Luyện thi đại học Toán - Hệ phương trình đại số

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
1 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
Bài 1 : Giải hệ phương trình : 
a) 
2 7
( )( 2) 4
 

   
x y
x y x y
 b) 
2 2 102
69
    

  
x y x y
x xy y
HD : 
a) 
2 7 (1)
( )( 2) 4 (2)
 

   
x y
x y x y
Từ (1)  y=2x-7 thay vào (2) ta được : (3x-7)(-x+5)=4  -3x2+22x-39=0 
Khi đó : x=3 , y=-1 hoặc x=
13
3
 , y=
5
3
b) Biến đổi hệ : 
 
2
2 102
69
     

  
x y xy x y
x y xy
(là hệ đối xứng loại (I)) 
Đặt ẩn phụ : S=x+y, P=xy và S2-4P  0 
Ta có hệ đơn giản hơn : 
2 2 102 (1)
69 (2)
   

 
S P S
S P
Từ (2) P=69-S thay vào (1) ta được : S2-2(69-S)=S+102  S2+S-240 =0  S=15, S=-16 
i) S=15, P=54 => hệ có nghiệm : (x=9, y=6) hoặc (x=6, y=9) 
ii) S=-16,P=85 ( không thõa mãn) 
Bài 2 : Giải hệ phương trình 
a) 
2 2
2 2
2 7
2 7
  

 
x y x
y x y
 b) 
2 2
2
2 25
10
   

 
x xy y
xy y
HD 
a) 
2 2
2 2
2 7
2 7
  

 
x y x
y x y
 hệ đối xứng loại (II) 
Trừ theo vế của hai phương trình ta được : 3(x2-y2)=7(x-y)  (x-y)(3x+3y-7)=0 
x-y=0 . 3x+3y-7=0 
i) x=y , hệ có nghiệm : x=y=0 , x=y=-7 
ii) 3x+3y-7=0 => 
7 3
3


x
y Khi đó : x2 29 21 98 0  x x ( vô nghiệm ) 
b) 
2 2
2
2 25
10
   

 
x xy y
xy y
 ( hệ đẳng cấp ) 
i) x=0 , hoặc y=0 không thõa mãn 
ii) x, y khác 0 , đặt y=tx , hệ phương trình trở thành : 
2 2 2 2
2 2 2
2 25
10
   

 
x tx t x
tx t x
  
2
2 2
3 2 0
( ) 10
   

 
t t
t t x
Ta có : 3t2+t-2=0  t=-1, t=2/3 
t=-1 không thõa mãn 
t=2/3 ta có (x=3, y=2) , (x=-3, y=-2) 
Bài 3 : Giải hệ phương trình : 
a) 
2
2 2
3 1 0
4 4 3 6 2 0
    

     
xy y y
x y xy x y
 b) 
2 2
2
3
2 9 7 5
   

   
x y xy
x xy x y
HD : 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
2 
a) 
2
2 2
3 1 0 (1)
4 4 3 6 2 0 (2)
    

     
xy y y
x y xy x y
Từ phương trình (2) 2 2(4 3) 4 6 2 0     x y x y y , 2 2(4 3) 4(4 6 2) 1      y y y 
(2)  2 1, 2 2     x y x y 
i) 22 1, ( 2 1) 3 1 0        x y y y y y 
 ( 3 2 2 , 1 2 ), ( 3 2 2 , 1 2 )         x y x y 
ii) 22 2, ( 2 2) 3 1 0        x y y y y y 
 
1 5 1 5
( 3 5 , ), ( 3 5 , )
2 2
 
       x y x y 
b) 
2 2
2
3
2 9 7 5
   

   
x y xy
x xy x y
Cọng theo vế ta được : 2x2+ y2+3xy+9=3+7x+5y 
 y2 + (3x-5)y +2x2-7x+6=0 
Ta có : 2 2 2(3 5) 4(2 7 6) ( 1)       x x x x 
Khi đó : y= -x+2 , y=-2x+3 
i) y=- x+2 , x2 +(2-x)2 +x(2-x)=3  x=y=1 
ii) y=-2x+3 , x2 +(3-2x)2+x(3-2x)=3  (x=y=1),( x=3, y=-1 ) 
Vậy nghiệm của hệ (1,1) ,(3,-1) 
Bài 3 : Giải hệ phương trình 
a) 
4 2 2 2
2
3 4
2
   

  
x x y x y
x x y xy
 b) 
4 3
4 3
1
2 3 3
4
1
2 3 3
4

   

    

x y x
y x y
HD : 
a) 
4 2 2 2
2
3 4
2
   

  
x x y x y
x x y xy
 
 
22 2
2
3 (1 2 ) 0 (1)
(2 1) (2)
    

  
x y x y
x y x y
Thay (2) vào (1) ta được :  
2 2(2 1) 3 (1 2 ) 0   x y x y  23 (1 2 )(2 4) 0  x y y 
 x=0, y=2, y=
1
2
i) x=0=> y=0 
ii) y=2=> x2-3x+2=0=> x=1,x=2 
iii) y=
1
2
=> x2+
1
2
=0 vô nghiệm 
b) 
4 3
4 3
1
2 3 3
4
1
2 3 3
4

   

    

x y x
y x y
Cộng theo vế ta được : 4 3 4 3
1 1
2 2
4 4
      x y y x x y 
 4 3 4 3
1 1
( 2 ) ( 2 ) 0
4 4
       x x x y y y  2 2 2 2
1 1
( ) ( ) 0
2 2
     x x y y 
 
2
2
1
0
2
1
0
2

  

   

x x
y y
 
1 3 1 3
, ,
2 2
     
  
  
x y 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
3 
Ta có : x,y là nghiệm của phương trình : 2
1
0
2
  t t , khi đó : 2 3 4
1 3 1 3
, , 2
2 2 2 4
       t t t t t t 
4 3
4 3
1
2 3 3
4
1
2 3 3
4

   

    

x y x
y x y
  
3 3 1 1
2 2 3 3
4 2 2 4
3 3 1 1
2 2 3 3
4 2 2 4
  
       
  

          
x y x
y x y
 3  x y 
=> Nghiệm của hệ : 
1 3 1 3
,
2 2
     
  
  
x y 
Bài 4 : Giải hệ phương trình 
a) 
2 3 2
4 2
5
4
5
(2 1)
4

     

     

x y x y xy xy
x y xy x
(A.08) b) 
2 2 2
1 7
1 13
  

  
xy x y
x y xy y
(B.09) 
HD : 
a) 
2 3 2
4 2
5
4
5
(2 1)
4

     

     

x y x y xy xy
x y xy x
 
2 2
2 2
5
( )
4
5
( )
4

     

    

x y xy x y xy
x y xy
Đặt : u= 2 ,  u x y v xy 
Hệ phương trình trở thành : 
2
5
4
5
4

   

   

u uv v
u v
Trừ theo vế ta được : 2 0  u uv u  0, 1  u u v 
i) 2 0  u x y , 
5
4
  v xy => hệ có nghiệm ( 3 3
5 25
,
4 16
 x y ) 
ii) 1 u v 
Khi đó : 2
1 3
,
2 2
      u x y v xy => hệ có nghiệm (x=1,y=
3
2
 ) 
b) 
2 2 2
1 7
1 13
  

  
xy x y
x y xy y
Ta có y=0 không thõa mãn , biến đổi hệ phương trình : 
2
2
1
7
1
13

  


   

x
x
y y
x
x
y y
Đặt 
1
,  
x
u x v
y y
hệ phương trình trở thành : 
2
7
13
 

 
u v
u v
Cọng theo vế của hệ ta được : u2+u-20=0  u=-5, u=4 
i) 
1
5, 12     
x
u x v
y y
 vô nghiệm 
ii) 
1
4, 3    
x
u x v
y y
  
1
( 1, ), ( 3, 1)
3
    x y x y 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
4 
Bài 3 : Giải hệ phương trình 
a) 
3
1 1
2 1

  

  
x y
x y
y x
 (A.03 b)
3
2 2
4 ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
     

   
x x y y
x y x
(A.10) ) 
HD: 
a) 
3
1 1
(1)
2 1 (2)

  

  
x y
x y
y x
( x,y khác 0) 
Từ (1)  
1 1
0   x y
x y
 
1
( )(1 ) 0  x y
xy
 
1
,  y x y
x
i) x=y 
Ta có x3-2x+1=0  (x-1)(x2+x-1)=0  x=1 , x=
1 5
2
 
Nghiệm của hệ : (x=1,y=1) , (x=
1 5
2
 
,y=
1 5
2
 
) , (x=
1 5
2
 
, y=
1 5
2
 
) 
ii) 
1
 y
x
 Ta có : 3
2
1  x
x
  4 2 0  x x 
Đặt f(x)=x4+x+2 , f’(x)=4x3+1 , f’(x)=0 x=
3
1
4
 
