một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2x + cos2x = 1
1) Phương pháp:
G.NTH 1 1. Các kiến thức cần nắm 1.1. Các hệ thức cơ bản + 1sincos 22 =α+α + 1 + tg2α = )k 2 ( cos 1 2 pi+ pi ≠α α + tgα . cotgα = 1 (α ≠ 2 kpi ) + 1 + cotg2α = )k( sin 1 2 pi≠αα 1.2. Công thức cộng góc + cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ + tg (α ± β) = )k 2 ;( tgtg1 tgtg pi+ pi ≠βαβα β±α + cotg(α ± β) = β±α βα gcotgcot 1gcot.gcot )k;( pi≠βα 1.3. Công thức nhân + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α + tg2α = ) 2 k 4 ( tg1 tg2 2 pi + pi ≠α α− α + cotg2α = ) 2 k( gcot2 1gcot 2 pi ≠α α −α + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα + tg3α = 3 k 6 ( tg31 tgtg3 3 3 pi + pi ≠α α− α−α ) 1.4. Công thức hạ bậc + cos2α = 2 2cos1 α+ + sin2α = 2 2cos1 α− + tg2α = α+ α− 2cos1 2cos1 )k 2 ( pi+pi≠α 1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích: + cosα + cosβ = 2cos 2 cos 2 β−αβ+α + cosα - cosβ = - 2sin 22 βαβα sin+ + sinα + sinβ = 2sin 22 βαβα cos+ + sinα - sinβ = = - 2cos 2 sin 2 β−αβ+α www.VNMATH.com G.NTH 2 + tgα ± tgβ = βα β±α cos.cos )sin( )k 2 ;( pi+pi≠βα 1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: + cosα.cosβ = )]cos()[cos( 2 1 β−α+β+α + sinα.sinβ = )]cos()[cos( 2 1 β+α+β−α + sinα.cosβ = )]sin()[sin( 2 1 β−α+β+α Biểu thức đại số Biểu thức lượng giáctương tự Công thức lượng giác 1 + x2 1 + tan2t 1+tan2t = tcos 1 2 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x1 x2 − t t 2tan1 tan2 − t t 2tan1 tan2 − = tan2t 2x1 x2 + t t 2tan1 tan2 + t t 2tan1 tan2 + = sin2t xy1 yx − + tantan1 tantan − + tantan1 tantan − + = tan(α+β) x2 - 1 1 cos 1 2 −α 1 cos 1 2 −α = tan2α ... .... ...... một số phương pháp lượng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2 + cos2 = 1 1) Phương pháp: a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt α= α= cosy sinx với α ∈ [0, 2pi] b) Nếu thấy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt = = cos sin ry rx với α ∈ [0, 2pi] 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chứng minh rằng: ≤− 2 a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 www.VNMATH.com G.NTH 3 Giải: Đặt = = ub ua cos sin và = = vcosd vsinc ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) ⇔ 2)dc(b)dc(aS2]2,2[ 4 )vu(sin2S ≤−++=≤−⇒−∈ pi −+= (đpcm) VD2: Cho a2 + b2 = 1. Chứng minh rằng: 2 25 b 1b a 1 a 2 2 2 2 2 2 ≥ ++ + Giải: Đặt a = cosα và b = sinα với 0 ≤ α ≤ 2pi. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin cos 1 cos b 1b a 1 a α +α+ α +α= ++ + = cos4α + sin4α + 4 sin.cos sincos sincos4 sin 1 cos 1 44 44 44 44 +αα α+α +α+α=+ α + α = ( ) 4 sin.cos 11sincos 44 44 + αα +α+α = ( )[ ] 4 sin.cos 11sincos2sincos 44 2222 + αα +αα−α+α = 2 254 2 174)161( 2 114 2sin 1612sin 2 11 4 2 =+=++ −≥+ α + α− (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng: A = 2334b)324(a)321(2ab32ba 22 ≤−+−++−+− Giải: Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1 Đặt αα+α−α=⇒ α+= α+= ⇒ α=− α=− cossin32cossinA