Một số bài toán về Hàm số

 – Thư viện sách miễn phí 
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ. 
 Bài 1/ Cho hàm số 
1
2
12
−
+−=
x
m
xy . 
a. Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ; 
b. . Tìm quỹ tích các ñiểm cực ñại. 
HDGiải: a/ Hàm số có cực trị khi m > 0 . 
 b/ Ta có: D
2
1 1 2 1 2 1 2(1 ) 4 3C CD CD CD CD CD
m
x m y x x x x
m
= − < ⇒ = − + = − − − = −
−
. Vậy quĩ tích các 
ñiểm cực ñại 
là phần ñường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1. 
 Bài 2/ Cho hàm số: 
1
12
+
−−−
=
x
xx
y (C) 
 a. Tìm m ñể (Dm): 1−= mxy cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt mà cả hai ñiểm ñó thuộc cùng một 
nhánh. 
 b. Tìm quỹ tích trung ñiểm I của MN. 
HDGiải: a/ Phương trình: ( )
2 1
1 1 0
1
x x
mx m x m x
x
− − −
= − ⇔ + + =  +
 có một nghiệm x = 0 nên ñể hai 
giao ñiểm ở cùng một nhánh thì: /( 1) 1 1/( 1) 0 1m m m m− + > − ⇔ + > ⇒ > − . 
 b/ Ta có: 
2 2/ 2( 1) 1/ 2 /(2 1) 1 /(2 1) 1 ( 2 1) /(2 1)I I I I I I I I I Ix m m m x x y mx x x x x x= − + > − ⇒ = − + ⇒ = − = − + − = − + + +
. 
Vậy quỹ tích trung ñiểm I của MN là nhánh bên phải của ñths 
2 2 1
2 1
x x
y
x
− − −
=
+
. 
 Bài 3/ Cho hàm số: ( )mCmxmxxy ++−= 223 3 . 
 Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng (D) có phương trình 
2
5
2
1
−= xy . 
 HDGiải: Ta có: 2 2' 3 6y x x m= − + . ðể hs có cực trị thì 2' 9 3 0 3 3m m∆ = − > ⇒ − < < . Gọi I là 
trung ñiểm của ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị thì 1Ix = . Do pt của ñt ñi qua hai ñiểm cực trị là 
2
2 22 ( 3) 2
3 3 I
m
y m x m y m m= − + + ⇒ = + − . ðể các ñiểm cực trị của ñths ñx nhau qua (D) thì: 
2
2
1 2
. ( 3) 1 0
02 3
0; 1
2 1.1/ 2 5 / 2
m m
m
m
m m
 − = − =
⇔ ⇒ = 
= − + − = −
. 
 Bài 4/ Cho hàm số 
1
82
−
+−+
=
x
mmxx
y . Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu nằm về hai phía 
ñường thẳng 0179 =−− yx . 
HDGiải: ðặt F(x,y)= 9x-7y-1. Hàm số có hai ñiểm cực trị là: A( -2; m – 4 ) và B( 4; m + 8 ). ðể hai 
ñiểm cực trị này nằm về hai phía của ñt trên thì: F(A).F(B)<0 ⇔ ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0 
3 9 / 7m⇒ − < < . 
 Bài 5/ Cho hàm số xxy 33 −= (1) 
 – Thư viện sách miễn phí 
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 
 a) Chứng minh rằng khi m thay ñổi, ñường thẳng (D): ( ) 21 ++= xmy luôn cắt ñồ thị (1) tại một 
ñiểm A cố ñịnh. 
 b) Tìm m ñể ñường thẳng ñó cắt (1) tại 3 ñiểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông 
góc với nhau. 
HDGiải: a/ Xét pt: 3 23 ( 1) 2 ( 1)( 2 ) 0x x m x x x x m− = + + ⇔ + − − − = . Như vậy khi m thay ñổi thì 
(D) luôn cắt ñths(1) tại ñiểm A( - 1; 2 ) cố ñịnh. 
 b/ ðể (D) cắt ñths(1) tại 3 ñiểm phân biệt thì pt 2 2 0x x m− − − = (*) phải có hai nghiệm phân biệt 
khác – 1; do ñó m > - 9/4 và 0m ≠ . Khi ñó ,B Cx x là hoành ñộ của B,C và là nghiệm của (*) . Ta có: 
1& 2B C B Cx x x x m+ = = − − . 
ðể tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì 
2 2 2 2 2 2'( ). '( ) 9( 1)( 1) 9 ( ) ( ) 2 1 9 ( 2) 1 2( 2) 1 9( 2 ) 1B C B C B C B C B Cy x y x x x x x x x x x m m m m   = − − = − + + + = + − + − − + = + = −   
1 2 2 / 3m⇒ = − ± (thỏa mãn ñk). ðó chính là những gt của m cần tìm. 
