Một số bài toán thường gặp về đồ thị (T.s Nguyễn Phú Khánh)

T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ 
8.1 Cho hàm số    3 2 1 1f x x m x    có đồ thị là  ,mC m là tham số . 
8.1.1 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ?. Khảo sát 
sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với 2m  . 
Hướng dẫn : 
Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm phương trình 
           
3 2
2
1
2 1 1 0 1 1 1 2 0
1 2 0 2
x
x m x x x x m
g x x x m
  
           
    
Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình  1 có ba nghiệm 
phân biệt hay phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 , tức là 
 
8 3 0 3 3
1 3 2 0 8 2
m
m
g m
   
     
8.1.2 Với giá trị nào của m , đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ : 
1
) 2a x   
2
) 1a x   
3
) 1 0a x   
8.2.1 Tìm giao điểm của đồ thị  C của hàm số   3 23 3 2f x x x x    và parabol 
    2: 4 2P g x x x   . Xét vị trí tương đối của đường cong  C và parabol  P ( tức là xác định 
mỗi khoảng trên đó  C nằm phía trên hoặc dưới  P ). 
8.2.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   34 3 3f x x x   . Với giá trị nào của m , 
phương trình 34 3 2 3 0x x m    có nghiệm duy nhất ?. 
8.2.3 Cho hàm số    3 23 3 2 1 1f x x mx m x     có đồ thị là  ,mC m là tham số . 
)a Chứng tỏ rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  mC của hàm số đã cho và đường thẳng 
  2 4 3md y mx m   luôn có một điểm chung cố định . 
)b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng  md và đường cong  mC cắt nhau 
1
)b Tại ba điểm phân biệt 
2
)b Tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương . 
)c Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m  
Hướng dẫn : 
)a   2 4 3md y mx m   luôn đi qua điểm cố định  2;3A và    2 3 mf A C   .Để giải quyết 
dạng này học sinh xem lại lý thuyết hàm số sách đại số 7 và đại số 10 . 
)b        2 1
0
2 3 2 1 2 0 ) 4 9
9 8
m m
m
d C x x m x m b
m
 
            

 : 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
8.2.4 Cho hàm số      3 21 2 1 2f x x m x m x m       có đồ thị là  ,mC m là tham số . 
)a Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m , đồ thị  mC của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố 
định . 
)b Chứng minh rằng mọi đường cong  mC tiếp xúac nhau tại một điểm. Viết phương trình tiếp tuyến 
chung của các đường cong  mC tại điểm đó . 
8.3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   4 24 3f x x x   .Tìm các giá trị của m sao cho 
phương trình 4 24 3 2 1 0x x m     có 8 nghiệm?. 
8.3.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số   4 22 3f x x x    .Với giá trị nào của m , 
đường thẳng 8y x m  là tiếp tuyến của đồ thị. 
8.4 Cho hai hàm số        2 21 1 à 1
4 4
P f x x x v C g x x x      : : 
8.4.1 Chứng minh rằng đồ thị    àP v C tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ 1x  . 
8.4.2 Viết phương trình tiếp tuyến cung  t của    àP v C tại điểm A . Chứng minh rằng  P nằm 
phía dưới đường thẳng  t và  C nằm phía trên  t . 
8.5.1 Chứng minh rằng các đồ thị hàm số      2 13 4, 1 à 4 6f x x x g x v k x x x
x
        tiếp 
xúc nhau tại một điểm. 
8.5.2 Chứng minh rằng parabol     2: 3 1P f x x x   tiếp xúc với đồ thị  C của hàm số 
 
2 2 3
1
x x
k x
x
  


. Viết phương trình tiếp tuyến chung của    àP v C tại tiếp điểm của chúng. 
8.5.3 Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của parabol     2: 3P f x x x  đi qua điểm 3 5;
2 2
A
 
 
 
và 
vuông góc nhau. 
8.6 Cho hàm số   1; , 1mxf x m m
x m

 

 có đồ thị là  ,mG m là tham số . 
8.6.1 Chứng minh rằng với mỗi 1m  , đường cong  mG luôn đi qua hai điểm cố định ,A B . 
8.6.2 Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của  mG . Tìm tập hợp của các điểm M khi m thay 
đổi . 
8.7.1 
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số    4
2
x
f x H
x



 . 
)b Chứng minh rằng parabol   2: 2P y x  tiếp xúc với đường cong  H . Xác định tiếp điểm và viết 
phương trình tiếp tuyến chung của    àP v H tại điểm đó. 
T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 
)c Xét vị trí tương đối cuả    àP v H ( tức là xác định mỗi khoảng trên đó  P nằm phía trên hay 
phía dưới  H ?. 
8.7.2 
)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số    2
1
x
f x H
x



 . 
)b Chứng minh rằng với mọi 0m  , đường thẳng 3y mx m  cắt đường cong  H tại hai điểm phân 
biệt , trong đó ít nhất một giao điểm có hoành độ lớn hơn 1. 
8.8.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  
2 3 1x x
f x
x
 
 . Với giá trị nào của m , đồ thị 
của hàm số cắt đường thẳng y m tại hai điểm phâ biệt ,A B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn 
thẳng AB khi m thay đổi . 
8.8.2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  
2 2 3
2
x x
f x
x
 


.Tìm các giá trị của m sao cho 
đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt ,A B . Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng 
AB khi m thay đổi . 
8.8.3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số    
22 3 3
1
x x
f x C
x
 


 .Tùy theo giá trị của 
m , biện luận số giao điểm của   : 3d y mx m   và  C . Với giá trị nào của m , đường thẳng 
  : 3d y mx m   cắt đường cong  C tại hai điểm thuộc hai nhánh của  C . 
8.9.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  
2 1
1
x x
f x
x
 


. Với giá trị nào của m , phương 
trình 
2 1
1
x x
m
x
 


có 4 nghiệm?. 
8.9.2 Cho hàm số    
2
, 1
1 m
x m
f x m C
x

  

)a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m  . 
)b Với giá trị nào của m , đường thẳng 7y x   tiếp xúc với đường cong  mC . 
)c Khi 2m  . Với giá trị nào của a ,thì phương trình  2 2 1x x a a   có 4 nghiệm phân biệt?.