Nguyên hàm – tích phân - Trần Đức Ngọc - GV Trường THPT Tân Kỳ I - Nghệ An

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) 
TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN 
I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 
 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm 
các hàm số thường gặp để tính 
 Ví dụ : Tính I = = 
 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng 
 I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . 
 *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành 
tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu 
thức ,hoặc tử thức là hằng số. 
 = q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) 
là hằng số. 
 Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ 
hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. 
 *2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. 
+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b) 
 I1 = = = ln + C 
+ Dạng II: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b ) 
 I2 = = = + C 
+ Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số 
 I3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax
2
+bx+c .Ta chỉ 
cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích 
phân.Có I3 = = Với b1 = , c1 = 
 Xét I3 = 
 a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2) 
cho : = + . 
 Do đó : I3 = = A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C 
 b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)
2
 .(x0 là nghiệm kép của mẫu thức ) 
Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I3 = = = - + C 
 (Dạng I2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) 
 *Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) . 
Biến đổi: = = + . Do đó ta có: 
I3 = = + (q - ) = + ( - q). + C 
 c -Nếu x2+bx+c = 0 vô nghiệm . 
Ta biến đổi: = = + 
Do đó: = + (q - ) 
 = + C + (q - ) . 
Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a = 
Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì du = a(1 + tan2t)dt và u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có: 
 I = = = = + C 
+ Dạng IV : I4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số 
 a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có 3 nghiệm phân biệt x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) 
Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + + 
Do đó : 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3) 
I4 = = A + B + C = A.ln +B.ln + C.ln + D 
 b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)
2
 với x1 x0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) 
Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + 
Do đó : I4 = = A + = A + .dx 
 = A + + 
 = A.ln + . ln + (Bx0-C). + D (Đổi dấu rồi,yên tâm) 
 c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x
2+px + q) trong đó x2+px+q = 0 vô nghiệm 
Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + 
 = + = + + 
Do đó : I4 = = A + . + . 
 = A.ln(x-x1) + .ln(x
2
+px+q) + (C - ). + D 
Trong đó: J = = (Đã nói rõ ở Dạng III: c -Nếu mẫu thức vô nghiệm) 
Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi = 
Do đó: I4 = = + .Với p1= p- ; q1= q - 
Bài tập: Tính nguyên hàm 
1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
2. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4) 
3. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
 I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 
4. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 
 b/ I = 
2
1
3 xx
dx
; Chú ý: 
 c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x
2
+2x+3) 
 e/ I = = + + 
 g/ I= Chú ý: = (x-2)(x
2
+4x+4) 
5. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4) 
 c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) 
 d/ I = Chú ý : = (x+1)(x
2
-x+1) 
6. I = 
Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + + 
7. I = = .dx ( , đặt x = tant ) 
8. I = 
9. I = I = I = I = 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5) 
II.Nguyên hàm các hàm số Lượng giác 
1.Nguyên hàm hàm hợp 
 1/ I = = = sin(ax+b) +C 
 2/ I = = = - cos(ax+b) +C 
 3/ I = = = tan(ax+b) + C 
 4/ I = = = - cot(ax+b) + C 
2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cosmx.sinnx .Hoặc f(x) = , f(x) = (Với m,n N) 
 -Đổi biến số ,đưa về nguyên hàm của hàm số hữu tỷ 
 1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ 
(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được) 
Ví dụ 1 : I = . 
 - Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C 
 - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cosmx.sinnx về 
nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2: 
 I = = I = = 
 = = - cos3x - cosx + C 
Ví dụ 2 : I = 
 - Đặt sinx = t Ta có I = = I = = = 
Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t) 
 -Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I = 
 = = t
2
 - ln +C 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6) 
Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t) 
 2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn) 
*Nếu f(x) = cosmx.sinnx Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng 
thành tích đưa về nguyên hàm hàm hợp. 
Ví dụ 5: I = = I = = .2cos2xdx 
 = dx = dx 
 = - 
 = x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C 
 = x + sin2x - sin4x - sin6x + C 
*Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = , đặt cotx=t (với m và n đều là sỗ chẵn ) 
Ví dụ 5 : I = 
 -Ta có : I = = = - 
 = - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t) 
Ví dụ 6 : I = (Vì mẫu thức là sin2x,chính là mẫu thức của cot2x nên ta đặt cotx = t) 
 -Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot
3
x + C 
 (Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi) 
Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là cos2x,chính là mẫu thức của tan2x nên ta đặt tanx = t) 
 -Ta có : I = = I = = 
 = - = + 
 = tanx + sin2x - x + C 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7) 
3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx 
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t 
*Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t 
*Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t 
-Có những bài dùng phương pháp liên kết. 
