Luyện thi Toán Số phức

SỐ PHỨC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Khái niệm số phức
	Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là số phức.
	a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.
	Tập hợp số phức được kí hiệu là C.
	Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên .
	Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Biểu diễn hình học
	Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mặt phẳng phức).
y
Trục ảo
Trục thực
M (a,b)
a
b
x
O
3. Hai số phức bằng nhau
4. Cộng và trừ hai số phức
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi
5. Nhân hai số phức
6. Số phức liên hợp 
Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là 
z là số thực 
z là số ảo 
7. Modul của số phức 
Cho số phức z = a + bi
8. Chia hai số phức
9. Căn bậc hai của số phức
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 
w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0
 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
Hai căn bậc hai của a > 0 là 
Hai căn bậc hai của a < 0 là 
10. Phương trình bậc hai
 (A, B, C là các số phức cho trước, 
Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực
Nếu là một nghiệm của (*) thì cũng là nghiệm của (*)
11. Dạng lượng giác của số phức
 là dạng lượng giác của số phức z = a + bi 
 là một acgumen của z, 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)
Giải: 
Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i
Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1.
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức 
Giải: 
Ta có: 
Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.
Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết 
Giải: 
Ta có: 
Phần ảo của số phức z bằng: 
Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm phần thực và phần ảo của z.
Giải: 
Gọi z = a + bi . Đẳng thức đã cho trở thành 6a + 4b - 2(a + b)i = 8 - 6i
Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5
Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của z.
Ta có: 
Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3
Dạng tìm môđun của số phức
Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn . Tìm môđun của số phức 
Giải: 
Ta có: 
Do đó 
Vậy 
Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: và là số thuần ảo.
Giải: 
Gọi z = a + bi , ta có: và 
Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: 
Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i.
Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: và .
Giải: 
Gọi z = a + bi , 
Ta có: 
Từ giả thiết ta có: 
và 
Giải hệ (1) và (2) ta được 
Vậy các số phức cần tìm là: hoặc 
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 
Giải:
Gọi z = x + yi , khi đó
Vậy các số phức cần tìm là: 
Giải phương trình trên tập hợp các số phức
Bài 1: (CD10) Giải phương trình trên tập hợp các số phức.
Giải: 
Phương trình có biệt thức 
Phương trình có hai nghiệm là: và 
Bài 2: (A09) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
Giải:
Ta có: 
Phương trình có hai nghiệm là: và 
 và 
Vậy 
Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 
Giải:
Điều kiện: 
Phương trình đã cho tương đương với 
Phương trình có biệt thức 
Phương trình có hai nghiệm là: và 
Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích)
Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện .
Giải: 
Gọi z = x + yi , ta có: 
Từ giả thiết ta có: 
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2.
Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
Giải: 
Gọi z = x + yi , ta có:
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = .