• Hàm số f (x) xác định và có liên tục trên đoạn [ a b] thì f'(x) xác định trên khoảng (a ;b) .
• Hàm số f (x) xác định và có liên tục trên nửa đoạn [a b) hay (a b] thì f'(x) xác định trên khoảng (a ;b)
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 77 TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Hàm số ( )f x xác ñịnh và có liên tục trên ñoạn ;a b thì ( )'f x xác ñịnh trên khoảng ( );a b . • Hàm số ( )f x xác ñịnh và có liên tục trên nửa ñoạn ) ( ; ;a b hay a b thì ( )'f x xác ñịnh trên khoảng ( );a b . • Hàm số có thể không ñạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một tập hợp số thực cho trước . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2 ; ; max max , , ... , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b ∈ ∈ • = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2 ; ; min min , , ... , i x a b x a b f x f a f x f x f x f b ∈ ∈ • = ( ) ( )( ) 0 0 , max ,x D x D f x M M f x x D f x M∈ ∀ ∈ ≤ • = ⇔ ∃ ∈ = ( ) ( )( ) 0 0 , min ,x D x D f x m m f x x D f x m∈ ∀ ∈ ≥ • = ⇔ ∃ ∈ = CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Giải : Xét : 2 1 ( 1 ) 1 1 1 1 2(2 1)( 1) 2 ( 1) 14 4 1 n n n n n n n n n n nn n + − + − = < = − + + + + ++ + Vậy : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 23 3 5 1 n S n n n < − + − + + − = − + 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2( 2)4 4 4 4 n n n S S n nn n n < − < − = − ⇒ < + ++ + + 2001 2001 2 2001 2001 2001 2 1 2003 2003 4006 n S S= ⇒ < − = ⇒ < GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ Chứng minh rằng : 1 1 1 1 2001 ... 40063(1 2) 5( 2 3) 7( 3 4) 4003( 2001 2002) + + + + < + + + + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 78 Ví dụ 2: Giải : Vận dụng bất ñẳng thức a b a b− ≥ − . Dấu " "= xảy ra khi 0ab ≥ 1 1 2 2 2008 2008 1 1 1 1 ....................... 1 1 x x x x x x − ≥ − − ≥ − − ≥ − 1 2 2008 1 2 2008 2008 1 1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 so E x x x x x x⇒ = − + − + + − ≥ + + + − + + + Hay 2009 2008 1E ≥ − = Dấu " "= xảy ra khi 1 2 3 4 2008 1 2 2008 , , , ..., 0 ... 2009 x x x x x x x x ≥ + + + = Vậy min 1E = khi 1 2 3 4 2008 1 2 2008 , , , ..., 0 ... 2009 x x x x x x x x ≥ + + + = Ví dụ 3: Giải : Ta có 2 2( , ) ( 1) ( 1) 5 5P x y x y= − + + + ≥ ,x y∀ ∈ ℝ Dấu " "= xảy ra khi 1 1 x y = = Vậy min ( , ) 5P x y = khi ( ) ( ), 1;1x y = Ví dụ 4: Cho 1 2 3 4 2008 , , , ...,x x x x x thoả mãn 1 2 2008 ... 2009x x x+ + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 2008 1 1 ... 1E x x x= − + − + + − Tìm GTNN của biểu thức 2 2( , ) 2 2 7P x y x y x y= + − + + . Cho 2 2 9 0x y z+ − − = . Tìm GTNN của biểu thức 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )P x y z= − + − + − . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 79 Giải : Trong không gian Oxyz ta xét ñiểm ( )1;2;3A và mặt phẳng ( ) : 2 2 9 0x y zα + − − = Nếu ( ) ( ); ;M x y z α∈ thì 2 2 2 2(1 ) (2 ) (3 )AM x y z= − + − + − Mà 2 4 3 9 ( ; ) 2 4 4 1 AM d A α + − − ≥ = = + + nên 2 2 2(1 ) (2 ) (3 ) 4P x y z= − + − + − ≥ . Dấu " "= xảy ra khi ( ); ;M x y z là chân ñường vuông góc hạ từ ( )1;2;3A lên mặt phẳng ( )α . Vậy min 4P = . Ví dụ 5: Giải : 2 2 3 5 , 1 ( 1) x x A x x + + = ≠ − 2 2 2 ( 2 1) 5.( 1) 9 5 9 1 1( 1) ( 1) x x x A xx x − + + − + = = + + −− − ðặt 1 , 0 1 t t x = ≠ − 2 2 5 11 111 9 3 6 6 6 A t t t = + + = + + ≥ Dấu " "= xảy ra khi 5 1 5 13 8 1 8 5 t x x = − ⇔ = − ⇔ = − − 2 2 3 8 6 ( 1) 2 1 x x B x x x − + = ≠ − + 2 2 2 3( 2 1) 2( 1) 1 2 1 3 1( 1) ( 1) x x x B xx x − + − − + = = − + −− − Tìm GTNNcủa biểu thức 2 2 3 5 , 1 ( 1) x x A x x + + = ≠ − 2 2 3 8 6 ( 1) 2 1 x x B x x x − + = ≠ − + 2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 80 ðặt 1 , 0 1 t t x = ≠ − ( )223 2 1 2 2B t t t= − + = − + ≥ Dấu " "= xảy ra khi 11 1 2 1 t x x = ⇔ = ⇔ = − Vậy min 2B = khi 2x = 2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi giới thiệu 5 cách giải ñộc ñáo . Cách 1 : 2 22 2 1 3 1 3 2 2 2 2 N x x = + + + − + 2 22 2 1 3 1 3 ( ) 0 ( 0 2 2 2 2 N x x = − − + − − + − + − Trên mặt phẳng toạ ñộ Oxy xét các ñiểm ( )1 3 1 3, , , , , 0 2 2 2 2 A B C x − − Dựa vào hình vẽ ta có N AC CB AB= + ≥ 2 1AC x x= + + , 2 1BC x x= − + Mà 22 1 1 3 3 2 2 2 2 2 2 AB AB = + + + = ⇒ = Dấu " "= xảy ra khi , ,A B C thẳng hàng , hay 0x = , nghĩa là C O≡ Vậy min 2N = khi 0x = Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ : a b a b N a b+ ≥ + ⇒ ≥ + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 81 Chọn : 2 2 1 3 1 3 ; 1, ; 1 2 2 2 2 a x a x x b x b x x = − + ⇒ = − + = + ⇒ = + + ( ) 2 2(1; 3) 1 3 2 2a b a b N+ = ⇒ + = + = ⇒ ≥ Dấu " "= xảy ra khi 0a b x= ⇔ = Vậy min 2N = khi 0x = Cách 3: Do 2 21 1,N x x x x x= + + + − + ∈ ℝ , do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân . Ta có : ( ) ( ) 42 2 4 242 1 1 2 1 2,N x x x x x x x≥ − + + + = + + ≥ ∈ ℝ Dấu " "= xảy ra khi 2 2 4 2 1 1 0 1 1 x x x x x x x + + = − + ⇔ = + + = Vậy min 2N = khi 0x = Cách 4: Vì ( ) 2 2 2 4 2 2 1 0, 0, 2 1 2 1 1 0, x x x N x N x x x x x x − + ≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = + + + + + + ≥ ∀ ∈ ℝ ℝ ℝ Do 2 4 2 1 1 1 1 x x x + ≥ + + ≥ . ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi 0x = , nên 2 4 2N N≥ ⇒ ≥ Vậy min 2N = khi 0x = Cách 5: Dễ thấy ( ) 2 21 1,N f x x x x x x= = + + + − + ∈ℝ là hàm số chẵn x ∈ ℝ . Với 1 2 0x x∀ > > , ta có ( ) ( )1 20, 0f x f x> > nên dấu của ( ) ( )1 2f x f x− cũng là dấu của ( ) ( )2 21 2f x f x− ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 2 4 21 2 1 2 1 1 2 22 2 1 1 .f x f x x x x x x x− == − + + + − + + Vì 2 2 1 2 1 2 4 2 4 2 1 1 2 2 0 0 1 1 x x x x x x x x > > > > ⇒ + + ≥ + + nên ( ) ( )2 21 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > Suy ra ( ) ( )1 2 1 20, 0f x f x x x− > ∀ > > Với 0x > thì hàm số ( )f x luôn ñồng biến và 0x < thì hàm số ( )f x luôn nghịch biến và ( )0 2f = Vậy ( )f x ñạt ñược giá trị cực tiểu tại 0x = . Do ñó min 2N = khi 0x = . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 82 Ví dụ 6: Giải : Ví dụ 7: Giải : 2 2 2 2 3 6 10 4 4 3 3 7 2 2 2 2 ( 1) 1 x x A x x x x x + + = = + = + ≤ + + + + + + Dấu " "= xảy ra khi 2( 1) 0 1x x+ = ⇔ = − Vậy max 7A = khi 1x = − 2 , 0 ( 2000) x M x x = > + Vì 0x > nên 0M > .Do ñó 1 max minM M → ⇔ → 2 2 2 2 21 1 2 .2000 2000 2.2000 2000 4.2000( 2000) . x x x x x x M x x x + + − + + = + = = 21 ( 2000) 8000 8000 x M x − = + ≥ Tìm GTLNcủa biểu thức 2 2 3 6 10 2 2 x x A x x + + = + + 2 , 0 ( 2000) x M x x = > + Tìm GTLN và NN của biểu thức Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 