Lý thuyết và bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyết và bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Hàm số f (x) xác định và có liên tục trên đoạn  [ a b] thì f'(x) xác định trên khoảng (a ;b) .

• Hàm số f (x) xác định và có liên tục trên nửa đoạn  [a b) hay (a b] thì f'(x) xác định trên khoảng (a ;b)

pdf 39 trang Người đăng ngochoa2017 Lượt xem 1158Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
77 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
 • Hàm số ( )f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn ;a b   thì ( )'f x xác ñịnh trên khoảng ( );a b . 
 • Hàm số ( )f x xác ñịnh và có liên tục trên nửa ñoạn ) ( ; ;a b hay a b   thì ( )'f x xác ñịnh trên 
khoảng ( );a b . 
 • Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
max max , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2
; ;
min min , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
• = 
( ) ( )( )
0 0
,
max
,x D
x D f x M
M f x
x D f x M∈
∀ ∈ ≤
• = ⇔ 
∃ ∈ =
( ) ( )( )
0 0
,
min
,x D
x D f x m
m f x
x D f x m∈
∀ ∈ ≥
• = ⇔ 
∃ ∈ =
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN 
Ví dụ 1: 
Giải : 
Xét : 
2
1 ( 1 ) 1 1 1 1
2(2 1)( 1) 2 ( 1) 14 4 1
n n n n
n n n n n n nn n
 + − + −
= < = − 
+ + + + ++ +  
Vậy :
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 23 3 5 1
n
S
n n n
   
< − + − + + − = −   
+   
2
2 2 2
2 1 1 1
2 2( 2)4 4 4 4
n n
n
S S
n nn n n
< − < − = − ⇒ <
+ ++ + +
2001 2001
2 2001 2001
2001 2 1
2003 2003 4006
n S S= ⇒ < − = ⇒ < 
GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ 
Chứng minh rằng : 
1 1 1 1 2001
...
40063(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002)
+ + + + <
+ + + +
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
78 
Ví dụ 2: 
Giải : 
Vận dụng bất ñẳng thức a b a b− ≥ − . Dấu " "= xảy ra khi 0ab ≥ 
1 1
2 2
2008 2008
1 1
1 1
.......................
1 1
x x
x x
x x
 − ≥ −

− ≥ −


 − ≥ −
1 2 2008 1 2 2008
2008 1
1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1
so
E x x x x x x⇒ = − + − + + − ≥ + + + − + + + 
Hay 2009 2008 1E ≥ − = 
Dấu " "= xảy ra khi 1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , ..., 0
... 2009
x x x x x
x x x
 ≥

+ + + =
Vậy min 1E = khi 1 2 3 4 2008
1 2 2008
, , , ..., 0
... 2009
x x x x x
x x x
 ≥

+ + + =
Ví dụ 3: 
Giải : 
Ta có 2 2( , ) ( 1) ( 1) 5 5P x y x y= − + + + ≥ ,x y∀ ∈ ℝ 
Dấu " "= xảy ra khi 
1
1
x
y
 =
 =
Vậy min ( , ) 5P x y = khi ( ) ( ), 1;1x y = 
Ví dụ 4: 
Cho 
1 2 3 4 2008
, , , ...,x x x x x thoả mãn 
1 2 2008
... 2009x x x+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
1 2 2008
1 1 ... 1E x x x= − + − + + − 
Tìm GTNN của biểu thức 2 2( , ) 2 2 7P x y x y x y= + − + + . 
Cho 2 2 9 0x y z+ − − = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )P x y z= − + − + − . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
79 
Giải : 
Trong không gian Oxyz ta xét ñiểm ( )1;2;3A và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0x y zα + − − = 
Nếu ( ) ( ); ;M x y z α∈ thì 2 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )AM x y z= − + − + − 
Mà 
2 4 3 9
( ; ) 2
4 4 1
AM d A α
+ − −
≥ = =
+ +
 nên 2 2 2(1 ) (2 ) (3 ) 4P x y z= − + − + − ≥ . 
Dấu " "= xảy ra khi ( ); ;M x y z là chân ñường vuông góc hạ từ ( )1;2;3A lên mặt phẳng ( )α . 
Vậy min 4P = . 
Ví dụ 5: 
Giải : 
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−
2
2 2
( 2 1) 5.( 1) 9 5 9
1
1( 1) ( 1)
x x x
A
xx x
− + + − +
= = + +
−− −
ðặt 
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
2
2 5 11 111 9 3
6 6 6
A t t t
 