cos2b sin1a cos2b sin1a 22 A 2) 6 2sin(22cos 2 12sin 2 322cos2sin3 ≤pi−α=α−α=α−α= (đpcm) VD4: Cho a, b thoả mãn : 712b5a ++ = 13 www.VNMATH.com G.NTH 4 Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Giải: Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1 Đặt α=+ α=− cosR1b sinR1a với R ≥ 0 ⇔ 222 R)1b()1a( 1cosRb 1sinRa =++−⇔ −α= +α= Ta có: 137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5 =+−α++α⇔=++ ⇔ R 13 5 arccossinRcos 13 12 sin 13 5R113cosR12sinR5 ≤ +α=α+α=⇔=α+α Từ đó ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (đpcm) II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị 1|cos|;1|sin| ≤α≤α 1. Phương pháp: a) Nếu thấy |x| ≤ 1 thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x khi x khi = ∈ − = ∈ b) Nếu thấy |x| ≤ m ( 0m ≥ ) thì đặt [ ] sin ; 2 2 cos 0; x m khi x m khi = ∈ − = ∈ 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p+ (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Giải: Đặt x = cosα với α ∈ [0, pi], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p = p22pp2p2p p 2 p 2 2 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2 sin2 2 cos2 = α + α≤ α + α = α + α (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: 2 2313 2 23 22 +≤−+≤− xxx Giải: Từ đk 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nên Đặt x = cosα với 0 ≤ α ≤ pi ⇒ 21 x− = sinα. Khi đó ta có: P= 2sin)2cos1(3sincos2cos321232 222 ++=+=−+ xxx www.VNMATH.com G.NTH 5 = 3 3 2sin232sin 2 12cos 2 32 + pi +α=+ α+α 2323 +≤≤−⇒ A (đpcm) VD3: Chứng minh rằng: [ ] )(a)a()a(a 122221111 2332 −+≤−−+−+ Giải: Từ đk |a| ≤ 1 nên Đặt a=cosα với α∈[0,pi] ⇒ α=−α=+α=− sina1; 2 cos2a1; 2 sin2a1 2 (1)⇔ 2 cos 2 sin2222 2 sin 2 cos22. 2 cos 2 sin21 33 αα+≤ α − ααα + ⇔ 2 cos 2 sin1 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 αα+≤ α + αα + α α − α α + α ⇔ 1cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 22 ≤α=α−α= α − α α + α đúng ⇒ (đpcm) VD4: Chứng minh rằng: S = ( ) ( ) 21314 2332 ≤−−+−− aaa)a( Giải: Từ đk |a| ≤ 1 nên: Đặt a = cosα với α ∈ [0, pi] ⇒ 2a1− = sinα. Khi đó biến đổi S ta có: S= )cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4 3333 α−α+α−α=α−α+α−α = 2 4 3sin23cos3sin ≤ pi +α=α+α ⇒ (đpcm) VD5: Chứng minh rằng A = ( ) 211311 2222 ≤−−−+−+− )b)(a(ababba Giải: Từ điều kiện: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nên. Đặt a = sinα, b = sin β với α, β ∈ pipi − 2 ; 2 Khi đó A = )cos(3sincoscossin β+α−βα+βα = = 2 3 )(sin2)cos( 2 3)sin( 2 12)cos(3)sin( ≤ pi −β+α=β+α−β+α=β+α−β+α (đpcm) VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] www.VNMATH.com G.NTH 6 Giải: Do a ∈ [1, 3] nên |a-2| ≤ 1 nên ta đặt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta có: A = 13342624522424 323 ≤α=α−α=−α++α+−α+ coscoscos)cos()cos()cos( (đpcm) VD7: Chứng minh rằng: A = 22 3 3 2 [0, 2]a a a a− − + ≤ ∀ ∈ Giải: Do a ∈ [0, 2] nên |a-1| ≤ 1 nên ta đặt a - 1 = cosα với α ∈ [0, pi]. Ta có: A = α−α−=+α+−α−−α+ coscos)cos()cos()cos( 31313112 22 = 2 3 sin2cos 2 3 sin 2 12cos3sin ≤ pi +α= α−α=α−α (đpcm) III. Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg2 = 1 cos 1 tg cos 1 2 2 2 −α =α⇔ α )k( pi+pi≠α 2 1) Phương pháp: a) Nếu |x| ≥ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức 1x2 − thì đặt x = αcos 1 với α∈ pi pi∪ pi 2 3 , 2 ;0 b) Nếu |x| ≥ m hoặc bài toán có chứa biểu thức 22 mx − thì đặt x = αcos m với α∈ pi pi∪ pi 2 3 , 2 ;0 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng A = 2 1 3 2 1a a a − + ≤ ∀ ≥ Giải: Do |a| ≥ 1 nên : Đặt a = αcos 1 với α∈ pi pi∪ pi 2 3 , 2 ;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 3 sin2cos3sincos)3tg( a 31a2 ≤ pi +α=α+α=α+α= +− (đpcm) VD2: Chứng minh rằng: - 4 ≤ A = 2 2 a 1a125 −− ≤ 9 1a∀ ≥ Giải: www.VNMATH.com G.NTH 7 Do |a| ≥ 1 nên: Đặt a = αcos 1 với α∈ pi pi∪ pi 2 3 , 2 ;0 ⇒ α=α=− tgtg1a 22 . Khi đó: A = 2 2 a 1a125 −− = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= α−α+ 2sin6 2 )2cos1(5 = +α+= α−α+ 13 5 arccos2cos 2 13 2 52sin 13 122cos 13 5 2 13 2 5 ⇒ - 4 = 91. 2 13 2 5 13 5 arccos2cos 2 13 2 5A)1( 2 13 2 5 =+≤ +α+=≤−+ (đpcm) VD3: Chứng minh rằng: A = ab 1b1a 22 −+− ≤ 1 ; 1a b∀ ≥ Giải: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên . Đặt a = αcos 1 ; b = βcos 1 với α∈ pi pi∪ pi 2 3 , 2 ;0 . Khi đó ta có: A = 1)sin(cossincossincoscos)tgtg( ≤β+α=αβ+βα=βαβ+α (đpcm) VD4: Chứng minh rằng: a + 22 1a a 2 ≥ − 1a∀ > Giải: Do |a| > 1 nên: Đặt a = αcos 1 với α∈ α = αα = − ⇒ pi sin 1 tg 1 . cos 1 1a a 2 ;0 22 . Khi đó: a+ 22 2sin 22 sin 1 . cos 1 .2 sin 1 cos 1 1a a 2 ≥ α = αα ≥ α + α = − (đpcm) VD5: Chứng minh rằng 26xy31y41xy 22 ≤+−+− ; 1x y∀ ≥ Giải: Bất đẳng thức ⇔ )(yy y xx x 12631411 22 ≤ + − + − Do |x|; |y| ≥ 1 nên Đặt x = αcos 1 ; y= βcos 1 với α, β∈ pi 2 ,0 . www.VNMATH.com G.NTH 8 Khi đó: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta có: S ≤ sinα + cosα α+α=β+β+ cos5sin)cos)(sin34( 2222 ≤ 2 2 2 2(1 5 )(sin cos ) 26 + + = ⇒ (đpcm) IV. Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg2 = α2cos 1 1. Phương pháp: a) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tgα với α ∈ pipi − 2 , 2 b) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtgα với α ∈ pipi − 2 , 2 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Chứng minh rằng: S = 1 1 4 1 3 32 3 2 ≤ + − + )x( x x x Giải: Đặt x = tgα với α ∈ pipi − 2 , 2 ⇒ α =+ cosx 11 2 , khi đó biến đổi S ta có: S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (đpcm) VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 22 42 )a21( a12a83 + ++ Giải: Đặt a 2 = tgα với α pipi −∈ 22 , thì ta có: A = 22 42 )tg1( tg3tg43 α+ α+α+ = αα−α+α= α+α α+αα+α 22222 222 4224 cossin2)cos(sin3)sin(cos sin3cossin4cos3 = 3 - 3 2 02 2 2sin3A 2 13 2 5 2 2sin 22 =−≤α−=≤−=⇒α Với α = 0 ⇒ a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α = 4 pi ⇒ a = 2 1 thì MinA = 2 5 VD3: Chứng minh rằng: 2 1 )b1)(a1( )ab1)(ba( 22 ≤++ −+ ∀ a, b ∈ R Giải: www.VNMATH.com G.NTH 9 Đặt a = tgα, b = tgβ. Khi đó )tg)(tg( )tgtg)(tgtg( )b)(a( )ab)(ba( β+α+ βα−β+α = ++ −+ 2222 11 1 11 1 = βα βα−βα βα β+αβα cos.cos sin.sincos.cos . cos.cos )sin( .coscos 22 = [ ] 2 12 2 1 ≤β+α=β+αβ+α )(sin)cos()sin( (đpcm) VD4: Chứng minh rằng: c,b,a )a1)(c1( |ac| )c1)(b1( |cb| )b1)(a1( |ba| 222222 ∀ ++ −≥ ++ − + ++ − Giải: Đặt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi đó bất đẳng thức ⇔ ⇔ )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| )tg1)(tg1( |tgtg| 222222 α+γ+ α−γ≥ γ+β+ γ−β + β+α+ β−α ⇔ αγ α−γ αγ≥ γβ γ−βγβ+βα β−αβα cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos cos.cos )sin( .coscos ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. Biến đổi biểu thức vế phải ta có: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (đpcm) VD5: Chứng minh rằng: 0d,c,b,a)1()db)(ca(cdab >∀++≤+ Giải: (1) ⇔ 1 d b1 a c1 ab cd d b1 a c1 11)db)(ca( cd )db)(ca( ab ≤ + + + + + ⇔≤ ++ + ++ Đặt tg2α= a c , tg2β= b d với α,β ∈ pi 2 ,0 ⇒ Biến đổi bất đẳng thức ⇔ 1sinsincoscos )tg1)(tg1( tg.tg )tg1)(tg1( 1 2222 22 22 22 ≤βα+βα= β+α+ βα + β+α+ ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 đúng ⇒ (đpcm) Dấu bằng xảy ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔ b d a c = VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 1a |1a|4a6 2 2 + −+ www.VNMATH.com G.NTH 10 Giải: Đặt a = tg 2 α . Khi đó A = 1 2 tg 1 2 tg .4 2 tg1 2 tg2 .3 1 2 tg |1 2 tg|4 2 tg6 2 2 22 2 + α − α + α + α = + α − α + α A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có: A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5 Với sinα = 1 ⇔ a = 1 thì MinA = - 3 ; với 4 |cos| 3 sin α = α thì MaxA = 5 V. Dạng 5: Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác 1) Phương pháp: a) Nếu =+++ > 12 0 222 xyzzyx z;y;x thì === pi ∈ ∆∃ Ccosz;Bcosy;Acosx ) 2 ;0(C;B;A :ABC b) Nếu =++ > xyzzyx z;y;x 0 thì === pi ∈ ∆∃ tgCz;tgBy;tgAx ) 2 ;0(C;B;A :ABC c) Nếu =++ > 1zxyzxy 0z,y;x thì === pi∈ === pi ∈ ∆∃ 2 C tgz; 2 B tgy; 2 A tgx );0(C;B;A gCcotz;gBcoty;gAcotx ) 2 ;0(C;B;A :ABC 2. Các ví dụ minh hoạ: VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. S = )zyx(3 z 1 y 1 x 1 ++−++ Giải: Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg 2 α ; y = tg 2 β ; z = tg 2 γ với α, β, γ ∈ pi 2 ,0 Do xy + yz + zx = 1 nên tg 2 α tg 2 β + tg 2 β tg 2 γ + tg 2 γ tg 2 α = 1 www.VNMATH.com G.NTH 11 ⇔ tg 2 α γ + β 2 tg 2 tg = 1 - 2 tg β tg 2 γ ⇔ 2 gcot 22 tg 2 tg 1 2 tg 2 tg1 2 tg 2 tg α = γ + β ⇔ α =γβ − γ + β ⇔ pi=γ+β+α⇔pi=γ+β+α⇔α−pi=γ+β⇔ α + pi = γ + β 2222222222 tgtg S = )zyx(3 z 1 y 1 x 1 ++−++ = cotg 2 α + cotg 2 β + cotg 2 γ -3 γ + β + α 2 tg 2 tg 2 tg S = γ + β + α − γ − γ + β − β + α − α 222 2 222222 tgtgtgtggcottggcottggcot S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - γ + β + α 222 2 tgtgtg S = (cotgα+cotgβ-2tg 2 γ ) + (cotgβ+cotgγ-2tg 2 α ) +(cotgα+cotgβ-2tg 2 β ) Để ý rằng: cotgα + cotgβ = )cos()cos( sin sin.sin sin sin.sin )sin( β+α−β−α γ =βα γ =βα β+α 2 2 2 ≥ 0 2 tg2gcotgcot 2 tg2 2 cos2 2 cos 2 sin4 cos1 sin2 )cos(1 sin2 2 ≥γ−β+α⇒γ=γ γγ = γ+ γ =β+α− γ T đó suy ra S ≥ 0. Với x = y = z = 3 1 thì MinS = 0 VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và )z1)(y1()x1( xyz4 z1 z y1 y x1 x 222222 −−− = − + − + − Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2 Giải: Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg 2 α ; y = tg 2 β ; z = tg 2 γ với α, β, γ ∈ pi 2 ,0 Khi đó tgα = 2x1 x2 − ; tgβ = 2y1 y2 − ; tgγ = 2z1 z2 − và đẳng thức ở giả thiết ⇔ 2x1 x2 − + 2y1 y2 − + 2z1 z2 − = )z1)(y1()x1( xyz8 222 −−− ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ www.VNMATH.com G.NTH 12 ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ βα− β+α tg.tg1 tgtg = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) Do α, β, γ ∈ pi 2 ,0 nên α + β = pi - γ ⇔ α + β + γ = pi. Khi đó ta có: tg 2 α tg 2 β + tg 2 β tg 2 γ + tg 2 γ tg 2 α = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. Mặt khác: (x2+ y2 + z2) - (xy + yz + zx) = 2 1 [ ] 0)xz()zy()yx( 222 ≥−+−+− ⇒ S = x2+ y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Với x = y = z = 3 1 thì MinS = 1 VD3: Cho =++ > 1zyx 0z,y,x . Chứng minh rằng: S = 4 9 xyz z zxy y yzx x ≤ + + + + + Giải: Đặt 2 tg x yz α = ; 2 tg y xz β = ; 2 tg z xy γ = với α, β, γ ∈ pi 2 ,0 Do x yz . z xy . z xy . y zx y zx . x yz ++ = x + y + z = 1 nên tg 2 α tg 2 β + tg 2 β tg 2 γ + tg 2 γ tg 2 α = 1 ⇔ tg γ + β 22 = cotg 2 α ⇔ tg γ + β 22 = tg α − pi 22 ⇔ 2 β + 2 γ = 2 pi - 2 α ⇔ pi=γ+β+α⇔pi=γ+β+α 22 S = 2 31 xyz z21 zxy y21 yzx x2 2 1 xyz z zxy y yzx x + − + + − + + − + = + + + + + = 2 3 z xy1 z xy1 y zx1 y zx1 x yz1 x yz1 2 1 2 3 xyz xyz zxy zxy yzx yzx 2 1 + + − + + − + + − =+ + − + + − + − − = 2 1 (cos + cosβ + cosγ) + 2 3 = ( )[ ] 2 31 2 1 +β+α−βα−β+α )sinsincos(cos.coscos www.VNMATH.com G.NTH 13 ≤ ( ) 4 9 2 3 4 3 2 3 coscos)sin(sin 2 1)1cos(cos 2 1 2 1 222 =+=+ βα−β+α++β+α (đpcm) 3. Các bài toán đưa ra trắc nghiệm Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trường tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trước trong thời gian 2 tuần. Với các bài tập sau: Bài 1:Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13. Bài 2:Cho (a-2)2+ (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10. Bài 3:Cho =+ ≥ 2ba 0b;a CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 Bài 4:Cho a; b ; c ≥ 1 CMR: − − −≥ − − − c 1 c b 1b a 1 a a 1 c c 1b b 1 a Bài 5:Cho =+++ > 1xyz2zyx 0z;y;x 222 CMR: a) xyz ≤ 8 1 b) xy + yz + zx ≤ 4 3 c) x2 + y2 + z2 ≥ 4 3 d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + 2 1 e) 3 z1 z1 y1 y1 x1 x1 ≥ + − + + − + + − Bài 6:CMR: ab1 2 b1 1 a1 1 22 + ≤ + + + ∀ a, b ∈ (0, 1] Bài 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0 Bài 8:Cho 2 33 z1 z y1 y x1 x :CMR 1zxyzxy 0z,y,x 222 ≥ − + − + − =++ > Bài 9:Cho 2 3 z1 z y1 y x1 x :CMR xyzzyx 0z,y,x 222 ≤ + + + + + =++ > www.VNMATH.com G.NTH 14 Bài 10: Cho 222222 z1 z2 y1 y2 x1 x2 z1 1 y1 1 x1 1 :CMR 1zxyzxy 0z,y,x + + + + + ≥ + + + + + =++ > www.VNMATH.com
Tài liệu đính kèm: