Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
	 Lê Hồ Quý
	 (GV. THPT Duy Tân - Kon Tum)
Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức là một trong những chuyên đề khó của chương trình toán THPT, bởi phạm vi nghiên cứu về vấn đề này rất rộng. Để giải được bài toán về loại này, đòi hỏi người học không những phải nắm vững lý thuyết, mà còn phải biết cách sử dụng các phép biến đổi, bất đẳng thức phụ, linh hoạt và sáng tạo. Trong phạm vi bài viết, chúng tôi muốn chia sẻ cùng các em học sinh thân yêu, chia sẻ cùng các bậc thầy cô giáo đáng kính các kinh nghiệm tích góp được trong quá trình giảng dạy và luyện thi vào Đại học.
§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số.
Ta có: 
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:
1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
J Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :
2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm :
III. BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI
1. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số:
2. Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai bộ n số:
IV. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
V. BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC:
VI. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC:
§2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Dạng 1. Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá thích hợp
	§Ó chøng minh A ≥ B, ta sÏ chøng minh A-B ≥ 0 (nghÜa lµ ta sö dông ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt c¬ b¶n,... ®Ó biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh ®Õn bÊt ®¼ng thøc ®óng hay mét tÝnh chÊt ®óng hoÆc cã thÓ sö dông bÊt ®¼ng thøc ®óng biÕn ®æi dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh).
VÝ dô 1: Cho ba sè a, b, c bÊt k×. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc:
	a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1)
	b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (2)
	(§HQG TP. HCM -1998)
Lêi gi¶i.
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1)
víi mäi a, b, c, d, e.
	(§H Y d­îc TP. HCM-1999)
Lêi gi¶i.
	 (§HTH TP.HCM -1993)
Lêi gi¶i.
 (2)
trong ®ã a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c.
	(T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 5/2004)
Lêi gi¶i.
 (1)
 (2)
@ Bài tập tự luyện:
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên của trường Trần Đại Nghĩa TP. HCM năm 2004 )
(Đề 148 - Bộ đề tuyển sinh)
	(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/1995)
	(Học viện Quan hệ Quốc tế năm 1997)
Bài 5: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng:
	abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
	(Đề 2 - Bộ đề tuyển sinh)
Dạng 2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
J Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc
(ĐH Y dược Tp. HCM-1999)
Lời giải.
(1)
(2)
(3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3) ta có đpcm.
	(Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ-Năm 2005)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có:
(1)
Tương tự ta có: 
(2)
(3)
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
	(ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001)
Lời giải.
	(ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997)
Lời giải.
	(ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:
(1)
(2)
(3)
Nhân các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được:
	(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 6/2003)
Lời giải.
(1)
(2)
Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Lời giải.
	(ĐH Thủy lợi – Năm 1997)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có:
(1)
(2)
(3)
(4)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm.
	(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 1/1996)
Lời giải.
Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x)
Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2
	(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 8/1996)
Lời giải.
(1)
(2)
(3)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta có đpcm.
J Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc
	(§Ò dù bÞ Khèi D-N¨m 2005)
Lêi gi¶i.
	(§H, C§ Khèi D-N¨m 2005)
Lêi gi¶i.
¸p dông B§T Cauchy cho ba sè d­¬ng, ta cã:
(1)
T­¬ng tù, ta cã:
(2)
(3)
MÆt kh¸c, ta cã:
(4)
Céng c¸c vÕ t­¬ng øng cña (1), (2), (3) vµ (4) ta cã ®pcm.
	(§Ò dù bÞ Khèi A - N¨m 2005)
Lêi gi¶i.
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng víi mäi x, y, z d­¬ng vµ x + y + z = 1 th×
	(ĐH Tây Nguyên Khối A, B-Năm 2000)
Lời giải.
(1)
(2)
Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta được:
 2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz
(3)
Mặt khác, ta có:
 xyz(xy + yz + zx) > 0
(4)
Cộng các vế tương ứng của (3) và (4), ta được:
	(§H, C§ Khèi A - N¨m 2005)
Lêi gi¶i.
(1)
T­¬ng tù:
(2)
(3)
(1)
(2)
	(§H Hµng h¶i Tp. HCM - N¨m 1999)
Lời giải.
@ Bµi tËp tù luyÖn:
	(§HDL H¶i Phßng Khèi A - N¨m 2000)
	(§HDL Ph­¬ng §«ng Khèi A - N¨m 2000)
	(Häc viÖn Ng©n hµng Khèi A - N¨m 2001)
	(§HQG Hµ Néi Khèi A - N¨m 2000)
	(§Ò Dù bÞ Khèi A-N¨m 2005)
	(§Ò Dù bÞ 1 Khèi B-N¨m 2005)
	(§Ò Dù bÞ 2 Khèi B-N¨m 2005)
(§Ò Dù bÞ 2 Khèi A-N¨m 2006)
Dạng 3. Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpski
J Trường hợp 1: Các biến không bị ràng buộc
	(ĐH An ninh – Năm 1999)
Lời giải.
(1)
(2)
Céng c¸c vÕ t­¬ng øng cña (1) vµ (2), ta cã ®pcm.
	(T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ 11/2004)
Lêi gi¶i.
(1)
T­¬ng tù, ta cã:
(2)
(3)
Céng c¸c vÕ t­¬ng øng cña (1), (2) vµ (3), ta ®­îc:
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = c.
Lêi gi¶i.
J Trường hợp 2: Các biến bị ràng buộc
	(§HQG Hµ Néi Khèi D - N¨m 2000)
Lêi gi¶i.
(1)
Theo B§T Bu-nhia-cèpski, ta cã:
(2)
T­¬ng tù, ta cã:
(3)
(4)
Céng tõng vÕ cña (2), (3) vµ (4) ®i tíi:
(§H, C§ Khèi A - N¨m 2003)
Lêi gi¶i.
(1)
T­¬ng tù, ta cã:
(2)
(3)
Céng (1), (2) vµ (3) theo vÕ, ta cã:
J Chó ý: Bµi to¸n nµy ta cã thÓ gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p täa ®é, sÏ tr×nh bµy ë phÇn sau.
J BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c:
	(Häc viÖn Kü thuËt Qu©n sù - N¨m 1997)
Lêi gi¶i.
(1)
(2)
J Chó ý: Ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n nµy b»ng c¸ch sö dông B§T Cauchy hoÆc dïng ph­¬ng ph¸p ®¹o hµm kÕt hîp víi B§T Jensen.
@ Bµi tËp tù luyÖn:
Dạng 3. Phương pháp dùng dấu của tam thức bậc hai
DÊu cña biÖt thøc D
DÊu cña f(x)
D < 0
D = 0
D > 0
Ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 cã hai nghiÖm x1 < x2
Tãm l¹i, viÖc sö dông c¸c ®Þnh lý thuËn vµ ®¶o cña tam thøc bËc hai, xö lý ®iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm cña biÖt thøc D,  tá ra tiÖn lîi khi chøng minh mét bÊt ®¼ng thøc mµ nã ®· ®­îc nhËn d¹ng.
ë ®©y nh¾c l¹i c¸c tÝnh chÊt sau ®Ó tiÖn sö dông:
 (§Ò 15/II - Bé ®Ò tuyÓn sinh)
(1)
Lêi gi¶i.
(2)
Lêi gi¶i.
Xem vÕ tr¸i cña bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh lµ mét tam thøc bËc hai cña x, cßn y, z lµ nh÷ng tham sè, ta ®­îc mét bÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai mµ x lµ Èn sè:
f(x, y, z) = 5x2 + 2(3y - 4z)x + 5y2 + 5z2 - 8yz > 0
(1)
Lêi gi¶i.
Lêi gi¶i. 
Xem hai ®¼ng thøc ®· cho lµ mét hÖ hai ph­¬ng tr×nh mµ b, c lµ hai Èn sè, a lµ tham sè. HÖ ph­¬ng tr×nh nµy cã nghiÖm. Tõ ®ã ta t×m ®­îc tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a.
