Một số bài toán Hình học giải tích

1. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
 và 
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng .
b. Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
(trích ĐTTS ĐH A2002)
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): và đường thẳng (m là tham số)
 Xác định m để đường thẳng song song với mặt phẳng (P).
(trích ĐTTS ĐH D2002)
3. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: 
 và 
a. Tìm a để hai đường thẳng và cắt nhau.
b. Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng . Tính khoảng cách giữa và khi a = 2.
4. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho đường thẳng: 
 và mặt cầu (S): . Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
5. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; -1; -2), C(-1; -4; 3), D(1; 6; -5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
6. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng: 
 và 
a. Chứng minh rằng , chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng , và song song với đường thẳng .
7. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. (trích ĐTTS ĐH B2003)
8. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC với A(0; 0; a), B(a; 0; 0), C(0; a; 0) (a > 0). Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.
9. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 300.
10. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho đường thẳng: 
Tìm k để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P): 
(trích ĐTTS ĐH D2003)
11. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho mặt phẳng
 (P): (m là tham số)
 và mặt cầu (S): .
Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được, hãy xác định toạ độ tiếp điểm của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S).
12. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; -1; 3) và đường thẳng d: 
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), chứng minh rằng d vuông góc với IK.
b. Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng có phương trình 
13. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho bốn điểm A(0; 1; 0), B(2; 3; 1), C(-2; 2; 2), D(1; -1; 2).
a. Chứng minh các tam giác ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD, viết phương trình đường thẳng AH.
14. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1; 1; 2), B(-2; 1; -1), C(2; -2; 1).
a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
b. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC).
c. Tính thể tích tứ diện OABC.
15. Trong không gian với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
 và 
a. Chứng minh chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy.
b. Tìm hai điểm A, B lần lượt trên sao cho AB là đoạn vuông góc chung của và .