Bài 6/ Cho hàm số 
x
xx
y
232 +−
= (C) tìm trên ñường thẳng x =1. Những ñiểm M sao cho từ M kẻ 
ñược hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau. 
HDGiải: Giả sử M(1;b) và pt của ñt (D) ñi qua M là: y = k(x – 1) + b. ðể (D) là tiếp tuyến của (C) thì 
pt sau phải có nghiệm kép: 
2
23 2 ( 1) ( 1) ( 3 ) 2 0
x x
k x b k x b k x
x
− +
= − + ⇔ − + + − − = ( vì pt không có 
nghiệm với x = 0 ) 
( )
2 2 21& 3 8( 1) 2( 1) ( 3) 8 0(*). 1 2k k b k k b k b k b⇔ ≠ ∆ = − + + − = − − + + − = ≠ ⇔ ≠ −   . ðể qua M có 
thể kẻ ñược hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích bằng -1 
2( 3) 8 1 3 7b b⇔ + − = − ⇒ = − ± (TMðK). Vậy trên ñt x = 1 có 2 ñiểm TMYCBT là (1; 3 7)M − ± . 
 Bài 7/ Cho hàm số: ( )Cxxy 124 +−= 
 Tìm những ñiểm thuộc Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ba tiếp tuyến tới (C). 
HDGiải: Gọi (0; )M b Oy∈ và ptñt (D) qua M là y = kx + b. ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có 
nghiệm: 
Bài 8/ Cho hàm số: 
mx
mxx
y
−
−+
=
82
 a. Tìm m ñể hàm số có cực trị. Khi ñó hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại, 
cực tiểu. 
 b. Xác ñịnh m ñể ñồ thị cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó 
vuông góc với nhau. 
HDGiải: a/ Ta có: 2 2 2' ( 2 8) /( )y x mx m x m= − − + − . ðể hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm 
phân biệt khác m 
x −∞ 1/ 6− 0 1/ 6 +∞ 
f’(x) + 0 - 0 + 0 - 
f(x) 
−∞ 1 −∞ 
4 2 3 4 2 3 21 & 4 2 3 1 ( ); '( ) 12 2 2 (6 1)x x kx b k x x b x x f x f x x x x x− + = + = − ⇒ = − + + = = − + = − −
 – Thư viện sách miễn phí 
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 
2' 2 8 0 2m m⇔ ∆ = − > ⇔ > (vì khi ñó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ). Hai nghiệm của 
pt y’ = 0 là 
, ; 2 , 2CD CT CD CD CT CTx x y x m y x m= + = + . Vậy pt của ñt ñi qua ñiểm Cð và ñiểm CT là y = 2x + m. 
 b/ Với 2m ≠ ± thì ñths luôn cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành ñộ của 
hai giao ñiểm này là 1 2 1 2 1 2, ; 8x x x x m x x⇒ + = − = − . ðể tt với ñths tại hai giao ñiểm vuông góc với 
nhau thì: 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
8 2 8 2 (8 2 )(5 16) (8 2 ) 5 16
'( ) '( ) 1 1 1 2 1 2 10
( ) ( ) (2 8) (2 8) 2 8
m m m m m m
y x y x m
x m x m m m m
   − − − + − +
= + + = + + = − = − ⇒ = ±   − − − − −   
Bài 9/ Cho hàm số 3 23 4y x x= − + − (C) 
 Tìm trên trục hoành những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến tới ñồ thị của hàm số (C). 
HDGiải: Gọi ( ;0)M a Ox∈ ; ñt (D) ñi qua M có pt là: y = k(x - a). ðể (D) là tt của (C) thì hpt sau phải 
có nghiệm: 
3 2 23 4 ( ) & 3 6x x k x a k x x− + − = − = − + . ðể qua M có thể kẻ ñược 3 tt tới (C) thì pt sau phải có 3 
nghiệm phân biệt 
3 2( ) 2 3( 1) 6 4 0f x x a x ax= − + + − = . Do 2'( ) 6 6( 1) 6 0f x x a x a= − + + = khi x = 1 và x = a nên ñể pt 
f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì: 
2. ( 2) ( 1)(3 5) 0 ( ; 1) (5 / 3;2) (2; )CD CTf f a a a a= − − + − < ⇒ ∈ −∞ − ∪ ∪ +∞ . 