	Tõ gi¶ thiÕt, ta suy ra:
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
 = 2 + 2 = 4
@ Bµi tËp tù luyÖn:
D¹ng 4. Ph­¬ng ph¸p ®¹o hµm
I. KiÕn thøc cÇn nhí:
1. §Þnh lý Lagrange: NÕu hµm sè y=f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] vµ cã ®¹o hµm trªn kho¶ng (a; b) th× tån t¹i mét ®iÓm sao cho:
2. TÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè:
J Chó ý: Trong dÊu hiÖu ®¬n ®iÖu, nÕu thªm gi¶ thiÕt f(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] th× kÕt luËn m¹nh h¬n: f(x) ®ång biÕn (hay nghÞch biÕn) trªn ®o¹n [a; b].
3. Cùc trÞ cña hµm sè:
II. VÝ dô minh häa:
	(§HSP Quy Nh¬n - N¨m 1999)
Lêi gi¶i.
J Chó ý: 1) Víi bµi to¸n nµy, ta còng cã thÓ xÐt hµm sè trªn nöa kho¶ng, víi chó ý r»ng g(0) = 1.
2) NÕu kh«ng sö dông tÝnh liªn tôc cña hµm sè, ta chØ cã thÓ kÕt luËn hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng . Khi ®ã ch­a thÓ cã bÊt ®¼ng thøc f(x) > f(0) víi x > 0.
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d­¬ng n ≥ 3 ta ®Òu cã:
	nn+1 > (n+1)n.
	(ĐH An ninh Khối A - Năm 2000)
Lêi gi¶i.
 nn+1 > (n+1)n
(1)
(2)
	(§H Y d­îc Tp. HCM - N¨m 1993)
Lêi gi¶i.
	(§H §µ N½ng - N¨m 2001)
Lêi gi¶i.
x
 0 1
f’(x)
 + 0 -
f(x)
0 0
(1)
T­¬ng tù, ta cã: 
(2)
(3)
@ Bµi tËp tù luyÖn:
	(§H KiÕn tróc Hµ Néi - N¨m 2000)
Bµi 2: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c cã chu vi b»ng 3 th×:
	3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13.
	(§HSP Vinh Khèi A, B - N¨m 2001)
Bµi 3: Cho c¸c sè x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x3 + y3 = 2. Chøng minh r»ng x2 + y2 ≤ 2.
	(§H Ngo¹i th­¬ng - N¨m 1995)
	(§HQG Hµ Néi - N¨m 2001)
	(Häc viÖn C«ng nghÖ BCVT - N¨m 2001)
D¹ng 5. Ph­¬ng ph¸p täa ®é
I. KiÕn thøc cÇn nhí:
	Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy hay trong kh«ng gian Oxyz, ta chän täa ®é c¸c vect¬ (hay täa ®é cña ®iÓm) sao cho thÝch hîp víi ®Ò ®· cho råi ¸p dông c«ng thøc sau ®©y:
II. VÍ DỤ MINH HỌA:
(§H, C§ Khèi A - N¨m 2003)
Lêi gi¶i.
	(§HQG Hµ Néi Khèi D - N¨m 2000)
Lêi gi¶i.
	(Học viện Quan hệ Quốc tế - Năm 1997)
Lêi gi¶i.
@ Bµi tËp tù luyÖn:
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I. MỘT VÀI ĐỊNH NGHĨA. Đ ỊNH LÝ:
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
2. Định nghĩa: Giả sử hàm số f(x) xác định trên một tập hợp. Ta nói rằng:
a) Hàm số bị chặn trên trên tập hợp D nếu tồn tại một số M sao cho:
	f(x) ≤ M với 
b) Hàm số bị chặn dưới tập hợp D nếu tồn tại một số m sao cho:
	f(x) ≥ m với 
c) Hàm số bị chặn trên tập hợp D nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới trên D.
Dễ dàng thấy rằng:
Hàm số f(x) (xác định trên tập hợp D) là bị chặn trên D khi và chỉ khi tồn tại một số dương M sao cho
Ta thừa nhận hai tính chất quan trọng của các hàm số liên tục:
3. Định lý 1: Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì bị chặn trên đoạn này.
J Chú ý: Định lý 1 không còn đúng nữa nếu hàm số f(x) có điểm gián đoạn thuộc [a; b] hoặc nếu trong định lý, đoạn [a; b] được thay bằng khoảng (a; b) (hoặc (a; b], hoặc [a; b)).
4. Định lý 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn này, tức là tồn tại ít nhất một điểm sao cho:
	.
và tồn tại ít nhất một điểm sao cho:
Về hai điều kiện nêu trong giả thiết của định lý, ta cũng có chú ý tương tự như chú ý nêu sau định lý 1. 
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ HOẶC MỘT BIỂU THỨC:
Dạng 1. Sử dụng các phép biến đổi và đánh giá thích hợp
	(Đề chuyên Toán Tin – ĐHSP Hà Nội năm 1997-1998)
Lêi gi¶i.
 (1)
 (2) 
Céng c¸c vÕ t­¬ng øng cña (1) vµ (2), ta ®­îc: A ≤ 1. §¼ng thøc x¶y ra khi x=y=1. VËy maxA =1
Ví dụ 2 : Tuỳ theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
	A = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2, với x, y .
(ĐH Giao thông Vận tải Hà Nội – Năm 2000)	
Lời giải.
@ Bµi tËp tù luyÖn:
	(ĐH Kinh tế Quốc dân Khối A – Năm 2000)
	(Học viện Công nghệ BCVT – Năm 1999)
	(ĐH Giao thông Vận tải – Năm Năm 1999)
	(ĐH Bách khoa Hà Nội Khối A – Năm, 2000)
Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 + 2x + 3 trên:
a) D = [-3; 0];	b) E = [0; 3].
Lời giải.
Lời giải.
	(ĐHSP Hà Nội Khối A - Năm 2002)
Lời giải.
@ Bµi tËp tù luyÖn:
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
	f(x) = cos2x + 3sinx + 4.
Bài 2: Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm của phương trình:
	x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - 7 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
	(Đề 5. II2 - Bộ đề tuyển sinh ĐH)
	(Đề 123. III - Bộ đề tuyển sinh ĐH)
Dạng 3. Phương pháp miền giá trị của hàm số
	Cơ sở của phương pháp này là: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một miền D ta tiến hành như sau:
- Tìm điều kiện để phương trình y0= f(x) có nghiệm (với y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số y = f(x) trên miền D).
- Từ điều kiện trên biến đổi dẫn đến dạng y1 ≤ y0 ≤ y2.
- Kết luận: 
J Chú ý: Có trường hợp ta tìm được giá trị lớn nhất nhưng không tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc ngược lại.
	(ĐH Khối A - Năm 2006)
Lời giải.
(1)
Mặt khác, từ giả thiết suy ra: SP = S2 - 3P
(2)
J Nhận xét: 1) Nếu gặp bài toán dạng “ Cho x, y thỏa mãn f(x, y) = 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = g(x, y)”.
Ta thường đưa về:
2) Với bài toán dạng “ Cho các số thực x, y thỏa mãn f(x, y) = g(x, y). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = p(x, y). Trong đó f(x, y) và g(x, y) đều là các biểu thức đẳng cấp đối với x, y”, có thể giải bài toán bằng cách sau:
Với y = 0 ta thử trực tiếp.
Nếu y ≠ 0, đặt x = ty. Thay vào giả thiết f(x, y) = g(x, y), ta sẽ tính được y, x theo t. Biểu diễn A theo t. Từ đó tìm được tập giá trị của A.
	(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)
Lời giải.
@ Bµi tËp tù luyÖn:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
	(ĐHQG Hà Nội Khối B - Năm 1999)
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx - sinx).
	(ĐH Cần Thơ Khối A - Năm 2001)
Dạng 4. Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bu-nhia-Cốpxki
VÝ dô 1: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
(§Ò thi vµo Khèi PTCT - §HKHTN Hµ Néi)
Lời giải.
J Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp đạo hàm, sẽ trình bày ở phần sau.
VÝ dô 2. 
(§Ò §HSP H¶i Phßng - N¨m 2001)
Lời giải.
	(ĐH Ngoại Thương - Năm 1997)
Lời giải.
VÝ dô 4. Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x + y + z ≤ 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :
 (Đề thi đề nghị Olympic Đồng bằng sông Cửu Long. Năm 2003-2004)
Lêi gi¶i.
T­¬ng tù:
	(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 350 - Tháng 8/2006)
Lời giải.
VÝ dô 6. 
 (§Ò Dù bÞ Khèi B - N¨m 2006)
Lêi gi¶i.
VÝ dô 7. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d­¬ng thay ®æi vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn xyz = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
	(§Ò §H khèi A - N¨m 2007)
Lêi gi¶i.
C¸ch 1: ¸p dông B§T Cauchy cho hai sè d­¬ng trªn mçi tö sè, vµ tõ xyz = 1, ta ®­îc :
C¸ch 2: 
( 
 (Do B§T Cauchy)) 
@ Bµi tËp tù luyÖn:
J Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy:
	(§H N«ng nghiÖp I Khèi A - N¨m 2000)
	(T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ sè 316 - Th¸ng 10/2003)
	(T¹p chÝ To¸n häc & Tuæi trÎ sè 341 - Th¸ng 11/2005)
	(§H Má - §Þa chÊt - N¨m 1999)
J Sö dông bÊt ®¼ng thøc Bu - nhia - cèpxki:
Bµi 5: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
	y = 2sin8x + cos42x
	(§H Tµi chÝnh KÕ to¸n Hµ Néi - N¨m 2000)
	(§H Y Hµ Néi - N¨m 2000)
	(§H X©y dùng - N¨m 2001)
Bµi 8: Trong c¸c nghiÖm (x; y) cña bÊt ph­¬ng tr×nh 5x2 + 5y2 - 5x - 15y + 8 ≤ 0, h·y t×m nghiÖm cã tæng x + 3y nhá nhÊt.
	(§H An Ninh Khèi D - N¨m 2001)
Dạng 5. Phương pháp đạo hàm
	Cơ sở của phương pháp này: Chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào điều ấy cùng với các giá trị đặc biệt trên tập xác định của hàm số suy ra kết quả.
VÝ dô 1: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
(§Ò thi vµo Khèi PTCT - §HKHTN Hµ Néi)
Lời giải.
B¶ng biÕn thiªn : 
t
 0 
P’
-
P
VËy 
	(§Ò Dù tr÷ - N¨m 2000)
Lêi gi¶i
B¶ng biÕn thiªn:
x
 0 1 
S’
 - 0 +
 + 0
S
 5
Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña S b»ng 5 khi x = 1.
	(§H, C§ Khèi B - N¨m 2007)
Lêi gi¶i.
B¶ng biÕn thiªn:
x
 0 1 +
f’(t)
 - 0 +
f(t)
+ +
	 (§HSP Hµ Néi Khèi A- N¨m 2001)
Lêi gi¶i
Ta cã b¶ng biÕn thiªn sau:
t
0 1
y’
 + 0 -
y
@ Bµi tËp tù luyÖn:
Bµi 1: Cho c¸c sè x, y thay ®æi tháa m·n ®iÒu kiÖn x ≥ 0, y ≥ 0 vµ x + y = 1. H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 3x + 3y.
	(§H Ngo¹i th­¬ng Khèi D - N¨m 1999)
	(Häc viÖn Quan hÖ Quèc tÕ - N¨m 1999)
	(Häc viÖn Qu©n Y - N¨m 2001)
Bµi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = sin20x + cos20x
	(§H LuËt Hµ Néi - N¨m 1999)
 	(§H D­îc Hµ Néi - N¨m 2001)