Luyện thi Đại học - Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác
Loại 1. Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lợng giác 
Cách giải chung.
b1. Đặt HSLG theo t ( với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện )
b2. Giải phương trình theo t ( chẳng hạn f(t) = 0 )
b3. Chọn t thoả mãn điều kiện và giải theo phương trình lượng giác cơ bản để tìm x
Chú ý:
1.Phương trình cơ bản. 
sinu = sinv 
cosu = cosv 
tgu = tgv u = v + k 
cotgu = cotgv u = v + k 
Đặc biệt: ( cần ghi nhớ )
º sinx = 0 x = k 	º sinx = 1 x = + k 2 
º sinx = – 1 x = – + k 2 	º cosx = 0 x = + k 
º cosx = 1 x = k 2 	º cosx = – 1 x = + k 2 
º tgx = 0 x = k 	º tgx = 1 x = + k 
º tgx = – 1 x = – + k 
2. Phương trình bậc nhất theo 1 HSLG
a.sinx + b = 0 (a 0)
 sinx = – ( nếu )
a.cosx + b = 0 (a 0)
 cosx = – ( nếu )
a.tgx +b = 0 (a 0)
 tgx = 
a.cotgx + b = 0 (a 0)
 cotgx = 
3.phương trình bậc hai theo 1 HSLG
a.sin2x + b.sinx + c = 0 (3.1) 	a.cos2x + b.cosx + c = 0 (3.2)
a.tg2x + b.tgx + c = 0 (3.3) 	a.cotg2x + b.cotgx + c = 0 (3.4) 
Cách giải. 
b1.Dùng ẩn phụ: 
(3.1) Đặt X = sinx , – 1 X 1 	(3.2) Đặt X = cosx , –1X1
(3.3) Đặt X = tgx 	(3.4) Đặt X = cotgx
 ta được phương trình a.X2 + b.X + c = 0 (2)
b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm )
b3.Dùng phương trình cơ bản giải phương trình tìm x. Kết luận 
4. Phương trình bậc hai theo 1 HSLG
 	a.sin3x+b.sin2x+c.sinx +d = 0 (4.1) a.cos3x+b.cos2x+c.cosx+d = 0 (4.2)
a.tg3x+b.tg2x+c.tgx+d = 0 (4.3) a.cotg3x+b.cotg2x+c.cotgx+d = 0 (4.4)
Cách giải: 
b1.Dùng ẩn phụ: 
(4.1) Đặt X = sinx , – 1 X 1 	(4.2) Đặt X = cosx , –1X1
(4.3) Đặt X = tgx 	(4.4) Đặt X = cotgx
 ta được phương trình a.X3 + b.X2 + c.X + d = 0 = 0 (2)
b2.Giải (2) tìm X = X0 ( chọn nghiệm )
b3.Dùng phương trình cơ bản giải phương trình tìm x. Kết luận 
BT1. Giải các phương trình sau:
1/. 	2/. 4sin3x+3sin2x = 8sinx 
3/. 4cosx.cos2x +1=0 	 4/. 
5/. Cho 3sin3x – 3cos2x+4sinx– cos2x+2 = 0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x – 8sinx) = 0 (2).
 Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) 
6/. sin3x + 2cos2x – 2 = 0 	7/. sin6x + cos4x = cos2x 
8/. sin() – 3cos() = 1 + 2sinx 
9/. cos2x + 5sinx + 2 = 0 	10/. cos2x + 3cosx + 2 = 0 
11/. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 	12/. cos2x + sinx + 1 = 0
13/. 	14/. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0
15/. cos2 3xcos2x – cos2x = 0 	16/. cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 
dạng: asinx + bcosx = c (1)
Điều kiện để phương trình có nghiệm
Điều kiện để phương trình vô nghiệm 
(1) có nghiệm a2 + b2 c2
(1) vô nghiệm a2 + b2 < c2 .
Cách giải 1: 
b1.Chia 2 vế của (1) cho 
b2.Biến đổi phương trình về dạng: sinu = sinv ( hoặc cosu = cosv ) (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
Chú ý: 
Sau khi biến đổi asinx + bcosx thành dạng C. hoặc C. ta có thể dùng máy tính cầm tay (MTCT) để tính nghiệm của phương trình. 
