Một số phương pháp tính thể tích các khối đa diện

Một số phương pháp tính thể tích các khối đa diện.
I. Tính trực tiếp.
Chú ý: Khi tính thể tích các khối đa diện theo phương pháp này ta cần tính đường cao của khối đa diện.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.	 (Khối A – 09)
Hướng dẫn: 
Gọi H là hình chiếu của I lên BC, từ giả thiết ta có SI vuông góc với (ABCD). 
Góc giữa (SBC) và(ABCD) là góc bằng 600. Ta dễ tính được IC = a; IB = BC = a. SABCD = 3a2. SIBC = SABCD - SABI – SCDI = . Nên IH = 
Từ đó 
VS.ABCD = 1/3.SABCD.SI = 
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a. Góc giữa đường thẳng BB’ và (ABC) bằng 600. Tam giác ABC vuông tại C, = 600. Hình chiếu của B’ lên (ABC) trùng trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của khối đa diện A’ABC theo a.
 (B – 2009) 
HD: Gọi M là trung điểm của AC, H là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
BH = a/2 BM = , B’H = . Đặt BC = x, thì CM = AC = 
Sử dụng BM2 = BC2 + CM2 ta tính được x2 = 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a, SA vuông góc với đáy. GÓc giữa (SAB) và (SBC) bằng 600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Chứng minh AK HK và tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD: CM AK (SBC) AK HK.
SABC = , AK = AH.sin600. Tính SA = V = 
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, khoảng cách giữa tâm O của tam giác ABC đến (A’BC) bằng a/6. Tính thể tích của khối lăng trụ đều. 
HD: Đặt AA’ = x, sử dụng tam giác đồng dạng : ta tính được x = 
2. Sử dụng công thức tỉ số thể tích.
 Trong phương pháp này ta sử dụng tính chất:
Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2aA’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính VIABC.
 (D – 2009)
HD: Sử dụng tỉ số: 
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ,, AB = a, AC = 2a, AD = 3a. Tính VABCD.
HD: 
Chọn M, N lần lượt là các điểm trên AC, AD sao cho AM = An = a. Ta có:
BM = 1/2AC = a; BN = .
MN2 = AM2 + AN2 – 2AM.AN.costam giác BMN vuông tại B. Vì AB = AM = AN nên hình chiếu của A lên (BMN) trùng trọng tâm tam giác BMN là trung điểm H của MN.
Ta tính được VABMN = 
Ta lại có: 
 VABCD = 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với cạnh đáy góc 600. Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần. tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
HD: 
.
Từ đó ta có: = 
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, K là điểm thuộc CC’ sao cho CK = 2a/3, mặt phẳng (α) qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần.
HD: Tỉ số: 1/2.
Bài tập: 
3. Ứng dụng thể tích tính khoảng cách.
Bµi 1: SABC cã SA = 3a, SA (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o
TÝnh D(A,(SBC)).
Gi¶i
S∆ABC = AB.BC.sin120o = = a3
SSABC = S∆ABC .SA= = a3
KÎ 	SM BC
BC SA (v× SA (ABC))
⇒BC AM ⇒ AM = a
∆SAM vu«ng t¹i A cã SM = 2a
S∆SBC = SM.BC = 2a2
d(A, (SBC)) 
Ví dụ 2: