1 2 / 1
1 2 1 2 12
dx d t dt
t C x C
tx x x
t t t
          


   . 
 13/ 
2
2
4/( 1) 1(1/ 1) 4 1
2 21 2 1 2 4 1( 1) 3 2
3 2 1
xdx d t dt t
C C
tx x x
t t t t
  
        
  
    
   . 
14/ 2 2
1 1 2
2 .4 2 . 2 8 2 2 ( 4 2 2 1)
1 21
x cos t
dx dcos t tant cos t sin tdt sin tcos tdt cos t cos t dt
cos tx
 
        

     
 0,5 4 2 2 2sin t sin t t C     . 
BÀI TẬP: 
 Tìm các nguyên hàm sau: 
6 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
2 2
2 2
2 3/ 22 2
1
1/ 4 ;2 / ;3/ ;4 / ;5/ ;5'/
(1 )2 1 4 1 2 21 1 1
dx dx xdx x dx x x
x x dx dx
xx x x xx x x
 

        
      
3 3
2 3
2 2 2 2 2 23
6/ ;7 / ;8/ ;9 / (1 ) ;10/ ;11/
1 (2 1) 1 ( 1) 1 (1 ) 1n nn
x dx dx dx x dx dx
x dx
x x x x x x x x x

        
      . 
IV. Nguyên hàm của các hàm số mũ và hàm số Lôgarít: 
 1/ 
1 1 1 1
ln
2 ( 2) 2 2 2 2
x x
x
x x x x x x
dx de e
de C
e e e e e e
 
     
    
   . 
 2/ 3/ 2 1/ 2
3
( 3) ( 3) 2( 3) 2 / 3
( 3)
x
x x x x
x
e dx
e d e e C e C
e
           

  . 
 3/ 
2 1
1 ln( 1)
1 1 1
x x x
x x x
x x x
e dx e de
de e e C
e e e
  
  
  
 
        
   
   . 
 4/ 
2 2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
ln
3 2 ( 3) 6 3 6 3
x x
x
x x x x x x
dx de e
de C
e e e e e e
 
     
    
   . 
 5/ 
2 2
2 2 2
2 2 ( 1 2 )
( 2) 2 2( 1) 1
x
x
x x
e dx tdt d tanu
du u C e tanu
t t tan ue e
      
  
    . 
 6/ 
2
3 1 3 11 2 2 2( 1) ( 3 1 1)
3 3 3 3
x t t t xte dx e d te dt e t C e x C 

           . 
 7/ 
2 2
ln ( / 4 / 2) ( )
1 1
x x
x
x x x
e dx e dx dtant dt
tan t C t arctane
coste e e tan t


       
  
    . 
 8/ 
2 2
1 .2 1
1 2 1 2( ) ( 1 )
1 1
x x
x x
x
e e dx t tdt
e dx dt t u C t e tanu
e t t
  
           
  
    . 
 9/ 
2
2 2
(1 )
( )
1 1
x x
x
x x
e e dx
dx dx x t C t arctane
e e

     
   
. 
 10/ 
2 5 3
4 2ln 3ln 1 1 2 2 2. . ( ) ( 3ln 1)
3 3 9 9 5 3
x x t t t
dx t tdt t t dt C t x
x
  
        
 
   . 
 11/ 
(2ln ) 1 1
2 2 2ln 2ln
1 ( 1) 1 11 1
x
x x
dx d t dt t e
dt C C
t t t t t te e
 
        
     
    . 
V. Tìm nguyên hàm theo phương pháp tính từng phần: 
 1/ Các nguyên hàm dạng: ( )xdf x , ví dụ: 
2 2
2 2
; ; ;
xdx xsinx
xsin dx xtan xdx dx
sin x cos x   
. 
 2/ Các nguyên hàm dạng: ( )f x dx , ví dụ: 
2 2 2 2ln ; ln( ) ; ln ( ) ;xdx x x k dx x x k dx      
7 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
 3/  ln(1 ) ln(1 ) (1 ) (1 ) 1 ln(1 )sinx cosx dx cosx d cosx cosx cosx C           . 
 4/ ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )cosx cosx dx cosx dsinx sinx cosx x sinx C         . 
 5/ (ln ) (ln ) (ln ) (ln ) (ln )F sin x dx xsin x cos x dx xsin x xcos x F       
  (ln ) (ln ) / 2F x sin x cos x C    . 
 6/ 
2 2 2
2
1 1 1 1 1
ln ln ln ln
1 2 1 1 2 1 2 1
x x x x x x x
x dx dx x C
x x x x x
   
     
     
. 
 7/ 
21/
ln( ) ln( ) ln( ) ln ( / 2)
cos x
sinx tanx dx cosx tanx cosx dx cosx tanx tan x C
tanx
       . 
 8/ ( ) / 2 ; ( ) / 2x x x xe cosxdx e sinx cosx C e sinxdx e sinx cosx C       . 
 9/ 1
2
( 1)
( 1) 1 1
x x x
x xxe xe edx xe d x e dx C
x x x
       
    
. 
 10/ 
2
2 2 2 2
2
ln( )
ln( ) ln( )
x x x k
dx x x k d x k x k x x k x C
x k
 
         

  . 
 11/ 
2 2 2 2
1 1
ln ln ln ln ln ln ln ln
dx dx dx x dx x
dx C
x x x x x x x x
   
           
   
     . 
 12/ 
2
1
( / 2) ( / 2) ( / 2) ( / 2)
1 2 ( / 2)
x
x x x x xsinx e dxe dx e tan x dx e dtan x tan x de e tan x C
cosx cos x

     
    
. 
 BÀI TẬP: 
 Tìm các nguyên hàm sau: 
2
2
3 2 2
2 2 2
ln( )
1/ ;2 / (ln ) ;3/ ;4 / ;5/ ;6 / ;7 /
(1 ) 1 ( 2)
x
x xxcosxdx sinx x sinx x e dxcos x dx x e dx e sin xdx dx dx
sinx sin x cosx x
 
        
. 
VI. Một số tích phân đặc biệt: 
 1/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn  0; thì: 
0 0
( ) ( )
2
xf sinx dx f sinx dx
 

  . 
 VD: 
11 2
2 2 2
10 0 1
1 2 1 2 1 2 2 4 4 4
xsinxdx dcosx dt
arctant
cos x cos x t
 
      

 
           
    
   . 
 2/ Nếu f(x) là một hàm liên tục trên đoạn  0;1 thì: 
/ 2 / 2
0 0
( ) ( )f sinx dx f cosx dx
 
  . 
8 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN 
 Áp dụng: 
/ 2 / 2 / 2 / 2
0 0 0 0
1 ( )
;
2 4
n n n n n
n n n n n n n n
sin xdx cos xdx sin x cos x dx sinxdx
sin x cos x sin x cos x sin x cos x sinx cosx
   

   
   
    
/ 2 / 2 / 2
0 0 0
; ( ) ( ) 0
4
n
n nn n
n n
cosxdx
sinx cosx dx sin x cos x dx
sinx cosx
  

    

   . 
 3/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và lẻ trên đoạn  ;a a thì: ( ) 0
a
a
f x dx

 . 
Áp dụng:
/ 3
2 1 2 2 2 1 2 2 1
/ 3
ln ( 1). 0; . 0; 0;
a a
n m n m n m
a a
x x x dx tan x x dx x cos xdx


  
  
       
1/ 2 1 / 4 / 47 5 3
1
2 2
1/ 2 1 / 4 / 4
1 3 7 5 1
ln . 0; 0; 2
1
x x
n m m
x x
x e e x x x x dx
cos xdx cos xdx dx
x e e cos x cos x
 
 



   
     
   
    
. 
 4/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và chẵn trên đoạn  ;a a thì: 
0
( )
( )
1
a a
x
a
f x dx
f x dx
b


 
Áp dụng: 
 a/ 
/ 2 / 2 / 23
3 2
/ 2 0 0
(1 ) 2 /3
1 2x
cos xdx
cos xdx sin x dsinx
  

   
  
. 
 b/ 
1 1
1
1 0
( ) ( ) 1/
1 3
x x
x x x x
x o
e e
dx e e dx e e e e

 


     
 
. 
 c/ 
/ 2 / 2 14 5
4 5 4 2 2
/ 2 0 0
(1 ) 1/9 2/ 7 1/5 8/315
1 x
sin xcos x
dx sin xcos xdx t t dt
e
 

      
  
. 
 5/ Nếu f(x) là một hàm liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0 thì: 
0
( ) ( )
a T T
a
f x dx f x dx

  . 
 Áp dụng: 
200 2 2
0 0 0 0
1 100 1 100 2 ( / 2) 200 2cosxdx cosxdx cos x dx cost dt
   
         
/ 2
0 / 2
200 2 200 2(1 1) 400 2costdt costdt
 

 
     
 
  . 
 VII.Một số bài toán lẻ: 
2 / 2 1/ 2
2 2
0 0 0
(1 )
1/ ;2 / ;3/ ( ) ;4 / ;5/
1 4 1 1
p
p
x dx x ln x x sinx
dx ln tanx dx dx dx
x x x cosx


 
       
 . 
9 DOÃN XUÂN HUY - THPH ÂN THI – HƯNG YÊN