Lý thuyết và bài tập Hình học không gian

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
VẤN ĐỀ 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz. Gọi lần lượt là vector đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz. Ta có:
 1) 
 2) 
2. Tính chất và công thức
Cho :
1) .
2) .
3) Tích vô hướng .
4) .
5) 
6) .
7) Tích có hướng .
8) cùng phương .
9) .
10) .
11) đồng phẳng 
12) M chia đoạn AB theo tỉ số k .
13) Điểm I là trung điểm của đoạn AB thì 
14) Tọa độ trọng tâm G của : 
15) Trọng tâm G của tứ diện ABCD thỏa và có tọa độ:
.
16) Diện tích là .
17) Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: 
18) Thể tích tứ diện ABCD: 
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vector pháp tuyến và cặp vector chỉ phương của mặt phẳng
 a) Định nghĩa 1. Vector vuông góc với mặt phẳng là pháp vector (PVT) của .
 Hai vector không cùng phương khác có giá song song hoặc năm trên mặt phẳng được gọi là cặp vector chỉ phương (VTCP) của .
Chú ý:
1) Cho hai vector không cùng phương khác có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng. Khi đó là pháp vector của .
2) Nếu ba điểm và không thẳng hàng thì là PVT của .
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Cho mặt phẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận làm pháp vectơ thì phương trình tổng quát của : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
 Chú ý:
Nếu mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 thì là pháp vector.
3. Các trường hợp riêng
 a) Mặt phẳng tọa độ
Phương trình các mặt phẳng tọa độ (Oxy): z = 0, (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0.
 b) Mặt phẳng chắn 3 trục tọa độ
Cho cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì phương trình mặt phẳng (gọi là phương trình theo đoạn chắn).
4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng và có các pháp vector tương ứng là .
a) cắt không cùng phương .
b) trùng với .
c) song song với .
5. Chùm mặt phẳng
 a) Định nghĩa. 
 Tập hợp các mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng được gọi là một chùm mặt phẳng.
 b) Định lý. Cho , cắt nhau theo giao tuyến (d). Mặt phẳng bất kỳ đi qua (d) có phương trình:
.
VẤN ĐỀ 3. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa
Vector được gọi là vector chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu nằm trên d hoặc đường thẳng chứa song song với d.
Chú ý: Không có pháp vector của đường thẳng trong không gian.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: .
 Đặt .
 a) Để tìm tọa độ một điểm trên d ta cho giá trị một tọa độ rồi giải hệ phương trình.
 b) Để tìm VTCP của d ta tính theo công thức .
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có VTCP thì: 
.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có VTCP thì:
.
Quy ước: Trong ptct của d, nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0.
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP là . Gọi điểm và , ta có:
 a) d1 và d2 đồng phẳng .
1) d1 cắt d2 và (không cùng phương).
2) d1 song song với d2 và (hoặc ).
3) d1 trùng với d2 và (hoặc ).
 b) d1 chéo d2 (không đồng phẳng).
Chú ý: Ta có thể xét hệ phương trình của d1 và d2 để suy ra vị trí tương đối như sau:
1) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất d1 cắt d2.
2) Hệ phương trình có vô số nghiệm d1 trùng d2.
3) Hệ phương trình vô nghiệm và cùng phương d1 song song với d2.
4) Hệ phương trình vô nghiệm và không cùng phương d1 và d2 chéo nhau.
6. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M và có VTCP , mặt phẳng có VTPT .
 a) d cắt (hoặc hệ phương trình có nghiệm duy nhất).
 b) và (hoặc hệ phương trình vô nghiệm).
 c) và (hoặc hệ phương trình có vô số nghiệm).
 d) .
VẤN ĐỀ 4. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1. KHOẢNG CÁCH
 a) Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng :
.
 b) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d: .
Chú ý: Ta có thể tìm hình chiếu H của M trên d và .
 c) Khoảng cách giữa d1 song song d2:
.
 d) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: 
.
 e) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
.
 f) Khoảng cách giữa d1 chéo d2: .
2. GÓC
 a) Góc giữa d1 và d2: .
Chú ý: 1) . 2) .
 b) Góc giữa hai mặt phẳng: .
Chú ý: 1) . 2) .
 c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: .
Chú ý: 1) hoặc . 2) .
VẤN ĐỀ 5. MẶT CẦU – ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình của mặt cầu
 a) Phương trình chính tắc của mặt cầu
Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính tắc là:
.
 b) Phương trình tổng quát của mặt cầu
.
Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính .
2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
 a) Mặt phẳng không cắt mặt cầu .
 b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu .
 c) Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn .
Chú ý: Khi thì giao tuyến là đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính mặt cầu.
3. Phương trình đường tròn trong không gian
Cho mặt phẳng và mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R cắt nhau theo đường tròn (C).
Phương trình (C): .
(C) có tâm H là hình chiếu của I trên và bán kính .
B. BÀI TẬP
BÀI 1 : Trong không gian (Oxyz) cho 4 điểm : A(1 ; 0 ; 1), B(–1 ; 1 ; 2), C(–1 ; 1 ; 0), D(2 ; –1 ; –2). 
1) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của 1 tứ diện.
2) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện này.
3) Tính đường cao của DBCD hạ từ đỉnh D.
4) Tính góc CBD và góc giữa AB, CD.
5) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện.
BÀI 2 : Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1 ; –1 ; 2) và một mặt phẳng (a) có phương trình : 2x – y + 2z + 11 = 0.
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mp(a).
2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mp(a).
3) Tìm tọa độ điểm N, đối xứng của M qua mp(a).
BÀI 3 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (a) có phương trình : 
x + 2y + z + 1 = 0 và đường thẳng d : 	 
1) Tính góc giữa d và (a)
2) Tính tọa độ giao điểm của d và (a)
3) Viết phương trình hình chiếu d’ của d trên (a).
BÀI 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là :
d : và d’ : 
1) Chứng tỏ rằng d và d’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau.
2) Viết phương trình mp(a) đi qua d và vuông góc với d’.
3) Viết phương trình mp(b) đi qua d’ và vuông góc với d. Từ đó viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
4) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
BÀI 5 : Trong kg Oxyz cho điểm D(–3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (a) đi qua 3 điểm A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8).
1) Viết phương trình đường thẳng AC.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a).
3)Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mp(a).
BÀI 6 : Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng có phương trình :
(a) : 2x – y + z + 2 = 0 , (a’) : x + y + 2z – 1 = 0 và điểm M (0 ; 1 ; –2).
1) Chứng tỏ rằng (a) và (a’) cắt nhau. Viết phương trình tham số của giao tuyến của 2 mặt phẳng (a) và (a’).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (a) và (a’). Tính khoảng cách từ M đến giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
BÀI 7 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ :
d : và d’ : 
1) Tìm vectơ chỉ phương của d và d’.
2) Chứng tỏ rằng d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau.
3) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua điểm N(1; 0;1) và song song d và d’.
BÀI 8 : Cho 2 đường thẳng có phương trình sau :
d : và d’ : 
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
BÀI 9 : Trong Oxyz cho : A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).
1) Viết phương trình phương trình tổng quát của các mp(ACD) và (BCD).
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) đi qua điểm A và vuông góc với các mặt phẳng (ACD) và (BCD). Tìm tọa độ giao điểm M của ba mặt phẳng (ACD), (BCD) và (a).
BÀI 10: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (a) có phương trình : 
3x – 2y + 5z + 2 = 0 và hai điểm A(1 ; 0 ; –1), B(2 ; 1 ; 2).
1) Chứng tỏ rằng A Ỵ (a) và B Ï (a)
2) Viết phương trình đường thẳng d qua B và vuông góc với mp(a).
3) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(a).
BÀI 11 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : 
d : và d’ : 
1) Chứng tỏ rằng d và d’ vuông góc với nhau.
2) Hai đường thẳng d và d’ có cắt nhau không ?
BÀI 12 : Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng :
 d : và d’ : 
1) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả 2 đường thẳng d, d’.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 2 đường thẳng d, d’ và cách đều d và d’.
BÀI 13 : Trong không gian Oxyz, cho : 
đường thẳng d : và mặt phẳng (a) : 3x + 5y – z – 2 = 0
BÀI 14 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm : A(2 ; –2 ; 0), B(3 ; 0 ; –3), C(0 ; –2 ; –2), M(1 ; 1 ; –1).
1) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua 3 điểm A, B, C.
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mp(a).
3) Viết phương trình mặt cầu tâm M, tiếp xúc với mặt phẳng (a).
BÀI 15 : Cho hai đường thẳng : (D1) : , (D2) : 
1) Chứng tỏ rằng : (D1) và (D2) chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung (d) của (D1) và (D2)
3) Tìm khoảng cách giữa (D1) và (D2).
BÀI 16 : Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S có phương trình :
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 16 và điểm A(1 ; 2 ; 3).
1) Chứng tỏ mặt cầu S và đường thẳng OA cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N.
2) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S tại hai điểm M và N nói trên.
BÀI 17 : Trong không gian Oxyz cho điểm M(–3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z – 13 = 0
1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P).
2) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu S tâm M bán kính R khi R thay đổi.
3) Viết phương trình mặt cầu tâm M bán kính R = 4 chứng tỏ mặt cầu này cắt mặt phẳng (P) và tìm bán kính đường tròn giao tuyến.
BÀI 18: Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 6z + 5 = 0. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết :
1) Đi qua tiếp điểm M(1 ; 1 ; 1).
2) Chứa đường thẳng (d) : 
3)Vuông góc với đường thẳng (d) : 
BÀI 19 : Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng :
(d1) : và (d2) : 
1) Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua (d2) và song song với (d1).
3) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d1) và (d2).
BÀI 20 : Trong không gian Oxyz cho : 
A(–2 ; 0 ; 1), B(0 ; 10 ; 3), C(2 ; 0 ;–1) và D (5 ; 3 ;–1).
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm D và vuông góc với mp(P).
3) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (P).
