Lý thuyết – Toán Lớp 12: Ôn Thi TNTHPT

PHẦN I: GIẢI TÍCH
I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm :
Hàm số sơ cấp cơ bản
Hàm hợp ( Hàm mở rộng)
1) (C)’ = 0 ( C: hằng số )
2) (x)’ = 1
3) 
4) 
5) 
6) (sinx)’ = cosx
7) ( cosx)’ = - sinx
7) (tanx)’ =
8) 
9) (ex)’ = ex
10) (ax)’ = axlna ; (a: hằng số; a> 0)
11) 
12) 
* Ghi Chú: Các hàm số đều cĩ nghĩa
* 
* 
* 
* ( sinu)’ = u’.cosu
* ( cosu)’ = - u’.sinu
* 
* 
* (eu)’= eu.u’
* ( au)’ = aulna.u’
* (lnu)’= 
* ( logau)’ = 
( 
II) Qui tắc tính đạo hàm:
1) 
2) (u.v)’ = u’.v + u.v’
3) 
4) ()
III) Đơn điệu – cực trị . GTLN- GTNN . Lồi – lõm – điểm uốn
A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác định trên D
Hàm số tăng (đồng biến) trên D y’ ; 
Hàm số giảm ( nghịch biến) trên D 
B) Cực trị: Hàm số (C) : y = f(x)
Hàm số có cực trị y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó
Hàm số không có cực trị y’ không đổi dấu
Hàm số có 1 cực trị y’ đổi dấu 1 lần
Hàm số có n cực trị y’ đổi dấu n lần
Hàm số đạt cực trị x= x0 f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0
Hàm số đạt cực đại tại x = x0 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 
* Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc dạo hàm không xác định.
C) GTLN-GTNN:
* Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Từ đó xác định GTLN-GTNN
Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm y’. Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ; ...........;xi thuộc [a;b]
Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ........; f(xi) ; f(a) ; f(b)
Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm
IV) Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương)
Bước 1 : MXĐ : D = R
Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = ...)
Bước 5 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’)
Bước 6 : Điểm đặc biệt
Bước 7 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng
Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 )
Bước 1: MXĐ : D = ...
Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= ...)
Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận
Bước 4 : Bảng biến thiên
Bước 5 : Điểm đặc biệt
Bước 6 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng
V) Sự tương giao ( Vị trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)
Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ : 
Biện luận sự tương giao của (C) và (D) :
Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x)
Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình 	 Số giao điểm của (C) và (D). ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D)).
VI) Tiếp tuyến:
Dạng 1: Biết tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại điểm M(x0 ; y0) là :
	y – y0 = f’(x0)(x – x0)
Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là:
y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) là toạ độ tiếp điểm xác định bởi :
* Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1)
VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị. Cho hàm số (C) : y = f(x)
Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m)
@ Phương pháp:
* Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng)
* Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị:
(C) : y = f(x) ( Đã được vẽ)
(D) : y = g(m) ( đường thẳng cùng phương Ox và cắt Oy tại g(m)
* Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình
VII) Nguyên hàm – Tích phân
 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I) Bảng nguyên hàm :
Hàm sơ cấp
Hàm hợp
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Vấn đề 1: Diện tích hình phẳng:
(H) : Khi đĩ : Diện tích hình (H) là : 
Vấn đề 2: Cơng thức thể tích khối trịn xoay :
 Xoay quanh Ox : Thể tích là : V = 
VIII./ SỐ PHỨC
Số i : i2 = -1
Số phức dạng : z = a + bi Với : 
Mơđun của số phức : 
Số phức liên hợp của z = a + bi là 
a+ bi = c + di 
(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i
(a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : 
Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;)
Đặt 
Nếu = 0 thì phương trình cĩ một nghiệm kép(thực) : x = 
Nếu > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực : 
Nếu < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức : 
PHẦN II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Thể tích khối chĩp : V = ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
Thể tích khối lăng trụ : V = Bh . ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)
Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ kích thước a,b,c là : V = abc
Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a3
?Chú ý :
Trong các bài tốn ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chĩp OABC,trên các đoạn thẳng OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đĩ : .
Cơng thức về hình nĩn:Gọi l là độ dài đường sinh của hình nĩn,h là đường cao,r là bán kính đáy.
a/ Diện tích xung quanh: 
b/ Diện tích tồn phần : Sđáy.
c/ Thể tích khối nĩn: 
Cơng thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.
a/ Diện tích xung quanh: 
b/ Diện tích tồn phần : 2Sđáy.
c/ Thể tích khối trụ: ; (h = l)
Cơng thức của hình cầu:
a/ Diện tích mặt cầu: .
c/ Thể tích khối cầu: .
CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM
Cho hai vectơ : 
a) 
b) 
Tích vô hướng của hai vectơ: 
d)
Góc giữa hai vectơ :
Gọi .Khi đó : 
f) 
Cho hai điểm A(xA;yA; ZA) ; B(xB ; yB ; ZB )
Độ dài : AB = 
I là trung điểm AB.Ta có: 
G là trọng tâm tam giác ABC 
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Cho hai vectơ : 
Tích có hướng của 
MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:
(x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1)
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
Chú ý :
(2) là phương trình mặt cầu ĩ a2 + b2 + c2 – d > 0
(2) cĩ tâm I(a,b,c) ,bK R = > 0
KHOẢNG CÁCH
Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp : Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M0; ) = 
MẶT PHẲNG
Phương trình tổng quát của mp có dạng : Ax + By + CZ + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0) có :
VTPT : 
Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT thì mp có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Qua A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c) thì mp (ABC) là : ( Gọi là phương trình theo đoạn chắn)
()
4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) và có cặp VTCF thì VTPT là:là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
ĐƯỜNG THẲNG
Đường thẳng thì :
PTTS của : 
PTCT của : .(a1,a2,a3 )