83 Dấu " "= xảy ra khi 2000x = 1 1 min 8000 max 8000 M M = → = Vậy 1 max 8000 M = khi 2000x = Ví dụ 8: Giải : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 10 3 , 3 2 5 3 0, * 3 2 1 x x A x A x A x A x x x + + = ∀ ∈ ⇔ − + − + − = ∀ ∈ + + ℝ ℝ • 23 2 0 , 3 A A x− = ⇔ = ∀ ∈ ℝ • 23 2 0 , 3 A A x− ≠ ⇔ ≠ ∀ ∈ ℝ phương trình ( )* là phương trình bậc 2 ñối với x . Do ñó phương trình ( )* có nghiệm nếu ( ) ( ) ( )2 55 4 3 2 3 0 7 2 A A A A∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤ Vậy 5 max 7,min 2 A A= = 2 2 2 2 12 8 3 , (2 1) x x B x x + + = ∈ + ℝ ðặt tan 2, 2 2 u x x π π− = < < 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 3 tan 4 tan 3 3cos 4 sin cos 3 sin sin 2 ( ) 3 2(1 tan ) (sin cos ) u u u u u u u A g u u u u + + + + = = = = − + + Vì 2 5 5 5 min ( ) min 0 sin 2 1 ( ) 3 2 2 2 max ( ) 3 max 3 g u B u g u g u B = = ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒ = = Ví dụ 9: Giải : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 10 3 , 3 2 1 x x A x x x + + = ∈ + + ℝ 2 2 2 2 12 8 3 , (2 1) x x B x x + + = ∈ + ℝ Cho 2 2 2 1x y z+ + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : T xy yz zx= + + . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 84 Ta có 2 2 2 2( ) 0 2( ) 0x y z x y z xy yz zx+ + ≥ ⇒ + + + + + ≥ hay 1 1 2 0 2 T T+ ≥ ⇔ ≥ − Dấu " "= xảy ra chẳng hạn khi 1 1 0; ; 2 2 x y z= = = − Vậy 1 min 2 T = − chẳng hạn khi 1 1 0; ; 2 2 x y z= = = − Mặt khác 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 2( ) 2( ) ( ) 0 x y y z x y z xy yz zx z x − ≥ − ≥ ⇒ + + ≥ + + − ≥ hay 2 2 1T T≥ ⇔ ≤ Dấu " "= xảy ra khi 3 3 x y z= = = ± Vậy max 1T = khi 3 3 x y z= = = ± Ví dụ 10: Giải : Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân. 2 1 1 (1 )(1 ) xyx y x y x y + ≥ + + + + 1 1 1 2 1 1 (1 )(1 )x y x y + ≥ + + + + Cộng vế theo vế , ta ñược: ( ) 22 1 1 2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) xy xy xy x y x y xy x y x y + + ≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ + + + + + Dấu " "= xảy ra khi 0x y= > Ví dụ 11: Giải : Chứng minh rằng với mọi 0, 0x y> > , ta luôn có ( ) 2 (1 )(1 ) 1x y xy+ + ≥ + . Cho 4a ≥ , chứng minh rằng : 1 17 4 a a + ≥ . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 85 Ta có : 1 1 15 16 16 a a a a a + = + + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương 16 a và 1 a . 1 1 1 1 2 . 2 16 16 16 2 a a a a + ≥ = = Mà 15 15 15 4 .4 16 16 4 a a ≥ ⇒ ≥ = Vậy : 1 1 15 17 16 16 4 a a a a a + = + + ≥ Dấu " "= xảy ra khi 4a = . Ví dụ 12: Giải : ðặt 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1A a b c a b c a b b c a c a b c = + + + = + + + + + + + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược: 3 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 1 1A abc abca b c a b c ≥ + + + = + Và 3 1 1 8 8 3 8 + + ≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ a b c abc abc abc Vậy : 3 1 729 1 8 512 A ≥ + = . Dấu " "= xảy ra khi 2a b c= = = . Cho 0x y> ≥ . Chứng minh rằng : 2 4 3 ( )( 1) x x y y + ≥ − + Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương 2 8 2 2 , 1, 1, ( )( 1) x y y y x y y − + + − + 2 4 2 2 8 8 2 2 2( 1) 4 2( )( 1) ( )( 1) ( )( 1) x y y x y y x y y x y y ⇒ − + + + ≥ − + − + − + 2 2 4 4 1 4 3 ( )( 1) ( )( 