BÀI 21 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1 ; 2 ; 1) và đường thẳng (d) : 
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa (d).
2) Tính khoảng cách từ A đến (d).
BÀI 22 : 
Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
 	(D1) : và (D2) : 
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (D1) và song song với đường thẳng (D2).
2) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đt (D2) sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
BÀI 23 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm F(2 ; 0) và đường thẳng (D) có phương trình : 4x – 3y + 2 = 0
1) Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F và có đỉnh là gốc tọa độ.
2) Tính khoảng cách từ F đến (D) rồi lập phương trình đường tròn tâm F và tiếp xúc với (D). Tìm tọa độ tiếp điểm.
BÀI 24:
1) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng: và cắt hai đường thẳng có phương trình sau đây : (d) : và (d’) : 
2) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1 ; –1 ; 1) và cắt cả hai đường thẳng : 
(d) : và (d’) : 
BÀI 25 : 
Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mặt phẳng y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng : (d) : và (d’) : 
Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(0 ; 1 ; 1) vuông góc với đường thẳng : 
 (d) : và cắt (d’) : 
BÀI 26 : (4đ) Trong không gian Oxyz cho các điểm :
A(–1 ; 2 ; 0) B(–3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; –2)
1) Viết phương trình mp (ABC) và phương trình đường thẳng AD.
2) Tính diện tích DABC và thể tích tứ diện ABCD.
3) Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu của AD lên mặt phẳng (ABC).
4) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
BÀI 27 : (3,5đ) Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho :
đường thẳng (D) : và mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z = 0
1) Tìm tọa độ giao điểm A của (D) và (P). Tính sin góc tạo bởi (D) và (P). 
2) Viết phương trình đường thẳng (D’) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (D) lên mp(P).
3) Tìm phương trình mặt phẳng (R) biết mặt phẳng (R) chứa đường thẳng (D) và khoảng cách từ điểm M(0 ; 2 ; 3) đến mặt phẳng (R) bằng 1.
BÀI 28 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho :
đường thẳng (D) : và đường thẳng (D) : 
1) Chứng minh rằng hai đường thẳng (D) và (D) chéo nhau.
2) Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (D) và điểm A(–2 ;3 ;1).
3) Tìm tọa độ điểm B’ là hình chiếu vuông góc của B(2 ; 0 ; 1) lên (D).
4) Tìm phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O và cắt cả hai đường thẳng (D) và (D).
BÀI 29 : Trong không gian Oxyz cho các điểm :
 A(–1 ; 2 ; 3) B(0 ; 3 ; 1), C(2 ; 2 ; –1), D(4 ; –2 ; 1)
1) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng AB và CD.
2) Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng AC và song song với BD. Tính khoảng cách AC và BD.
3) Tìm điểm M thuộc AB và điểm N thuộc CD sao cho MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
4) Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.
BÀI 30 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm: A(3 ; 0 ; 0) B(0 ; 4 ; 0) và C(0 ; 0 ; 2).
1) Chứng minh hai đường thẳng OA và BC chéo nhau..
2) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của O lên mp(ABC). Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
3) Tìm tọa độ A’ là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Viết phương trình đường vuông góc chung của OA và BC.
BÀI 31 : Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm : A(3 ; 1 ; 2) 
và đường thẳng (D) : 
a) Tìm tọa độ của H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (D).
b) Tìm tọa độ của A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (D).
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa (D) và cách điểm a một khoảng bằng 3.
BÀI 32 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có các phương trình tương ứng : 
(P) : 2x – 3y + 4z – 5 = 0
(S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0
1) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2) Tính khoảng cách từ tâm I đến mp(P). Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Xác định bán kính r và tọa độ tâm H của đường tròn (C).
BÀI 33 : Trong Oxyz cho : A(1 ; 0 ; 0), B(1 ; 1 ; 1) và C (;;).
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (a) vuông góc với đường thẳng OC tại C. Chứng minh ba điểm O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính với mp(a).
2) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng g là hình chiếu vuông góc của AB trên mp(a).
BÀI 34 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (a) : x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng (d) : 
1) Viết phương trình chính tắc của các đường thẳng là giao tuyến của mặt phẳng (a) với các mặt phẳng tọa độ. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết A, B, C là giao điểm tương ứng của mp(a) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, còn D là giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của (S) với (ACD).
BÀI 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi các hệ thức : 
1) Chứng minh rằng AB ^ AC, AC ^ AD, AD ^ AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
2) Viết phương trình tham số của đường vuông góc chung D của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng D và mặt phẳng (ABD). 
3) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD). 
BÀI 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm 
A(1 ; –1 ; 2), B(1 ; 3 ; 2), C(4 ; 3 ; 2), D(4 ; –1 ; 2). 
1) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng. 
2) Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D. 
3) Viết phương trình tiếp diện (a) của mặt cầu (S) tại điểm A’. 
BÀI 37 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – 3 = 0 và hai đường thẳng (D1) : , (D2) : 
1) Chứng minh (D1) và (D2) chéo nhau.
2) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng (D1) và (D2).