Luyện thi đại học - Tìm điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Bài 1 :   
a) Tìm điểm M thuộc (C) : 
2x 1
y  
x 1



 sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó,  đến hai tiệm cận của (C) 
là nhỏ nhất  
b)Tìm M thuộc đồ thị (C) 
x 1
y  
x 1



 , sao cho tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất  
HD : 
a) Tiệm cận đứng x+1=0 , tiệm cận ngang y-2=0  
Gọi x0 là hoành độ của M thuộc (C) , M(x0,y0) , 
0
0
0
2x 1
y  
x 1



d(M,TCĐ)=|x0+1| , d(M,TCN)=|y0-2| =
0
3
x 1
=> d(M,TCĐ) d(M,TCN)=|3| 
d(M,TCĐ) + d(M,TCN) nhỏ nhất  (x0+1)
2=3  x0=-1  3   
Điểm M cần tìm là :  M( 1+ 3 ,1- 3)  ,  M( 1- 3 ,1+ 3)  
b)) Gọi x0 là hoành độ của M thuộc (C) , d=|x0|+
0
0
x 1
x 1


Ta có x0=0 => d=1 , x0=1=> d=1  
       x0>1 => d>1  
       x0 |y0|>1=> d>1 
Khi đó ta chỉ xét trên (0,1) , d=x0
0
0
x 1
x 1



= 0
0
2
x 1  
x 1
 

=g(x0) , g’(x0)= 
 
2
0
2
1  
x 1


g’(x0) =0 x0=-1+ 2  thuộc (0,1) 
d= -2+2 2  
 Mind =-2+2  2  
 Điểm M (-1+ 2 ,(-2+ 2 )/( 2 )) 
Bài 2 : a)  Tìm điểm A,B lần lượt thuộc hai nhánh của (C) 
x 2
y  
x 1



 sao cho AB có độ dài nhỏ nhất  
b) Tìm điểm A,B lần lượt thuộc hai nhánh của (C) 
2x
y  
x 1


  sao cho tam giác  ABM  , vuông cân tại 
M(2,0)  
c) Tìm trên đồ thị (C)  
x 1
y  
x 2
 


 các điểm A.B sao cho AB=4 và đường thẳng AB vuông góc với đường 
thẳng y=x  
HD: 
a) A thuộc Nt : 
3
A 1 a,1
a
 
  
 
 , B thuộc Np : 
3
 B 1 b,1
b
 
  
 
  , a,b>0 
   Khi đó     
 
2
2 22
2
3 3 9
AB b a a b (1 )
b a ab
 
       
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
 
2
2
9 36
AB 4ab(1 ) 4ab 24
abab
      
AB nhỏ nhất  a=b , 4ab=36/ab  a=b=  3  
Khi đó     A 1 3,1 3 , B 1+ 3,1 3    
b) A thuộc Nt : 
2
A 1 a, 2
a
 
  
 
 , B thuộc Np : 
2
 B 1 b, 2
b
 
  
 
  , a,b>0 
Tam giác MAB vuông , cân tại M , Gọi H,K là hình chiếu của A,B lên trục Ox , khi đó AMH+BMK=900 , 
MB=MC 
=> các tam giác AHM , MKB  bằng nhau AH=MK , MH=CK  

2
2 b 1
a
2
a 1 2
b

  


   

  .. b=2 , a= 
3
2
Khi đó 
1
A   ,6
2
 
 
 
 , B(3,3) 
b) Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y=x => AB: y=-x+m  
Xét phương trình 
x 1
  x m
x 2
 
  

   2 x (m 3)x 2m 1 0, x khác 2      (1)  
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2  . m tùy ý  
Khi đó : A(x1,-x1+m) , B(-x2,-x2+m) , x1+x2=m+3 , x1x2=2m+1 
AB2=2(x1-x2)
2  (x1+x2)
2-4x1x2=8  m
2-2m-3=0  m=-1,m=3 
Ta có m=-1 : (1) : x2+2x-1=0    x 1 2    
Ta có m=3 : (1)  x2-6x+7=0    x 3 2   
Suy ra A,B 
Bài 3 : 
a)Tìm M thuộc (C) , hàm số y= x3-3x2+1 sao cho tiếp tuyến tại điểm có có hệ số góc nhỏ nhất . 
b)Tìm A,B thuộc (C) y=x3-3x2 +1  sao cho tiếp tuyến tại A,B song song với nhau và AB= 4 2  
HD :  
a) Gọi x0 là hoành độ của M thuộc (C) => hệ só góc của tiếp tuyến tại M là y’(x0) =3x0
2-6x0 =g(x0) 
g’(x0 )=6x0-6 , g’(x0) =0  x0=1  
 y’(x0) Min x0=1  
 M(1,-1) 
b)Giả sử A )13;( 23  aaa ; B )13;( 23  bbb  là 2 điểm  )(C . 
Do tiếp tuyến tại A, B song song với nhau  )()( byay   
    02  baba 02  ba ab  2  
Lại có  2462232322 )1(40)1(24)1(4)33()(AB  aaaaabbab  
Theo giả thiết  32)1(40)1(24)1(4 246  aaa  






1
3
a
a
3
1


b
b
. hoặc 




0
2
a
a
2
0


b
b
Vậy A(3, 1); B(-1, -3) hoặc A(0, 1); B(2, -3) 
Bài 4 : 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
a)Tìm M thuộc (C) , hàm số y= x3-3x2+1 sao cho tiếp tuyến tại điểm có có hệ số góc nhỏ nhất . 
b)Tìm A,B thuộc (C) y=x3-3x2 +1  sao cho tiếp tuyến tại A,B song song với nhau và AB= 4 2  
Bài tập tương tự 
1) Tìm A,B thuộc (C) 
1 x
y
x 2



 sao cho AB=4 , AB vuông góc với y=x 
2) Tìm A,B thuộc về hai nhánh của (C) 
3x 1
y
x 1



 sao cho ABC vuông cân tại C (2,1) 
3) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C)  của hàm số   3 2y 2x 3x 12x 1     sao cho tiếp tuyến của (C) tại 
điểm M đi qua gốc tọa độ . 
4) Tìm điểm M,N  thuộc đồ thị (C)  của hàm số   3 2
1 11
y x x 3x
3 3
      sao cho M,N đối xứng qua 
trục Oy 
5) Cho hàm số  3 2y x 3x 2   có đồ thị (C). Tìm M nằm trên  : y=2 để qua M kẻ đuọc 2 tiếp tuyến 
đến đồ thị (C) thỏa mãn 2 tiếp tuyến vuông góc  nhau 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.