1) x x x y y x y y ⇔ + + ≥ ⇔ + ≥ − + − + Cho ... DỤNG THỰC TẾ Ví dụ 1: Giải : Gọi x là bán kính ñáy . ðể hộp kim loại hình trụ có thể tích 2V x hπ= thì hiều cao của hộp là 2 V h xπ = . Lượng kim loại ñể làm hộp bằng diện tích toàn phần của hộp : ( ) 2 22 2 . , 0 V S x x x x x π π π = + > Sự biến thiên của ( ) ( ) ( ) 32' 2 2 , ' 0 2 V V S x S x x S x x x π π = − = ⇔ = ( )'S x ñổi dấu từ âm sang dương nên hàm số ( )S x ñạt ñiểm cực tiểu tại 3 2 V x π = . Vậy : 3 3 4 , 2 V V r h π π = = Ví dụ 2: Giải : Gọi một cạnh còn lại của tam giác là x , cạnh còn lại thứ hai là y , ta có 6 16 10x y y x+ + = ⇒ = − Diện tích tam giác : (theo công thức hêrông). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 26 4 8 8 4 10 16,0 10S x p p p x p y x y x x x= − − − = − − = − + − < < ( ) ( ) 2 5 ' 4 ' 0 5 10 16 x S x S x x x x − = = ⇔ = − + − ( )'S x ñổi dấu từ dương sang âm nên hàm số ( )S x ñạt ñiểm cực ñại tại 5x = . Diện tích tam giác lớn nhất khi mỗi cạnh còn lại dài ( )5 cm .Khi ñó diện tích lớn nhất : ( ) 12S x = Người ta ñịnh làm một cái hộp kim loại hình trụ có thể tích V cho trước . Tìm bán kính ñáy r và ñường cao h của hình trụ sao cho ít tốn kim loại nhất . Chu vi của một tam giác là ( )16 cm , ñộ dài của một cạnh tam giác là ( )6 cm . Tìm hai cạnh còn lại của tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 110 Ví dụ 2: Giải: Thể tích hình hộp là ( )2 3 2 500 500 , 0V x h cm h x x = = ⇒ = > Diện tích của mảnh cáctông dùng làm hình hộp là : ( ) 2 2 20004 , 0S x x xh x x x = + = + > Bài toán trở thành tìm 0x > sao cho tại ñó ( )S x ñạt giá trị nhỏ nhất . Ta có ( ) ( ) 3 2 2 2 10002000 ' 2 , 0 x S x x x x x − = − = > ( )' 0 10S x x= ⇔ = Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng ( )0;+∞ x 0 10 +∞ ( )'S x − 0 + ( )S x 300 Vậy ( )10x cm= thì min ( ) 300S x = . Ví dụ 3: Giải : ðặt , 0 2 2 2 a BM x x NM BC BM a x= < < ⇒ = − = − Trong tam giác vuông BMQ có tan .tan 3 QM QBM QM BM QBM x BM = ⇒ = = Một hộp không nắp ñược làm từ một mảnh cáctông . Hộp có ñáy là hình vuộng cạnh ( )x cm , ñường cao là ( )h cm và có thể tích là 3500cm . Gọi ( )S x là diện tích của mảnh cáctông. Tìm ( )x cm sao cho ( )S x nhỏ nhất . Cho một tam giác ñều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai ñỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác ñịnh vị trí ñiểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất ñó. Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 111 Diện tích hình chữ nhật MNPQ là ( ) ( ). 2 3S x MNQM a x x= = − Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 3, 0; 2 a S x a x x x = − ∈ ( ) ( )' 4 3 3, 0; ' 0 2 4 a a S x x a x S x x = − + ∈ = ⇔ = Bảng biến thiên của ( )S x trên khoảng 0; 2 a x 0 4 a 2 a ( )'S x + 0 − ( )S x 2 3 8 a 0 0 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 2 3 8 a khi 4 a x = Ví dụ 4: Giải : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ , số cá trên mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng : ( ) ( ) ( ) *. 480 20 ,f n n P n n n n N= = − ∈ ( ) ( )' 480 40 ' 0 12f n n f n n= − = ⇔ = Vậy ñể thu ñược nhiều nhất sau một vụ thu hoạch cần thả mỗi ñơn vị diện tích mặt hồ là 12n = con cá. Ví dụ 16: Trong các hình chữ nhật có chu vi là ( )40 cm , hãy các ñịnh hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Giải : Gọi một cạnh bất kỳ của hình chữ nhật có chiều dài ( )x cm . Tổng chiều dài hai cạnh là ( )20 cm . Chiều dài cạnh kia là ( )20 x cm− . Diện tích hình chữ nhật là : ( ) ( )20 ,0 20S x x x x= − ≤ ≤ ( ) ( )' 20 2 , 0 20 ' 0 10S x x x S x x= − < < = ⇔ = Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ ,một nhà sinh học thấy rằng : Nếu trên mỗi ñơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau vụ cân nặng ( ) ( )480 20P n n gam= − . Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một ñơn vị diện tích của mặt hồ ñể sau một vụ thu hoạch ñược nhiều nhất ?. Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 112 Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi 10x = . Trong các hình chữ nhật chu vi ( )40 cm , hình vuông cạnh ( )10 cm có diện tích lớn nhất bằng ( )2100 cm Ví dụ 5: Giải : Gọi 0 2 a x x < < là ñộ dài của cạnh của hình vuông bị cắt . Thể tích của khối hộp là ( ) ( ) ( )22 ,0 ' 2 6 , 0 2 2 a a V x a x x V a x a x x= − < < ⇒ = − − < < ( ) ( ) 3 0 2 2 6 0 2 ' 0 max6 6 270 2 0 2 a x aa x a x a ax V V Va x a x < < − − = = ⇒ = ⇔ ⇔ ⇒ = = Ví dụ 6: Giải : 1) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật , ta có : ( ) , 0 0 , 8 82 16 x y x y y xx y > < < ⇔ = −+ = Diện tích hình chữ nhật là ( ) 2 0 8 8 8 ,0 8 max 16 4 x S xy x x x x x S khi x y < < = = − = − < < ⇒ = = = 2) Gọi ,x y là ñộ dài hai kích thước của hình chữ nhật, ta có : , 0, 0 4848 x yx y xy y x > > ⇔ = = Chu vi của hình chữ nhật là ( ) ( ) 0 48 2 2 , 0 min 4 3 16 3 x p x y x x p p x > = + = + > ⇒ = = BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : ( ) 2) 2 5a f x x x= + − trên ñoạn 2;3 − Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau , rồi gập tấm nhôm lại ñể ñược một cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất . 1) Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16cm , hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất . 2) Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích 248m , hãy tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 113 ( ) 3 2) 2 3 4 3 x b f x x x= + + − trên ñoạn 4;0 − ( ) 1)c f x x x = + trên khoảng ( )0;+∞ ( ) 2) 2 4d f x x x= − + + trên ñoạn 2;4 ( ) 22 5 4 ) 1 x x e f x x + + = + trên ñoạn 0 : 1 ( ) 1)f f x x x = − trên nửa khoảng (0 : 2 ( ) ( )36 2) 4 1g f x x x= + − trên ñoạn 21; 3 − 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : ( ) 3 2) 3 9 1a f x x x x= + − + trên ñoạn 4;4 − ( ) 3) 5 4b f x x x= + − trên ñoạn 3;1 − ( ) 4 2) 8 16c f x x x= − + trên ñoạn 1;3 − ( ) 3) 3 3d f x x x= − + trên ñoạn 33; 2 − ( )) 2 x e f x x = + trên nửa khoảng ( 2;4− ( ) 1) 2 1 f f x x x = + + − trên khoảng ( )1;+∞ ( ) 2) 1g f x x x= − trên ñoạn 1;1 − ( )) sin2h f x x x= − trên ñoạn ; 2 π π − 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau ñây : ( ) 2) 2 sin sin 1a f x x x= + − ( ) 2) cos 2 sin .cos 4b f x x x x= − + ( ) 3 2) cos 6 cos 9 cos 5c f x x x x= − + + ( ) 3) sin cos2 sin 2d f x x x x= − + + ( )) 1 2 sin 1 2 cose f x x x= + + + ( ) 5) sin 3 cosf f x x x= + 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 114 4 2 26y x mx m= − + trên ñoạn 2;1 − . 2 2 2 24 4 x x y xx x = + − ++ + 3 22 3 12 1y x x x= − − + trên ñoạn 5 2; 2 − 2cosy x x= + trên ñoạn 0; 2 π 2 cos2 4 siny x x= + trên ñoạn 0; 2 π 2. lny x x= trên ñoạn 1;e 5. ðộ giảm huyết áp của một bệnh nhân ñược cho bởi công thức ( ) ( )20,025 30G x x x= − trong ñó ( )x mg là liều lượng thuốc ñược tiêm cho bệnh nhân . Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân ñể huyết áp giảm nhiều nhất và tính ñộ giảm ñó . Hướng dẫn ( ) ( )' 0 0, 20 , '' 20 0G x x x G= ⇔ = = < . Lượng thuốc cần tiêm ñể giảm huyết áp nhiều nhất là ( )20 mg . ðộ giảm huyết áp là ( )20 100G = . 6. Một con cá hồi bơi ngược dòng ñể vượt một khoảng cách là 300km . Vận tốc nước là 6 /km h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên là ( )/v km h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ ñược cho bởi công thức ( ) 3 ,E v cv t= trong ñó c là một hằng số , ( )E J . Tìm vận tốc bơi của cá khi nước ñứng yên ñể năng lượng tiêu hao là ít nhất. Hướng dẫn : Vận tốc cá khi dòng nước ñứng yên là ( )/v km h , thì vận tốc của cá khi ngược dòng nước là ( )6 /v km h− Thời gian của cá bơi ngược dòng với khoảng cách 300s km= là 300 6 t v = − Năng lượng tiêu hao của cá ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 300 2 18 , 6 ' 300 min 9 6 6 v v E v cv t cv J v E v c E v khi v v v − = = > ⇒ = ⇒ = − − 7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát hiện bệnh nhân ñầu tiên ñến ngày thứ t là ( ) 2 345 , 0;25f t t t t = − ∈ . Nếu coi ( )f t là hàm số xác ñịnh trên ñoạn 0;25 thì ñạo hàm ( )'f t ñược xem là tốc ñộ truyền bệnh (người/ngày) tại thời ñiểmt . )a Tính tốc ñộ truyền bệnh vào ngày thứ năm . )b Xác ñịnh ngày mà tốc ñộ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc ñộ ñó. )c Xác ñịnh các ngày mà tốc ñộ truyền bệnh lớn hơn 600 . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 115 )d Xét chiều biến thiên của hàm số ( )f t trên ñoạn 0;25 . Hướng dẫn : ( ) 2 345 , 0;25f t t t t = − ∈ )a ( ) ( ) ( )' 3 30 ' 5 375f t t t f= − ⇒ = )b ( ) ( ) ( )'' 90 6 max ' ' 15 675f t t f t f= − ⇒ = = )c ( ) ( )' 3 30 600 10 20f t t t t= − > ⇔ < < )d ( ) ( )' 3 30 0, 0 25f t t t t= − > < < ⇒Hàm số ( )f t ñồng biến trên ñoạn 0;25 . 8. Hình thang cân ABCD có ñáy nhỏ AB và hai cạnh bên ñều dài 1m . Tính góc DAB CBAα = = sao cho hình thang có diện tích lớn nhất . Tính diện tích lớn nhất ñó.Giả sử , 0 2 ADC x x π = < < Hướng dẫn : ( ), sin ; cos ; 1 2 cos 1 cos sin , 0 2 2 AB CD AH CD AH x DH x DC x S AH x x x π+ ⊥ = = = + ⇒ = = + < < 9. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có ñộ dài cạnh bằng 10cm , hãy xác ñịnh tam giác có diện tích lớn nhất . Hướng dẫn : Gọi ,x y là ñộ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10cm , 0 10,x< < 0 10y< < và ( ) ( ) ( )22 2 2 21 1 1 100 ,0 100 2 4 4 S xy cm S xy x x x= ⇒ = = − < < với 2 2 100x y+ = 10. Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ ñứng . Hai mặt bên ' ', ' 'ABB A ACC A là hai tấm kính hình chữ nhật ( ) ( ) ( )' 20 , ' ' 5 ,AA m A B m BC x m= = = . )a Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x )b Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính thể tích lớn nhất ñó . Hướng dẫn : ( ) ( )2 0;105 100 ,0 10 max 5 2 250xV x x x V V∈= − < < ⇒ = = . Giải hệ phương trình : sin sin 2 2 sin cos 1 , 0; 4 x y sinxe y y cos y x x x y π − = − = + − ∈
Tài liệu đính kèm: