Một số tính chất của nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU
SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL 
SURFACE EQUATIONS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Trong [4], chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập 
mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của 
phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản 
của loại nghiệm yếu này.
ABSTRACT
In [4], we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface 
equations. This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical 
solutions of the correspondent approximate equations. In this paper, we will give some 
properties of the weak solutions.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu [4]
02 =



∇
−−
ji
ji
xx
xx
ij u
u
uu
δ
, trong 
Ω
, (1)
với điều kiện biên:
),()( 0 xuxu = với mọi Ω∂∈x . (2)
Trong đó, Ω là một miền trong nR với biên trơn Ω∂ . 
Trong [4], chúng tôi đã chứng minh được rằng, tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình (1) 
với điều kiện biên (2). Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S dưới dạng một tập mức không 
của nó với biên 
Γ
được cho trên Ω∂ bởi một hàm trơn 0u .
Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu, chúng ta nhắc lại các định nghĩa về 
nghiệm yếu [4].
ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU
Ta ký hiệu: 
{)( =ΩC |: Ru →Ω u liên tục trên }Ω .
Định nghĩa: Một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) là một hàm u
∈ )(ΩC sao cho:
Với mỗi ),(Ω∈
∞Cφ hàm φ−u đạt cực đại địa phương tại một điểm Ω∈0x , thì



≠∇
≤



∇
−−
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
02
0
00
φ
φ
φ
φφ
δ x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
và
 ( )



=∇≤∈
≤−−
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
φηη
φηηδ x
ji xxjiij
Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên của phương trình (1) là một hàm u
∈ )(ΩC sao cho:
Với mỗi ),(Ω∈
∞Cφ hàm φ−u đạt cực tiểu địa phương tại một điểm Ω∈0x , thì



≠∇
≥



∇
−−
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
02
0
00
φ
φ
φ
φφ
δ x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
và
 ( )



=∇≤∈
≥−−
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
φηη
φηηδ x
ji xxjiij
Định nghĩa: Một nghiệm yếu của phương trình (1) là một hàm u
∈ )(ΩC sao cho u vừa là 
nghiệm yếu dưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (1).
2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
Định lý 1: (i) Giả sử ku là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) với k=1,2, và 
uuk → đều trên Ω . Khi đó u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1).
(ii) Khẳng định trên vẫn đúng cho nghiệm yếu trên và nghiệm yếu.
Chứng minh: Cho )(Ω∈
∞Cφ và φ−u đạt cực đại ngặt địa phương tại một điểm Ω∈0x . Vì 
uuk → đều gần 0x , nên tồn tại một dãy các điểm Ω⊂
∞
=1}{ kkx thỏa mãn:
0xxk → khi 
∞→k
; φ−ku đạt cực đại địa phương tại điểm kx và ).()( 00 xuxu kk → (3)
Vì mỗi ku là một nghiệm yếu dưới của (1), nên theo định nghĩa nghiệm yếu dưới, ta có hoặc



≠∇
≤



∇
−−
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
k
2
φ
φ
φ
φφ
δ kxx
k
kxkx
ij x
x
xx
ji
ji
 (4)
hoặc
( )



=∇≤∈
≤−−
.0)(x khi 1, ,R
0)(
k
n φηη
φηηδ kxxjiij xji
 (5)
Tiếp theo ta giả sử 0)( 0 ≠∇ xφ . Khi đó 0)( ≠∇ kxφ với k đủ lớn và như vậy ta có thể lấy giới 
hạn của (4) khi ∞→k và đưa đến
.0)(
)(
)()(
02
0
00 ≤



∇
−− x
x
xx
ji
ii
xx
xx
ij φφ
φφ
δ
Bây giờ, ta giả sử 0)( 0 =∇ xφ . Đặt



=∇
≠∇
∇
∇
=
.0)(
0)(
)(
)(
:
k
k
k
k
k
k
xkhi
xkhi
x
x
φη
φφ
φ
ξ
Lấy giới hạn khi ∞→k , qua một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả thiết ηξ →k và khi đó 
.1≤η
Vì vậy, ta thu được ( ) .0)( 0 ≤−− xji xxjiij φηηδ
Giả thiết φ−u đạt cực đại địa phương ngặt tại một điểm Ω∈0x có thể được bỏ đi bằng một 
phép xấp xỉ. Do đó u là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1). Một thủ tục tương tự 
được thực hiện để kiểm chứng u là một nghiệm yếu trên và một nghiệm yếu dưới của phương 
trình (1).
Định lý 2: Giả sử RR →:ϑ là một hàm liên tục. Khi đó, nếu u là một nghiệm yếu của 
phương trình (1) thì )(:ˆ uu ϑ= là một nghiệm yếu của phương trình (1).
Chứng minh: Trước hết ta giả sửϑ là một hàm trơn với
 0'>ϑ trên .R (6)
Cho )(Ω∈
∞Cφ và giả sử φ−uˆ đạt cực đại địa phương tại một điểm Ω∈0x . Cộng thêm một 
hằng số nếu cần thiết, ta có thể giả sử


≤
=
)()(ˆ
)()(ˆ 00
xxu
xxu
φ
φ
 (7)
với mọi x gần 0x .
Theo (6), hàm 
1: −= ϑσ được xác định và là hàm trơn gần )(ˆ 0xu , với
0'>σ .
Từ (7), ta đưa đến


≤
=
)()(
)()( 00
xxu
xxu
ψ
ψ
 (8)
với mọi x gần 0x và
).(: φσψ =
Vì u là một nghiệm yếu dưới của (1), ta kết luận:



≠∇
≤



∇
−−
,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
02
0
00
ψ
ψ
ψ
ψψ
δ x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
 (9)
hoặc
 ( )



=∇≤∈
≤−−
.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0
ψηη
ψηηδ x
ji xxjiij
 (10)
Mặt khác, φφσψ ∇=∇ )(' tại điểm 0x , do đó 0)( 0 =∇ xφ nếu và chỉ nếu 0)( 0 =∇ xψ . Hệ quả 
là (9) cho ta nếu 0)( 0 ≠∇ xφ , thì
0))('')('(
))('(
))('(
22
2
≤+



∇
−−
jiji
ji
xxxx
xx
ij φφφσφφσφφσ
φφφσ
δ
 tại điểm 
0x
.
Vì 0'>σ , nên ta nhận được sau khi rút gọn:
.0)(
)(
)()(
02
0
00 ≤



∇
−− x
x
xx
ji
ii
xx
xx
ij φφ
φφ
δ
(11)
Tiếp theo ta giả sử 
0)( 0 =∇ xφ . Khi đó (10) đúng với 1, ≤∈ ηη
nR . Khi đó, ta tính được
 ( ) 0))('')('( ≤+−−
jiji xxxxjiij
φφφσφφσηηδ tại điểm 0x .
Vì 0)( 0 =∇ xφ , nên số hạng đi với ''σ bằng không. Do đó, ta thu được
 ( ) .0)( 0 ≤−− xji xxjiij φηηδ (12)
Tương tự, ta thu được các bất đẳng thức ngược lại của (11) và (12) trong trường hợp φ−uˆ 
đạt cực tiểu địa phương tại một điểm Ω∈0x .
Bây giờ, thay vì (6) ta giả sử
0'<ϑ trên .R
Khi đó, 0'<σ trên .R Hoàn toàn tương tự như trên, ta thu được (11) và (12).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng )(:ˆ uu ϑ= là một nghiệm yếu của (1) khi ϑ là một hàm 
trơn và 0'≠ϑ .
Dùng phương pháp xấp xỉ và sử dụng Định lý 1, ta thu được kết quả trên nếu 0'≥ϑ hoặc 
0'≤ϑ trên R .
Tiếp theo ta giả sử ϑ trơn và tồn tại một số hữu hạn các điểm
+∞=<<<<<=∞− +1210 ... mm aaaaa (13)
sao cho
ϑ
 đơn điệu trên các khoảng ),...,0(),( 1 mjaa jj =+ (14)
và
ϑ
 là hằng số trên các khoảng ),...,0(),( mjaa jj =+− γγ (15)
với một 0>γ nào đó.
Giả sử φ−uˆ đạt cực đại địa phương tại một điểm Ω∈0x . Khi đó



+−∈ + 2
,
2
)( 10
γγ
jj aaxu
 với một 
{ }mj ,...,0∈
.
Vì 
ϑ
đơn điệu trên khoảng ),( 1 γγ +− +jj aa và u liên tục, nên ta có thể áp dụng các bước 
trên trong một lân cận của điểm 0x để thu được (11) hoặc (12). Bất đẳng thức ngược lại được 
chứng minh tương tự khi φ−uˆ đạt cực tiểu địa phương.
Cuối cùng, ta giả sử 
ϑ
 chỉ là hàm liên tục. Khi đó ta xây dựng một dãy các hàm trơn { }∞=1kkϑ 
mà mỗi hàm của dãy thỏa mãn giả thiết (13)-(15) và ϑϑ →k đều địa phương trên 
nR . Do đó
)(ˆ)(:ˆ uuuu kk ϑϑ =→= .
Khi đó Định lý 1 khẳng định uˆ là một nghiệm yếu của phương trình (1).
3. KẾT LUẬN
Kết quả của bài báo đã đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm yếu cho phương 
trình tập mức mặt cực tiểu. Công cụ chính trong quá trình tiếp cận là phương pháp xấp xỉ, quá 
trình này cũng đã được sử dụng để thu được một nghiệm yếu cho phương trình như trong [4]. 
Trong khuôn khổ của bài báo, chúng tôi đưa ra hai tính chất quan trọng của nghiệm yếu, 
nhằm từng bước đi đến kết luận về tính duy nhất nghiệm của bài toán biên. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] L. C. Evans, and J. Spruck, Motion of level set by mean curvature I, J. Diff. Geom., 
33(1991), 635-681.
[2] D. Gilbarg, and N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, 
2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1983.
[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second 
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal., 101(1988), 1-27.
[4] Nguyễn Chánh Định, Sự tồn tại một nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực 
tiểu, Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, số 15+16/2006.
[5] Ch. -D. Nguyen, and R. H. W. Hoppe, Amorphous surface growth via a level set 
approach, J. Nonlinear Analysis & Applications (accepted).