Một số bài luyện tập Hình học không gian

Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
Tìm a để (d1) cắt (d2). 
Khi a = 2 : Viết phương trình mp(P) chứa (d1) và song song với (d2). Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng.
Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:
CMR 2 đường thẳng trên chéo nhau và vuông góc với nhau.
Viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả 2 đường thẳng trên và song song với đường thẳng 
Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng và 
1) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên.
2) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với mặt phẳng (P) x - y + z = 0 và .
Bài 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng 
1) CMR 2 đường thẳng trên song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả 2 đường thẳng trên
2) Mặt phẳng (Oxz) cắt d1, d2 tại A,B Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng 
1) CMR đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
2) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả 2 đường thẳng trên và song song với Oz. 
Bài 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) và đường thẳng 
1) CMR đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc 1 mặt phẳng.
2) Tìm điểm I thuộc d sao cho IA+IB nhỏ nhất.
Bài 7. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: 
1) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(2; 3; 1) cắt cả d1 và d2.
Bài 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; 3; 0), vuông góc với đường thẳng: và cắt đường thẳng: .
Bài 9. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: 
1) Chứng minh rằng d và d’ cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (a) qua d và d’. Tính thể tích hình chóp giới hạn bởi mặt phẳng (a) và các mặt phẳng toạ độ.
Bài 10. Cho hai điểm A(-1; 0; 3), B(2; 1; 1) và đường thẳng d: .
1) Chứng minh rằng (d) ^ AB.
2) Viết phương trình mặt phẳng (a) qua A và vuông góc với d.
Bài 11. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z + 4 = 0. Tìm giao điểm của (d) và (P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua O, (Q) song song với (d) và (Q) vuông góc với (P).
Bài 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5) và hai trung tuyến (d1): , (d2): . Viết phương trình chính tắc các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác.
Bài 13. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:
.
1) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. Tính khoảng cách của hai đường.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
3) Viết phương trình đường thẳng D qua A(2; 3; 1) vằ cắt cả d1 và d2.
Bài 14. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng:
1) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường.
2) Viết phương trình các mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
3) Viết phương trình đường thẳng D song song với trục Oz, cắt cả d1 và d2.
MOÄT SOÁ VÍ DUẽ MINH HOẽA
Baứi 1: Cho hỡnh choựp SABC coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh baống a, SA= vaứ vuoõng goực vụựi ủaựy 
1) Tớnh khoaỷng caựch tửứ A ủeỏn maởt phaỳng (SBC).
2) Tớnh khoaỷng caựch tửứ taõm O hỡnh vuoõng ABCD ủeỏn maởt phaỳng (SBC).
3) Tớnh khoaỷng caựch tửứ troùng taõm cuỷa tam giaực SAB ủeỏn maởt phaỳng (SAC).
Baứi 2: Cho hỡnh choựp SABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng taõm O caùnh baống a, SO vuoõng goực vụựi ủaựy. Goùi M,N theo thửự tửù laứ trung ủieồm SA vaứ BC. Bieỏt raống goực giửừa MN vaứ (ABCD) baống 600. 
1) Tớnh MN vaứ SO.
2) Tớnh goực giửừa MN vaứ maởt phaỳng (SBD) .
Baứi 3: Cho hỡnh thoi ABCD taõm O, caùnh baống a vaứ AC=a, Tửứ trung ủieồm H cuỷa caùnh AB dửùng SH(ABCD) vụựi SH = a.
1) Tớnh khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn maởt phaỳng (SCD).
2) Tớnh khoaỷng caựch tửứ A ủeỏn maởt phaỳng (SBC).
Baứi 4: Cho goực tam dieọn vuoõng Oxyz, treõn Ox, Oy, Oz laỏy caực ủieồm A,B,C. 
1) Haừy tớnh khoaỷng caựch tửứ O ủeỏn maởt phaỳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 
2) Giaỷ sửỷ A coỏ ủũnh coứn B, C thay ủoồi nhửng luoõn thoỷa maừn OA = OB + OC. Haừy xaực ủũnh vũ trớ cuỷa B vaứ C sao cho theồ tớch tửự dieọn OABC laứ lụựn nhaỏt. 
Baứi 5: Cho tửự dieọn OABC (vuoõng taùi O), bieỏt raống OA, OB, OC laàn lửụùt hụùp vụựi maởt phaỳng (ABC) caực goực . Chửựng minh raống:
1) 
2) 
Baứi 6: Cho hỡnh choựp SABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh baống a, sa vuoõng goực vụựi ủaựy. Goùi M, N laứ hai ủieồm theo thửự tửù thuoọc BC,DC sao cho . CMR hai maởt phaỳng (SAM) vaứ (SMN) vuoõng goực vụựi nhau.
Baứi 7: Cho tam giaực ủeàu ABC caùnh a. Goùi D laứ ủieồm ủoỏi xửựng vụựi A qua BC. Treõn ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABC) taùi D laỏy ủieồm S sao cho , CMR hai maởt phaỳng (SAB) vaứ (SAC) vuoõng goực vụựi nhau.
Baứi 8: Trong khoõng gian cho caực ủieồm A,B,C theo thửự tửù thuoọc caực tia Ox, Oy, Oz vuoõng goực vụựi nhau tửứng ủoõi moọt sao cho OA=a , OB=. OC=c (a,c>0). Goùi D laứ ủieồm ủoỏi dieọn vụựi O cuỷa hỡnh chửừ nhaọt AOBD vaứ M laứ trung ủieồm cuỷa ủoùan BC. (P) laứ maởt phaỳng qua A,M vaứ caột maởt phaỳng (OCD) theo moọt ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi AM.
a) Goùi E laứ giao ủieồm cuỷa (P) vụựi OC , tớnh ủoọ daứi ủoùan OE.
b) Tớnh tổ soỏ theồ tớch cuỷa hai khoỏi ủa dieọn ủửụùc taùo thaứnh khi caột khoỏi choựp C.AOBD bụỷi maởt phaỳng (P).
c) Tớnh khoaỷng caựch tửứ C ủeỏn maởt phaỳng (P).
Baứi 9: Cho tửự dieọn SABC coự SC=CA=AB=, , ABC vuoõng taùi A, caực ủieồm M thuoọc SA vaứ N thuoọc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a)
1) Tớnh ủoọ daứi ủoaùn MN. Tỡm giaự trũ cuỷa t ủeồ MN ngaộn nhaỏt.
2) Khi ủoaùn MN ngaộn nhaỏt, chửựng minh MN laứ ủửụứng vuoõng goực chung cuỷa BC vaứ SA.
Baứi 10: Cho hỡnh choựp SABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thoi coự AC=4, BD=2 vaứ taõm O.SO=1 vuoõng goực vụựi ủaựy. Tỡm ủieồm M thuoọc ủoaùn SO caựch ủeàu hai maởt phaỳng (SAB) vaứ (ABCD).
Baứi 11: Cho hỡnh laọp phửụng ABCD.A'B'C'D' caùnh baống a. Goùi M, N theo thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AD, CD. Laỏy sao cho BP = 3PB'. Tớnh dieọn tớch thieỏt dieọn do (MNP) caột hỡnh laọp phửụng .
Baứi 12: Cho hỡnh hoọp chửừ nhaọt ABCD.A'B'C'D' coự AB = a, AD = 2a, AA' = a.
1) Tớnh theo a khoaỷng caựch giửừa AD' vaứ B'C.
2) Goùi M laứ ủieồm chia ủoùan AD theo tyỷ soỏ . Haừy tớnh khoaỷng caựch tửứ M ủeỏn maởt phaỳng (AB'C).
3) Tớnh theồ tớch tửự dieọn AB'D'C.
Baứi 13: Cho hỡnh laọp phửụng ABCD.A'B'C'D' caùnh baống a..Goùi M, N laứ trung ủieồm cuỷa BC vaứ DD'
1) CMR .
2) CMR .
3) Tớnh khoaỷng caựch giửừa BD vaứ MN theo a.
Baứi 14: Cho laờng truù ABCD.A'B'C'D' coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thoi taõm O caùnh baống a, goực A = 600. B'O vuoõng goực vụựi ủaựy ABCD, cho BB' = a.
1) Tớnh goực giửừa caùnh beõn vaứ ủaựy.
2) Tớnh khoaỷng caựch tửứ B, B' ủeỏn maởt phaỳng (ACD').
Baứi 15: Cho hỡnh vuoõng ABCD caùnh baống a taõm I . Treõn hai tia Ax, By cuứng chieàu vaứ cuứng vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABCD) laàn lửụùt laỏy hai ủieồm M,N . ẹaởt AM=x, CN=y 
1) Tớnh theồ tớch hỡnh choựp ABCMN.
2) CMR ủieàu kieọn caàn vaứ ủuỷ ủeồ goực MIN = 900 laứ 2xy = a2.
Baứi 16: Cho hỡnh choựp S.ABC coự ủaựy laứ tam giaực vuoõng caõn ABC vụựi caùnh huyeàn AB = 4. Caùnh beõn vaứ SC = 2 .Goùi M laứ trung ủieồm cuỷa AC, N laứ trung ủieồm AB.
1) Tớnh goực cuỷa hai ủửụứng thaỳng SM vaứ CN
 2) Tớnh ủoọ daứi ủoùan vuoõng goực chung cuỷa SM vaứ CN.
Baứi 17: Cho hỡnh laọp phửụng ABCD.A'B'C'D' coự caùnh baống 1.
1) Goùi M, N laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AD, BB' .Chửựng minh raống . Tớnh ủoọ daứi ủoùan MN.
2) Goùi P laứ taõm cuỷa maởt CDD'C' . Tớnh dieọn tớch .
Baứi 18: Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABC laứ tam giaực ủeàu caùnh a vaứ caùnh beõn SA vuoõng goực vụựi maởt phaỳng ủaựy (ABC) . Tớnh khoaỷng caựch tửứ ủieồm A tụựi maởt phaỳng (SBC) theo a, bieỏt raống SA=.
Baứi 19: Cho tửự dieọn OABC coự ba caùnh OA;OB;OC ủoõi moọt vuoõng goực . Goùi laàn lửụùt laứ caực goực giửừa maởt phaỳng (ABC) vụựi caực maởt phaỳng (OBC);(OCA) vaứ (OAB). Chửựng minh raống :
Baứi 20: Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh vuoõng caùnh a , SA vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABCD) vaứ SA=a . Goùi E laứ trung ủieồm cuỷa caùnh CD . Tớnh theo a khoaỷng caựch tửứ ủieồm S ủeỏn ủửụứng thaỳng BE. 
Baứi 21: Cho laờng truù ủửựng ABC.A'B'C' coự ủaựy ABC laứ tam giaực caõn vụựi AB=AC=a vaứ goực BAC = 1200, caùnh beõn BB' = a. Goùi I laứ trung ủieồm CC'. Chửựng minh raống tam giaực AB'I vuoõng ụỷ A. Tớnh cosin cuỷa goực giửừa hai maởt phaỳng (ABC) vaứ (AB'I).