3
1
( ) ( ) 0
4
  f x f 
Trong trường hợp này vô nghiệm 
b) 
3
2 2
4 ( 3) 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
     

   
x x y y
x y x
ĐK : 
3 5
,
4 2
 x y 
Từ (1)  
2
2((2 ) 1)2 ( 5 2 1) 5 2    x x y y  2(2 ) ( 5 2 ), ( ) ( 1)   g x g y g t t t 
Hàm số g(t) xác định trên R , g’(t) =3t2+1>0 => g(t) đồng biến trên R 
Khi đó : 5 2 2 y x  20, 5 2 4  x y x  
25 4
0,
2

 
x
x y 
Thay vào : (2) ta được : 
22
2 5 44 2 3 4 7
2
 
    
 
x
x x 
Xét hàm số 
22
2 5 4( ) 4 2 3 4 7
2
 
     
 
x
h x x x , 
1
( ) 0
2
h , x thuộc (0,3/4) 
2
2 5 4 4 3'( ) 8 8 0, 0,
2 43 4
   
       
   
x
h x x x x
x
Khi đó hệ có nghiệm duy nhất (x=1/2 , y=2) 
b) 
Bài tập tương tự 
Giải hệ phương trình : 
1) 
2 2 21 7
1 5
   

  
x y xy y
xy x y
 2) 
2
2 2
2 2 1
2 2
   

  
x xy y
xy y y
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
5 
3) 
2 2
2
2
1

   
   
xy
x y
x y
x y x y
 4) 
2 2 2( 1)( 1) 10 2010
( 1)( ) 140 1985
    

   
x y z
xy x y z
 5) 
2
5 3
x y x y y
x y
    

 
 6) 
4 3 2 2
3 2
- 1
- -1
  

 
x x y x y
x y x xy
7) 
2 2
2 2
1 4
( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y
    

   
 8) 
2 0
1 2 1 1
x y xy
x y
   

   
9) 






yyyx
yyxx
32
23 2
 9) 
2 22
2 1 2 2
    

   
x y x y xy
x y y x x y
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
6 
Hướng dẫn bài tập 
1) 
2 2 21 7
1 5
   

  
x y xy y
xy x y
 
2
2
1
7
1
5

  


   

x
x
y y
x
x
y y
2) ĐK : 0y  
hệ 
2
2
1
2 2 0
2 1
2 0
x x
y
x
y y

   

 
    

 đưa hệ về dạng 
2
2
2 2 0
2 2 0
u u v
v v u
    

   
3)
 
 
 
2 2
2
2
1 1
0
2
xy
x y
x y dk x y
x y x y

     
    
         
2 32
1 2 1 0 2 2 0
xy
x y xy x y xy x y xy x y
x y
             
 
      
    
 
 
2
2 2
1 2 1 0
1 1 2 0
1 3
0 4
x y x y xy x y
x y x y x y xy
x y
x y x y
       
         
 
 
   
4) Đặt u=x+y, v=xy-1 
Hệ phương trình trở thành : u2+v2+10z2=2010 , uv+140z=1985 
Ta có (u-v)2=. . .=-10(z-14)2 => z=14 
5) 2 2 2 22 2 4 2x x y y x y y x       
2
2 0
5 4
 
 

y x
y xy
6) Biến đổi hệ tương đương với 
2 2 3
3 2
( ) 1
( ) 1
x xy x y
x y x xy
   

   
*Đặt ẩn phụ 
2
3
x xy u
x y v
  


 , ta được hệ 
2 1
1
u v
v u
  

  
*Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;0) và (-2;-3) 
*Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;0) và (-1;0) 
7) Dễ thấy 0y  , ta có: 
2
2 2
2 2 2
2
1
4
1 4
.
( ) 2 7 2 1
( ) 2 7
x
x y
yx y xy y
y x y x y x
x y
y
 
  
     
 
        

Đặt 
2 1
,
x
u v x y
y

   ta có hệ: 
2 2
4 4 3, 1
2 7 2 15 0 5, 9
u v u v v u
v u v v v u
       
            
8) 
( ) 0 ( )( 2 ) 0
2 0
2
0
       
  
  
  
x y y xy x y x y
x y
x y
x y
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
7 
9) Nhận xét (0 ; 0) là một nghiệm của hệ phương trình 
Xét 0y , cho hai vế hệ phương trình cho y3 ta được hê: 

























(2) 
(1) 
2
2
2
23
1
1
1
.2
yy
x
yy
x
y
x
thay (2) vào (1) ta được 02
23












y
x
y
x
Đặt t = 10)22)(1(02 223  tttttt
y
x
Với t = - 1 => y = - x ta được : x3 – x3 = - 2x => x = 0 và y = 0 (loại) 
 Vậy hệ phương chỉ có một nghiêm (0;0). 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.