= + + = + + ≥ 
 
Dấu " "= xảy ra khi 5 1 5 13
8 1 8 5
t x
x
= − ⇔ = − ⇔ = −
−
2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +
2
2 2
3( 2 1) 2( 1) 1 2 1
3
1( 1) ( 1)
x x x
B
xx x
− + − − +
= = − +
−− −
Tìm GTNNcủa biểu thức 
2
2
3 5
, 1
( 1)
x x
A x
x
+ +
= ≠
−
2
2
3 8 6
( 1)
2 1
x x
B x
x x
− +
= ≠
− +
2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
80 
ðặt 
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
( )223 2 1 2 2B t t t= − + = − + ≥ 
Dấu " "= xảy ra khi 11 1 2
1
t x
x
= ⇔ = ⇔ =
−
Vậy min 2B = khi 2x = 
2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ 
Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi 
giới thiệu 5 cách giải ñộc ñáo . 
Cách 1 : 
2
22 2
1 3 1 3
2 2 2 2
N x x
      
   = + + + − +            
2 22 2
1 3 1 3
( ) 0 ( 0
2 2 2 2
N x x
      
   = − − + − − + − + −            
Trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy xét các ñiểm ( )1 3 1 3, , , , , 0
2 2 2 2
A B C x
   −
   −
   
   
Dựa vào hình vẽ ta có N AC CB AB= + ≥ 
2 1AC x x= + + , 2 1BC x x= − + 
Mà 
22
1 1 3 3
2 2
2 2 2 2
AB AB
  
 = + + + = ⇒ =      
Dấu " "= xảy ra khi , ,A B C thẳng hàng , hay 
0x = , nghĩa là C O≡ 
Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ : 
a b a b N a b+ ≥ + ⇒ ≥ +
     
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
81 
Chọn : 2 2
1 3 1 3
; 1, ; 1
2 2 2 2
a x a x x b x b x x
   
   = − + ⇒ = − + = + ⇒ = + +
   
   
   
( )
2
2(1; 3) 1 3 2 2a b a b N+ = ⇒ + = + = ⇒ ≥
   
Dấu " "= xảy ra khi 0a b x= ⇔ =

Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 3: 
Do 2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ , do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung 
bình nhân . 
Ta có : ( ) ( ) 42 2 4 242 1 1 2 1 2,N x x x x x x x≥ − + + + = + + ≥ ∈ ℝ 
Dấu " "= xảy ra khi 
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x
 + + = − +
⇔ =
+ + =
Vậy min 2N = khi 0x = 
Cách 4: 
Vì ( )
2
2 2 4 2
2
1 0,
0, 2 1 2 1
1 0,
x x x
N x N x x x
x x x
 − + ≥ ∀ ∈
⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = + + + +
+ + ≥ ∀ ∈
ℝ
ℝ
ℝ
Do 
2
4 2
1 1
1 1
x
x x
 + ≥