1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t 
Ví dụ 8 : I = = = = 
 = - =  (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) 
2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t 
Ví dụ 8 : I = = -2 = -2 = -2 = 
3/Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t 
Ví dụ 9 : I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = ) 
-Ta có I = = = = 
 (Dạng .Với u = 1 + tanx) 
4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan .Ta có dt = (1+ tan2 ).dx 
Nên dx = , và có sinx = , cosx = 
Ví dụ 10 : Tính nguyên hàm I = . 
Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = . 
Do đó : 
 I = = I = = = - + C 
5/Tính nguyên hàm : I = 
 -Tách tử thức thành một tổng, có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức : 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8) 
I = = I = . dx 
 = + 
 = + .dx 
 = ln + .dx . 
Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn 
dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan 
Ví dụ 11 : I = J = k = 
4. Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx : 
 -Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp 
Ví dụ 12 : Tính I = = .sin8x + .sin2x) +C 
 Ví dụ 13 : Tính I = 
 = 
 = = 
 = - .cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C 
****************************************************************************** 
Bài tập : 1/ xdxx 4
2
0
2 cossin 
2
0
32 cossin xdxx dxxx
2
0
54 cossin 
2
0
33 )cos(sin dxx 
2/
2
0
44 )cos(sin2cos dxxxx ;
2
0
22 )coscossinsin2( dxxxxx ; 
2
0
sin2
1
dx
x
; 
2
3
sin
1
dx
x
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9) 
3/
4
0
22 coscossin2sin xxxx
dx
2
0
cos1
cos
dx
x
x
 ; 
2
0
cos2
cos
dx
x
x
; 
2
0
sin2
sin
dx
x
x
4/
2
0
441010 )sincoscos(sin dxxxxx ; 
2
0
cos2 x
dx
 ; 
2
0
2
3
cos1
sin
dx
x
x
3
6
4 cos.sin xx
dx
5/
2
0
3
cos1
cos
dx
x
x
2
0
1cossin
1
dx
xx
2
3
2)cos1(
cos
x
xdx
4
0
3xdxtg dxxg
4
6
3cot 
3
4
4 xdxtg 
6/
4
0
1
1
dx
tgx
4
0 )
4
cos(cos xx
dx
2
0
sin1 dxx 
4
0 13cos3sin2 xx
dx 4
0
4
3
cos1
sin4
dx
x
x
7/
2
0
cos1
3sin
dx
x
x 2
4
sin2sin xx
dx 2
0
32 )sin1(2sin dxxx 
8/
0
sincos dxxx 
3
4
3
3 3
sin
sinsin
dx
xtgx
xx 2
0
cossin1 xx
dx
4
0
222 cossin
2sin
xbxa
xdx 4
0
2
3
cos
sin
dx
x
x
9/
2
0
1sin2 x
dx 2
0
2cos1
cos
x
xdx 4
0 2sin3
cossin
dx
x
xx 2
4
53 sincos xdxx 
4
0
2cos1
4sin
x
xdx
2
0
3sin5 x
dx
10/
6
6
4 cossin xx
dx
3
6
)
6
sin(sin xx
dx
3
4
)
4
cos(sin xx
dx
3
4
6
2
cos
sin
x
xdx
dxxtgxtg )
6
(
3
6
11/
3
0
3)cos(sin
sin4
xx
xdx
0
2
2)sin2(
2sin
x
x 2
0
3sin dxx 
2
0
2 cosxdxx 
2
0
12.2sin dxex x
2
0
22cos x
xdx
12/ dxe
x
x x
2
0
cos1
sin1
4
6
2cot
4sin3sin
dx
xgtgx
xx
2
0
2 6sin5sin
2sin
xx
xdx
2
1
)cos(ln dxx
3
6
sin21
cos
dx
x
x
13/
2
0
sin1cos dxxx
3
6
2cos
)ln(sin
dx
x
x
dxxx
2
0
2cos)12(
0
2cossin xdxxx
4
0
2 xdxxtg
4
0
5 xdxtg
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10) 
14/ 
0
22 sin xdxe x
2
0
3sin cossin
2
xdxxe x
4
0
2)cos2(sin xx
dx 4
0
)1ln( dxtgx
I= 
15/ 
2
0
2 )cos2)(sin1(
cos)sin1(
dx
xx
xx
2
0
3cos2sincos xdxxx 
4
0
5cos21
7cos8cos
dx
x
xx
III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) 
Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc 
hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây 
1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức : 
 -Thông thường : Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t 
Ví dụ 1 : I = .dx 
 - Đặt = t Ta có x + 2 = t2 nên dx = 2t.dt và = (t2 – 1).t 
Do đó : I = .dx = I = = 2 
Cách 2 : Đặt (x+2) = t thì dx = dt , (x + 1) = (t – 1) 
 Do đó : I = – = = - + C 
Ví dụ 2 : I = 
 -Đặt = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và = . 
 -Do đó : I = 2. = 2. = (Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ) 
Ví dụ 3 : I = . Đặt = t 
2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n 
mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n  
Ví dụ 4 : I = 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11) 
 Đặt = t ,ta có x + 1 = t6 nên dx = 6 t5dt, = t3, = t2 
Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) 
3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và 
 a,b,c R , a 0:Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên) 
-Ta có = . Gọi (x + ) = u và = = 
Hai trường hợp : 
1/Nếu 0 : Thì = 
2/Nếu 0 , vì 0 căn thức mới có nghĩa ) 
 Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau : 
 *1 Hàm số chứa u và , đặt u = .tant 
 *2 Hàm số chứa u và , đặt u = 
 *3 Hàm số chứa u và , đặt u = .sint 
Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên. 
Một số trường hợp riêng : 
1/ Tính I1 = .Đặt t = x + + (không quan tâm dương ,âm ) 
 -Ta sẽ có : I = = 
Ví dụ 5 : I = . Đặt t = x + 1 + Ta có I = = 
Cách 2 : Tính : I = . 
Đặt x +1 = 2.tant .Ta có : dx = 2.(1 + tan2t).dt = và = 
Do đó ta có : 
 I = = (Mở dấu gttđ rồi đổi biến số , đặt u= sint ) 
Chú ý : = = = = du = .ln + C 
Và : - = - = - = = du = .ln + C 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (12) 
2/Tính I2 = = 
 = A + (B - ) = A +(B - )I1 
 (Trong đó: I1 = .Đặt t = x + + nói ở trên ) 
Ví dụ 6 : I = = .dx = - = 
 = - = .ln - 
 (Tính Ví dụ 5 ngay phía trên) 
3/Tính I3 = . Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1 nói trên . 
Ví dụ 7 : Tính : I = 
 Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . = 
Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?) 
 (Tính Ví dụ 5 ở phía trên) 
4/ Tính I4 = Trong đó Pn(x) là đa thức biến số x , có bậc n. 
Cách giải : Đưa về dạng I = Qn-1(x). + .I1 
 Giả sử : I4 = = Qn-1(x). + . (*) 
Với Qn-1(x) là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực. 
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13) 
Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ 
tìm được các hệ số của đa thức Qn-1(x) và hệ số . Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 = 
 (đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên ) 
Ví dụ 8 : 
 Tính tích phân I = (Ở đây P2(x) = x
2
-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b ) 
 Lời giải: 
 Gỉa sử : = (ax+b). + . . 
 - Ta phải tìm các hệ số: a, b, 
- Lấy vi phân hai vế . (Đã nói ở trên) 
 Ví dụ : Tính : I = .dx 
Ta viết : 
I = .dx = .dx = + . (*) 
Vì Pn(x) = x
2
 + 2x + 4 (n = 2) nên Qn-1(x) = ax + b (Bậc của nó là 1). 
-Ta tìm các số thực a, b, sao cho : .dx = (ax+b). + . 
Lấy đạo hàm hai vế .Chú ý đến: đạo hàm của nguyên hàm thì bằng hàm số dưới dấu tích phân, 
nhớ các công thức :đạo hàm của một tích và đạo hàm của .Tìm được a, b, để thay vào 
(*).Cuối cùng là tính , đặt t = x + 1+ Hoặc đặt (x+1) = 
Xem phần trên đã trình bày. 
BÀI TẬP : 
1/ I = I = I = I = 
2/ I = I = .dx I = I = .dx với a > 0 
3/ I = .dx I = I = I = 
4/ , .dx , .dx = .dx 
****************************************************************************** 
Chúc các bạn thành công trong sự nghiệp