Một số bài toán về số chính phương

Nguyến Đức Chung-TH
Một số bài toán về số chính phương
Kiến thức bổ trợ
1. Định nghĩa
Số nguyên a được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của
một số nguyên, tức là 2a b , trong đó b là một số nguyên
2. Một số tính chất
a) Nếu a là số chính phương, p là số nguyên tố, nếu 2a p a p 
Ví dụ: Cho a là một số chính phương
- Nếu a chia hết cho 2 thì a chia hết cho 4
- Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 9
- Nếu a chia hết cho 5 thì a chia hết cho 25
- Nếu a chia hết cho 7 thì a chia hết cho 49
b) Nếu 2a chia hết cho p và p là một số nguyên tố thì a chia hết cho
p
(Tính chất a) và b) suy ra từ tính chất nếu ab chia hết cho p và p
là số nguyên tố thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p)
c) Nếu tích hai số a và b là một số chính phương thì các số a và b có
dạng
2 2,a mp b mq 
d) Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và a.b là một số
chính phương thì a và b đều là các số chính phương (hãy chứng
minh tính chất này)
e) Hai số chính phương 2 2,( 1)a a  được gọi là hai số chính phương
liên tiếp. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính
phương nào
f) Chú ý
 Chữ số tận cùng của một số chính phương chỉ có thể là
một trong các số 0,1,4,5,6,9
  2 2 22a b a ab b   
  2 2 22a b a ab b   
Nguyến Đức Chung-TH
 2 2 ( )( )a b a b a b   
Một số bài tập
1. Chứng minh rằng
a) Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.
b) Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó
không phải là số chính phương.
c) Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là
số chính phương.
d) Nếu a lẻ thì 2a chia 8 dư 1
e) Nếu a là số chính phương thì a chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
(Như vậy một số chia 3 dư 2 thì số đó không phải là số chính
phương, tuy nhiên nếu a chia cho 3 dư 0 hoặc 1 thì chưa khảng
định được a là số chính phương)
f) Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số
chính phương
g) Chứng minh rằng tổng của ba số chính phương liên tiếp không thể là
số chính phương
h) Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải
là số chính phương
i) Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính
phương.
2. Cho ,a b là các số lẻ. Chứng minh rằng 2 2a b không thể là một số
chính phương
3. Chứng minh rằng các số dạng
5 2,5 2,7 1,7 2,7 3n n n n n    
Không thể là số chính phương
4. Chứng minh rằng tổng của các số lẻ đầu tiên là một số chính phương
5. Xác định số nguyên dương nhỏ nhất k sao cho tổng của 19 số nguyên
dương liên tiếp , 1,...., 18k k k  là một số chính phương
6. Có hay không một số chính phương mà tổng các chữ số của nó bằng
2004?
7. Gọi 1 2... np p p p là tích của n số nguyên tố đầu tiên với n là số
nguyên lớn hơn 1. Hỏi 1p  có thể là số chính phương được không?
Nguyến Đức Chung-TH
8. Chứng minh rằng tổng của năm số chính phương liên tiếp khác 0,
không thể là số chính phương
9. Chứng minh rằng số 444...4A  (2003 chữ số 4) không phải là số
chính phương
10.Hãy tìm tất cả các số chính phương có 4 chữ số có dạng A aabb
11. Hãy tìm số chính phương có 4 chữ số, có chữ số tận cùng là 9 và nó
chia hết cho 147
12. Giả sử 2 1,3 1n n  là các số chình phương. Chứng minh rằng 5 3n 
là hợp số
13. Số tự nhiên A gồm 1999 chữ số 1, một chữ số 2 và một chữ số 0. Hỏi
A có thể là số chính phương được không?
14. Chứng minh rằng ! 2003n  không thể là số chính phương với mọi
n
15. Chứng minh rằng các số sau đây là các số chính phương
a) 
2
11...1 22....2
n n
A  
b) 11...155...5 1
n n
B  
c)  
2
11...1 44...4 1
n n
D   
d)  
2 1
11...1 11...1 66....6 8
n n n
E

   
16. Tìm tất cả các số có hai chữ số ab sao cho 2. 1ab  và 3. 1ab  đều là
các số chính phương
17. Số A có 1997 chữ số, trong đó có 1996 chữ số 5 và một chữ số a khác
5. Hỏi A có thể là số chính phương không?
18. Chứng minh rằng : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn
(m - n)(4m + 4n + 1)=m2 thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính
phương.
19.Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương
----------------------------------------------------------------------------