+ + ≥
. ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi 0x = , nên 2 4 2N N≥ ⇒ ≥ 
Vậy min 2N = khi 0x = 
 Cách 5: 
Dễ thấy ( ) 2 21 1,N f x x x x x x= = + + + − + ∈ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ . 
Với 
1 2
0x x∀ > > , ta có ( ) ( )1 20, 0f x f x> > nên dấu của ( ) ( )1 2f x f x− cũng là dấu của 
( ) ( )2 21 2f x f x− 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 2 4 21 2 1 2 1 1 2 22 2 1 1 .f x f x x x x x x x− == − + + + − + + 
Vì 
2 2
1 2
1 2 4 2 4 2
1 1 2 2
0
0
1 1
x x
x x
x x x x
 > >
> > ⇒ 
+ + ≥ + +
 nên ( ) ( )2 21 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > 
Suy ra ( ) ( )1 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > 
Với 0x > thì hàm số ( )f x luôn ñồng biến và 0x < thì hàm số ( )f x luôn nghịch biến và ( )0 2f = 
Vậy ( )f x ñạt ñược giá trị cực tiểu tại 0x = . Do ñó min 2N = khi 0x = . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
82 
Ví dụ 6: 
Giải : 
Ví dụ 7: 
Giải : 
2
2 2 2
3 6 10 4 4
3 3 7
2 2 2 2 ( 1) 1
x x
A
x x x x x
+ +
= = + = + ≤
+ + + + + +
Dấu " "= xảy ra khi 2( 1) 0 1x x+ = ⇔ = − 
Vậy max 7A = khi 1x = − 
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Vì 0x > nên 0M > .Do ñó 
1
max minM
M
→ ⇔ → 
2 2 2 2
21 1 2 .2000 2000 2.2000 2000 4.2000( 2000) .
x x x x x
x
M x x x
+ + − + +
= + = = 
21 ( 2000)
8000 8000
x
M x
−
= + ≥ 
Tìm GTLNcủa biểu thức 
2
2
3 6 10
2 2
x x
A
x x
+ +
=
+ +
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Tìm GTLN và NN của biểu thức 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
83 
Dấu " "= xảy ra khi 2000x = 
1 1
min 8000 max
8000
M
M
= → = 
Vậy 
1
max
8000
M = khi 2000x = 
Ví dụ 8: 
Giải : 
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 10 3
, 3 2 5 3 0, *
3 2 1
x x
A x A x A x A x
x x
+ +
= ∀ ∈ ⇔ − + − + − = ∀ ∈
+ +
ℝ ℝ 
• 23 2 0 ,
3
A A x− = ⇔ = ∀ ∈ ℝ 
• 23 2 0 ,
3
A A x− ≠ ⇔ ≠ ∀ ∈ ℝ phương trình ( )* là phương trình bậc 2 ñối với x . Do ñó phương 
trình ( )* có nghiệm nếu ( ) ( ) ( )2 55 4 3 2 3 0 7
2
A A A A∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ 
Vậy 
5
max 7,min
2
A A= = 
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ 
ðặt tan 2,
2 2
u x x
π π−
= < < 
4 2 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
3 tan 4 tan 3 3cos 4 sin cos 3 sin sin 2
( ) 3
2(1 tan ) (sin cos )
u u u u u u u
A g u
u u u
+ + + +
= = = = −
+ +
Vì 2
5 5
5 min ( ) min
0 sin 2 1 ( ) 3 2 2
2 max ( ) 3 max 3
g u B
u g u
g u B
 
= = 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒ 
 = = 
Ví dụ 9: 
Giải : 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 
2
2
2 10 3
,
3 2 1
x x
A x
x x
+ +
= ∈
+ +
ℝ 
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ 
Cho 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T xy yz zx= + + . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
84 
Ta có 2 2 2 2( ) 0 2( ) 0x y z x y z xy yz zx+ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ hay 
1
1 2 0
2
T T+ ≥ ⇔ ≥ − 
Dấu " "= xảy ra chẳng hạn khi 
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = − 
Vậy 
1
min
2
T = − chẳng hạn khi 
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = − 
Mặt khác 
2
2 2 2 2
2
( ) 0
( ) 0 2( ) 2( )
( ) 0
x y
y z x y z xy yz zx
z x
 − ≥

− ≥ ⇒ + + ≥ + +
 − ≥
 hay 2 2 1T T≥ ⇔ ≤ 
Dấu " "= xảy ra khi 
3
3
x y z= = = ± 
Vậy max 1T = khi 
3
3
x y z= = = ± 
Ví dụ 10: 
Giải : 
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. 
2
1 1 (1 )(1 )
xyx y
x y x y
+ ≥
+ + + +
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )x y x y
+ ≥
+ + + +
Cộng vế theo vế , ta ñược: 
( )
22 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+ +
≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ +
+ + + +
Dấu " "= xảy ra khi 0x y= > 
Ví dụ 11: 
Giải : 
Chứng minh rằng với mọi 0, 0x y> > , ta luôn có ( )
2
(1 )(1 ) 1x y xy+ + ≥ + . 
Cho 4a ≥ , chứng minh rằng : 1 17
4
a
a
+ ≥ 
. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
85 
Ta có : 
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + + 
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương 
16
a
 và 
1
a
 . 
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2
a a
a a
+ ≥ = = 
Mà 
15 15 15
4 .4
16 16 4
a
a ≥ ⇒ ≥ = 
Vậy :
1 1 15 17
16 16 4
a a
a
a a
+ = + + ≥ 
Dấu " "= xảy ra khi 4a = . 
Ví dụ 12: 
Giải : 
ðặt 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1A
a b c a b c a b b c a c a b c
         
= + + + = + + + + + + +         
         
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược: 
3
2 2 2 3 3 3
3 3 1 1
1 1A
abc abca b c a b c
 
≥ + + + = + 
 
Và 
3
1 1
8 8
3 8
+ + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ 
 
a b c
abc abc
abc
Vậy : 
3
1 729
1
8 512
A
 
≥ + = 
 
. Dấu " "= xảy ra khi 2a b c= = = . 
Cho 0x y> ≥ . Chứng minh rằng : 
2
4
3
( )( 1)
x
x y y
+ ≥
− +
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 
2
8
2 2 , 1, 1,
( )( 1)
x y y y
x y y
− + +
− +
2
4
2 2
8 8
2 2 2( 1) 4 2( )( 1)
( )( 1) ( )( 1)
x y y x y y
x y y x y y
⇒ − + + + ≥ − +
− + − +
2 2
4 4
1 4 3
( )( 1) ( )( 1)
x x
x y y x y y
⇔ + + ≥ ⇔ + ≥
− + − +
Cho ... DỤNG THỰC TẾ 
Ví dụ 1: 
Giải : 
Gọi x là bán kính ñáy . ðể hộp kim loại hình trụ có thể tích 2V x hπ= thì hiều cao của hộp là 
2
V
h
xπ
= . 
Lượng kim loại ñể làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp : ( ) 2 22 2 . , 0
V
S x x x x
x
π π
π
= + > 
Sự biến thiên của ( ) ( ) ( ) 32' 2 2 , ' 0 2
V V
S x S x x S x x
x
π
π
 
= − = ⇔ = 
 
( )'S x ñổi dấu từ âm sang dương nên hàm số ( )S x ñạt ñiểm cực tiểu tại 3
2
V
x
π
= . 
Vậy : 3 3
4
,
2
V V
r h
π π
= = 
Ví dụ 2: 
Giải : 
Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x , cạnh còn lại thứ hai là y , ta có 6 16 10x y y x+ + = ⇒ = − 
Diện tích tam giác : (theo công thức hêrông). 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26 4 8 8 4 10 16,0 10S x p p p x p y x y x x x= − − − = − − = − + − < < 
( ) ( )
2
5
' 4 ' 0 5
10 16
x
S x S x x
x x
−
= = ⇔ =
− + −
( )'S x ñổi dấu từ dương sang âm nên hàm số ( )S x ñạt ñiểm cực ñại tại 5x = . Diện tích tam giác lớn 
nhất khi mỗi cạnh còn lại dài ( )5 cm .Khi ñó diện tích lớn nhất : ( ) 12S x = 
Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước . Tìm bán kính ñáy r và 
ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất . 
Chu vi của một tam giác là ( )16 cm , ñộ dài của một cạnh tam giác là ( )6 cm . Tìm hai cạnh còn lại 
của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
110 
Ví dụ 2: 
Giải: 
Thể tích hình hộp là ( )2 3 2
500
500 , 0V x h cm h x
x
= = ⇒ = > 
Diện tích của mảnh cáctông dùng làm hình hộp là : ( ) 2 2 20004 , 0S x x xh x x
x
= + = + > 
Bài toán trở thành tìm 0x > sao cho tại ñó ( )S x ñạt giá trị nhỏ nhất . 
Ta có ( ) ( )
3
2 2
2 10002000
' 2 , 0
x
S x x x
x x
−
= − = > 
 ( )' 0 10S x x= ⇔ = 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng ( )0;+∞ 
x 0 10 +∞ 
( )'S x − 0 + 
( )S x 
 300 
Vậy ( )10x cm= thì min ( ) 300S x = . 
Ví dụ 3: 
Giải : 
ðặt , 0 2 2
2
a
BM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − 
Trong tam giác vuông BMQ có  tan .tan 3
QM
QBM QM BM QBM x
BM
= ⇒ = = 
Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cáctông . Hộp có ñáy là hình vuộng cạnh ( )x cm , 
ñường cao là ( )h cm và có thể tích là 3500cm . Gọi ( )S x là diện tích của mảnh cáctông. Tìm 
( )x cm sao cho ( )S x nhỏ nhất . 
Cho một tam giác ñều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm 
trên cạnh BC , hai ñỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác ñịnh 
vị trí ñiểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ñó. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
111 
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là ( ) ( ). 2 3S x MNQM a x x= = − 
Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 3, 0;
2
a
S x a x x x
 
= − ∈  
 
( ) ( )' 4 3 3, 0; ' 0
2 4
a a
S x x a x S x x
 
= − + ∈ = ⇔ = 
 
Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng 0;
2
a 
 
 
x 0 
4
a
2
a
( )'S x + 0 − 
( )S x 
2 3
8
a
 0 0 
Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 
2 3
8
a
 khi 
4
a
x = 
Ví dụ 4: 
Giải : 
Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi ñơn vị diện tích 
mặt hồ trung bình cân nặng : ( ) ( ) ( ) *. 480 20 ,f n n P n n n n N= = − ∈ 
( ) ( )' 480 40 ' 0 12f n n f n n= − = ⇔ = 
Vậy ñể thu ñược nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ là 12n = con cá. 
Ví dụ 16: 
Trong các hình chữ nhật có chu vi là ( )40 cm , hãy các ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. 
Giải : 
Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật có chiều dài ( )x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là ( )20 cm . Chiều 
dài cạnh kia là ( )20 x cm− . Diện tích hình chữ nhật là : ( ) ( )20 ,0 20S x x x x= − ≤ ≤ 
( ) ( )' 20 2 , 0 20 ' 0 10S x x x S x x= − < < = ⇔ = 
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt 
hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng ( ) ( )480 20P n n gam= − . Hỏi phải thả 
bao nhiêu cá trên một ñơn vị diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất ?. 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
112 
Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi 10x = . Trong các hình chữ nhật chu vi ( )40 cm , hình vuông cạnh 
( )10 cm có diện tích lớn nhất bằng ( )2100 cm 
Ví dụ 5: 
Giải : 
Gọi 0
2
a
x x
 
< < 
 
là ñộ dài của cạnh của hình vuông bị cắt . 
Thể tích của khối hộp là ( ) ( ) ( )22 ,0 ' 2 6 , 0
2 2
a a
V x a x x V a x a x x= − < < ⇒ = − − < < 
( ) ( ) 3
0
2
2 6 0
2
' 0 max6
6 270 2 0
2
a
x
aa x a x
a ax
V V Va
x a x < <
 − − =  = 
⇒ = ⇔ ⇔ ⇒ = =   

Ví dụ 6: 
Giải : 
1) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta có : ( )
, 0 0 , 8
82 16
x y x y
y xx y
 > < < 
⇔  = −+ =  
Diện tích hình chữ nhật là ( ) 2
0 8
8 8 ,0 8 max 16 4
x
S xy x x x x x S khi x y
< <
= = − = − < < ⇒ = = = 
2) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta có : 
, 0, 0
4848
x yx y
xy y
x
 > > 
⇔ = =  
Chu vi của hình chữ nhật là ( ) ( )
0
48
2 2 , 0 min 4 3 16 3
x
p x y x x p p
x >
 
= + = + > ⇒ = = 
 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : 
( ) 2) 2 5a f x x x= + − trên ñoạn 2;3 −  
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau , rồi gập 
tấm nhôm lại ñể ñược một cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích 
của khối hộp là lớn nhất . 
1) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất . 
2) Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích 248m , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
113 
( )
3
2) 2 3 4
3
x
b f x x x= + + − trên ñoạn 4;0 −  
( ) 1)c f x x
x
= + trên khoảng ( )0;+∞ 
( ) 2) 2 4d f x x x= − + + trên ñoạn 2;4   
( )
22 5 4
)
1
x x
e f x
x
+ +
=
+
 trên ñoạn 0 : 1   
( ) 1)f f x x
x
= − trên nửa khoảng (0 : 2 
( ) ( )36 2) 4 1g f x x x= + − trên ñoạn 21;
3
 
− 
 
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : 
( ) 3 2) 3 9 1a f x x x x= + − + trên ñoạn 4;4 −  
( ) 3) 5 4b f x x x= + − trên ñoạn 3;1 −  
( ) 4 2) 8 16c f x x x= − + trên ñoạn 1;3 −  
( ) 3) 3 3d f x x x= − + trên ñoạn 33;
2
 
− 
 
( ))
2
x
e f x
x
=
+
 trên nửa khoảng ( 2;4−  
( ) 1) 2
1
f f x x
x
= + +
−
 trên khoảng ( )1;+∞ 
( ) 2) 1g f x x x= − trên ñoạn 1;1 −  
( )) sin2h f x x x= − trên ñoạn ;
2
π
π
 
− 
 
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : 
( ) 2) 2 sin sin 1a f x x x= + − 
( ) 2) cos 2 sin .cos 4b f x x x x= − + 
( ) 3 2) cos 6 cos 9 cos 5c f x x x x= − + + 
( ) 3) sin cos2 sin 2d f x x x x= − + + 
( )) 1 2 sin 1 2 cose f x x x= + + + 
( ) 5) sin 3 cosf f x x x= + 
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
114 
4 2 26y x mx m= − + trên ñoạn 2;1 −  . 
2
2
2
24 4
x x
y
xx x
= + −
++ +
3 22 3 12 1y x x x= − − + trên ñoạn 
5
2;
2
 
− 
 
2cosy x x= + trên ñoạn 0;
2
π 
 
 
2 cos2 4 siny x x= + trên ñoạn 0;
2
π 
 
 
2. lny x x= trên ñoạn 1;e   
5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân ñược cho bởi công thức ( ) ( )20,025 30G x x x= − trong ñó 
( )x mg là liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân 
ñể huyết áp giảm nhiều nhất và tính ñộ giảm ñó . 
Hướng dẫn 
( ) ( )' 0 0, 20 , '' 20 0G x x x G= ⇔ = = < . Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều nhất là 
( )20 mg . ðộ giảm huyết áp là ( )20 100G = . 
6. Một con cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6 /km h . Nếu 
vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên là ( )/v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ ñược cho 
bởi công thức ( ) 3 ,E v cv t= trong ñó c là một hằng số , ( )E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước ñứng 
yên ñể năng lượng tiêu hao là ít nhất. 
Hướng dẫn : 
Vận tốc cá khi dòng nước ñứng yên là ( )/v km h , thì vận tốc của cá khi ngược dòng nước là 
( )6 /v km h− 
Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách 300s km= là 
300
6
t
v
=
−
Năng lượng tiêu hao của cá 
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 3
2
300 2 18
, 6 ' 300 min 9
6 6
v v
E v cv t cv J v E v c E v khi v
v v
−
= = > ⇒ = ⇒ =
− −
7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát 
hiện bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t là ( ) 2 345 , 0;25f t t t t  = − ∈   . Nếu coi ( )f t là hàm số xác 
ñịnh trên ñoạn 0;25   thì ñạo hàm ( )'f t ñược xem là tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) tại thời ñiểmt . 
)a Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm . 
)b Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc ñộ ñó. 
)c Xác ñịnh các ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn hơn 600 . 
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 
115 
)d Xét chiều biến thiên của hàm số ( )f t trên ñoạn 0;25   . 
Hướng dẫn : 
( ) 2 345 , 0;25f t t t t  = − ∈   
)a ( ) ( ) ( )' 3 30 ' 5 375f t t t f= − ⇒ = 
)b ( ) ( ) ( )'' 90 6 max ' ' 15 675f t t f t f= − ⇒ = = 
)c ( ) ( )' 3 30 600 10 20f t t t t= − > ⇔ < < 
)d ( ) ( )' 3 30 0, 0 25f t t t t= − > < < ⇒Hàm số ( )f t ñồng biến trên ñoạn 0;25   . 
8. Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB và hai cạnh bên ñều dài 1m . Tính góc  DAB CBAα = = sao 
cho hình thang có diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất ñó.Giả sử  , 0
2
ADC x x
π
= < < 
Hướng dẫn : 
( ), sin ; cos ; 1 2 cos 1 cos sin , 0
2 2
AB CD
AH CD AH x DH x DC x S AH x x x
π+
⊥ = = = + ⇒ = = + < <
9. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác ñịnh tam giác có diện 
tích lớn nhất . 
Hướng dẫn : 
Gọi ,x y là ñộ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm , 0 10,x< < 
0 10y< < và ( ) ( ) ( )22 2 2 21 1 1 100 ,0 100
2 4 4
S xy cm S xy x x x= ⇒ = = − < < với 2 2 100x y+ = 
10. Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ ñứng . Hai mặt bên ' ', ' 'ABB A ACC A là 
hai tấm kính hình chữ nhật ( ) ( ) ( )' 20 , ' ' 5 ,AA m A B m BC x m= = = . 
)a Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x 
)b Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất ñó . 
Hướng dẫn : 
( ) ( )2 0;105 100 ,0 10 max 5 2 250xV x x x V V∈= − < < ⇒ = = . 
Giải hệ phương trình : 
sin
sin 2 2 sin cos 1
, 0;
4
x y sinxe
y
y cos y x x
x y
π
−

 =

− = + −
  
 ∈ 
  

Tài liệu đính kèm:

  • pdfGTLNGTNN cuc hay ko xem se tiec.pdf