Bài10/ Cho hàm số: 
1
1
−
+
=
x
x
y 
 a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận một ñoạn thẳng mà tiếp 
ñiểm là trung 
ñiểm của nó. 
 b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có diện 
tích không ñổi. 
 c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một 
tam giác có chu vi nhỏ nhất. 
HDGiải: a/Do 
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
 nên pttt với ñths tại ñiểm 
1
;
1
a
M a
a
+ 
 − 
 là: 
2
2( ) 1
( 1) 1
x a a
y
a a
− − +
= +
− −
. Tt này 
cắt các tiệm cận 
x = 1 và y = 1 tại các ñiểm: (1; ( 3) /( 1)), (2 1;1)A a a B a+ − − suy ra M là trung ñiểm của AB ( vì tọa ñộ 
trung ñiểm của AB bằng tọa ñộ của M ). 
 b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta có ( 3) /( 1) 1 4 / 1 ; (2 1) 1 2 1IA a a a IB a a= + − − = − = − − = − 
. / 2 4IABS IA IB⇒ = = không ñổi ( ñpcm ) 
 c/ Ta có chu vi tam giác IAB: 
2 2 2 . 2 . 2 8 16 4( 2 1)IABC IA IA IA IB IA IB IA IB= + + + ≥ + = + = + . Vậy chu vi tam giác IAB có 
giá trị nhỏ nhất bằng 4( 2 1)+ khi IA = IB tức 2( 1) 2 1 2a a− = ⇒ = ± . Như vậy trên ñths có hai 
ñiểm TMYCBT là: 1 2(1 2;1 2), (1 2;1 2)M M+ + − − . 
 Bài 11/ Cho hàm số: )(
2
542
H
x
xx
y
+
++
= 
 Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M ñến (D): 063 =++ yx nhỏ nhất. 
 – Thư viện sách miễn phí 
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 
HDGiải: Giả sử 
( )( ; 2 1/( 2)), ( 2) ( ;( )) 4( 2) 1/( 2) / 10 4( 2) 1/ 2 / 10M a a a a d M D a a a a+ + + ≠ − ⇒ = + + + = + + + ≥ 
4 / 10 2 10 / 5= . Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng 2 10 / 5 khi 
4 2 1/ 2 1,5; 2,5a a a+ = + ⇒ = − − ứng với hai ñiểm 1 2( 1,5;2,5), ( 2,5; 2,5)M M− − − . 
 Bài 12/ Cho hàm số: 
1
332
+
++
=
x
xx
y (C). 
 Tìm hai ñiểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho ñộ dài ñoạn AB ngắn nhất. 
HDGiải: Gọi 1 1 2 2 1 2( ; ), ( ; ) ( )( 1 )A x y B x y C x x∈ < − < . ðặt 
2 2 2
1 21 , 1 , 0; ( ) ( 1/ 1/ )x a x b a b AB a b a b a b− − = + = ⇒ > = + + + + + 
2 2 2 2 2 2( ) 1 (1 1/ ) 4 (2 2 1) / 4(2 1/ 2) 4(2 2 2) 8( 2 1)a b ab ab a b ab a b ab ab + + + ≥ + + = + + ≥ + = +  . Dấu 
bằng xảy ra khi 4 4 41 21/ 2 1 1/ 2; 1/ 2 1a b x x= = ⇒ = − − = − . 
 Bài 13/ Cho hàm số: 3
1
1
3
y x x= − + (C) và hai ñiểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung 
AB của (C) sao cho diện tích ∆MAB lớn nhất. 
HDGiải: -Cách 1: pt ñt AB là: 2x – y + 1 = 0 . Gọi 
3 3( ;1 / 3) ( ; ) (9 ) / 3 5 ( ) / 3 5(0 3)M x x x d M AB x x f x x− + ⇒ = − = ≤ ≤ 
 Ta có 2'( ) 9 3 0 3(0 3)f x x x x= − = ⇒ = ≤ ≤ nên BBT 
của hs như bên. 
Do ñó: 
1
3 5.2 3 / 5 3 3
2MAB
MaxS = = ứng với 
( 3;1)M . 
 -Cách 2: Diện tích ∆MAB lớn nhất khi M là tiếp ñiểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB. Gọi 
0 0( ; )M x y . Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi 
2
0 0 0'( ) 1 2 3(0 3) ( 3;1)ABy x x k x x M= − = = ⇒ = ≤ ≤ ⇒ 
( ; ) 2 3 / 5d M AB⇒ = ⇒
1
3 5.2 3 / 5 3 3
2MAB
MaxS = = . 
--------------------------- o0o ------------------------ 
x 0 3 3 
f’(x) + 0 - 
f(x) 
 2 3 / 5 
0 0