Một số đề kiểm tra Toán lớp 12

đề số 2
Bài 4. Cho đa thức P(x) = xn + a1xn - 1 +  + an - 1 x + 1, trong đó n là số nguyên dương và các hệ số ak ≥ 0 (k = 1, , n - 1). Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) có n nghiệm số thực (phân biệt hoặc trùng nhau) và m là số nguyên dương bất kì thì P(m) ≥ (m + 1)n.
Bài 5. Tìm hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên thoả mãn đồng thời hai điều kiện: 
a) 3f(x) - g(x) = f(y) - y với mọi x, y;
b) f(x)g(x) ≥ x + 2 với mọi x. 
Bài 6. Cho n là một số nguyên dương, a và b là hai số thực không đồng thời bằng 0. Đặt Δ = . Chứng minh rằng phương trình x2n + 1 + ax + b = 0 có một nghiệm khi Δ > 0, có hai nghiệm khi Δ = 0, có ba nghiệm khi Δ < 0.
___________________________________
đáp án đề số 2
Bài 4. Do ak ≥ 0 (k = 1, , n - 1) và P(0) = 1 > 0 nên tất cảc các nghiệm của đa thức P(x) đều là số âm. Gọi các nghiệm của P(x) là 
- x1, - x2, , - xn (xk > 0, k = 1, , n).
Theo định lí Viète thì x1x2xn = 1.
Vì hệ số cao nhất của P(x) bằng 1 nên P(x) = (x + x1)(x + x2)(x + xn). Do đó P(m) = (m + x1)(m + x2)(m + xn). 
Ta có m + xk = + xk ≥ (m + 1) với k = 1, 2, , n.
Vì vậy P(m) ≥ (m + 1)n = (m + 1)n.
Bài 5. Thay y = x vào điều kiện thứ nhất ta được 3f(x) - g(x) = f(x) - x. Do đó f(x) = .
	Thay f(x) = vào điều kiện thứ nhất ta được 
g(x) = 3x - 3y + g(y).
	Đặt b = g(0) và thay y = 0 vào đẳng thức trên ta được
g(x) = 3x + b và f(x) = x + .
Theo điều kiện thư hai, ta cần có
f(x)g(x) = (3x + b)(x + ) ≥ x + 2 với mọi x.
Từ đó tính được b = 10.
Vậy hai hàm số cần tìm là f(x) x + 5 và g(x) = 3x + 10.
Bài 6. Đặt f(x) = x2n + 1 + ax + b thì f’(x) = (2n + 1)x2n + a. 
	Nếu a ≥ 0 thì f’(x) ≥ 0 với mọi x nên f(x) đồng biến trên R, f(x) → + ∞ khi x→ + ∞ và f(x) → - ∞ khi x → - ∞ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm. Trong trường hợp này ta có Δ > 0.
	Nếu a < 0 thì f’(x) = 0 khi và chỉ khi x = ±. Đặt α = . Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau: 
x
- ∞ - α α + ∞
f’(x)
 + 0 - 0 +
f(x)
- ∞ f(- α) f(α) + ∞ 
Phương trình f(x) = 0 có một nghiệm, hai nghiệm hay ba nghiệm tuỳ thuộc vào giá trị của f(- α)f(α) là dương, bằng 0 hay âm.
	Ta có f(- α)f(α) = b2 - .
	Do đó f(- α)f(α) > 0 khi và chỉ khi 
b2 > b2n > - Δ > 0.
	Tương tự, f(- α)f(α) < 0 Δ < 0, f(- α)f(α) < 0 Δ = 0.
	Vậy phương trình f(x) = 0 có một nghiệm khi Δ > 0, có hai nghiệm khi Δ = 0, có ba nghiệm khi Δ < 0.
_________________________________________________