Cách giải 2:
b1. Chia 2 vế của (1) cho a. Đặt 
b2.Biến đổi phương trình về dạng: sinu = sinv ( hoặc cosu = cosv ) (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
Cách giải 3: 
b1. Đặt , với 
b2. Giải phương trình bậc hai theo t: 
b3. Kết luận 
Đăc biệt : 
BT2. Giải các phương trình sau 
1/. 3cosx + 4sinx = – 5 	2/. 2sin2x – 2cos2x = 
3/. 5sin2x – 6cos2x = 13 	4/ 2sin15x +cos5x + sin5x = 4 
5/ . Tìm nghiệm 
6/ ( cos2x –sin2x) – sinx – cosx + 4 = 0 
Loai 3. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cosx
 dạng: a.sin2x + b.sinxcosx + c.cos2x = d (1)
Cách giải 1:
b1.Tìm nghiệm cosx = 0 
b2.Với cosx 0.Chia 2 vế của (1) cho cos2x, ta được:
a.tg2x + b.tgx + c = d.(1 + tg2x) (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
Cách giải 2:
b1.Dùng công thức: sin2x = 2.sinxcosx, sin2x =(1 – cos2x), cos2x =(1 + cos2x)
b2.Biến đổi (1) về dạng: A.sin2x + B.cos2x = C (2)
(pt. bậc nhất theo sin2x và cos2x)
b3.Giải (2) và kết luận.
Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc 3:
asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + d.cos3x = e 
Cách giải.
b1.Tìm nghiệm cosx = 0 
b2.Với cosx 0.Chia 2 vế của (1) cho cos3x, ta được:
a.tg3x + b.tg2x + c.tgx + d = e.(1 + tg2x) (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
BT3. Giải các phương trình sau
1/. 3sin2x–sinxcosx + 2cos2x = 2 	2/. 4 sin2x+3sinxcosx – 2cos2x = 4
3/. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 
4/. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1+ )cos2x – 5 – =0
5/. tanx sin2x – 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 	6/. sin3(x-/4)=sinx 
7/. 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 	8/. sinx – 4sin3x + cosx = 0 
9/. 4cos3x + 2sin3x – 3sinx = 0 	10/. 2 cos3x = sin3x 
11/. cos3x – sin3x = cosx + sinx 	12/. sinx sin2x + sin3x = 6 cos3x 
Loại 4. Phương trình đối xứng và gần đối với sinx và cosx
4.1 Phương trình đối xứng dạng: a.(sinx + cosx) + b.sinxcosx = c (1)
Cách giải: 
b1.Đặt X = sinx + cosx = ta có: và sinxcosx = 
b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
4.2 Phương trình gần đối xứng dạng: a.(sinx – cosx) + b.sinxcosx = c (1)
Cách giải: 
b1.Đặt X = sinx – cosx = , ta có: và sinxcosx = 
b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
BT4. Giải các phương trình sau
1/. sin3 x + cos3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 	2/. 1 – sin3 x + cos3 x = sin2x 
3/. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 	4/. sin2x(sin x + cosx) = 2 
5/. (1+sin x)(1+cosx) = 2 	6/. (sin x + cosx) = tanx + cotx
7/. 1+sin3 2x + cos3 2 x = sin 4x 	8/. 3(cotx – cosx)-5(tanx-sin x)=2
9/. cos4 x + sin4 x – 2(1 – sin2xcos2x) sinxcosx – (sinx+cosx)=0
Loại 5. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp hạ bậc 
 Công thức hạ bậc 2
cos2x= ; sin2x= 
Công thức hạ bậc 3
cos3x= ; sin3x= 
BT5. Giải các phương trình sau
1/. sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos24 x 	2/. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
3/. sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 	4/. cos3x + sin7x = 2sin2() – 2cos2
5/. sin24 x + sin23x = cos22x + cos2x , với
6/. sin24x – cos26x = sin() với 	7/. cos4x – 5sin4x = 1 
8/. 4sin3x – 1 = 3 – cos3x 	9/. sin22x + sin24x = sin26x 
10/. sin2x = cos22x + cos23x 	11/. 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 cos4x = 3 
12/. 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x
13/. cos4xsinx – sin22x = 4sin2() – 7/2 , với <3 
14/. 2 cos32x – 4cos3xcos3x + cos6x – 4sin3xsin3x = 0 
15/. sin3xcos3x +cos3xsin3x = sin34x 	16/. 8cos3(x+)=cos3x
17/. cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 
18/. cos7x + sin22x = cos22x – cosx 	19/. sin2x + sin22x + sin23x = 3/2
20/. 3cos4x – 2 cos23x = 1
Loại 6. Phương trình lượng giác giải bằng các hằng đẳng thức 
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 )
a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )
a4 – b4 = ( a2 + b2 )( a2 – b2 )
a8 + b8 = ( a4 + b4 )2 – 2a4b4 
a6 – b6 = ( a2 – b2 )( a4 + a2b2 + b4 )
a6 + b6 = ( a2 + b2 )( a4 – a2b2 + b4 )
BT6. Giải các phương trình sau
1/. sin4 + cos4=1 – 2sinx 	 2/. cos3x – sin3x = cos2x – sin2x 
3/. cos3x + sin3x = cos2x 	 4/. cos6x – sin6x =cos22x 
5/. sin4x + cos4x = 	6/. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 7/. cos3x + sin3x = cosx – sinx 	8/. cos6x + sin6x = cos4x 
9/. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 
10/ . cos8x + sin8x = 	11/. (sinx + 3)sin4 – (sinx+3) sin2+1 = 0 
Loại 7. Phương trình lượng giác biến đổi về dạng tích bằng 0
Cách giải: Dùng công thức f(x).g(x) = 0 
BT7. Giải các phương trình sau
1/. cos2x – cos8x + cos4x = 1 	2/. sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0 
3/. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 	4/. sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
5/. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx 	6/. sin2x+cos2x+cosx=0 
7/. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 8/. cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 
9/. 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x 10/. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 
11/. sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 12/. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 	
13/. cos2x – 2cos3x + sinx = 0 	14/. sin2x = 1 + cosx + cos2x 
15/. cosx(cos4x + 2) + cos2x – cos3x = 0 	16/. 1 + tanx = sinx + cosx 
17/. (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 	18/. cotx – tanx = cosx + sinx 
19/. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 
Loại 8. Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc 
cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1=1–2sin2x
 sin2x=2sinxcosx
 tan2x= 
sinx = ; cosx = 
tanx=
BT8. Giải các phương trình sau
1/. sin3xcosx = + cos3xsinx 	2/. cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16 
3/. tanx + 2cot2x = sin2x 	4/ . sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x 
5/. sin4x = tanx 	6/. sin2x + 2tanx = 3 
7/. sin2x+cos2x+tanx=2 	8/. tanx+2cot2x=sin2x 
9/. cotx=tanx+2cot2x 	10/. tan2x+sin2x=cotx 
11/. (1+sinx)2 = cosx 	12/. 
13/. 
Loại 9. Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng
1. Công thức biến đổi tổng thành tích 
cosa + cosb = 2cos.cos 
cosa – cosb = – 2sin.sin
sina + sinb = 2sin.cos
sina – sinb = 2cos.sin
tga + tgb = 
tga – tgb = 
cotga + cotgb = 
cotga – cotgb =
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb = 
sina.cosb = 
sina.sinb = 
BT9. Giải các phương trình sau
1/. cosx.cos5x = cos2x.cos4x 	2/. cos5xsin4x = cos3xsin2x
3/. sin2x + sin4x = sin6x 	4/. sinx + sin2x = cosx + cos2x
5/ sin8x + cos4x =1 + 2sin2xcos6x 	6/ cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 
7/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 	8/ sin5x + sinx + 2sin2x = 1 
9/ tanx + tan2x = tan3x 	10/ 3cosx + cos2x – cos3x +1 = 2sinxsin2x 
Loại 10. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu số
Cách giải. 
b1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( mẫu số khác 0 )
b2. Rút gọn phương trình, giải phương trình cuối cùng ( sau khi thu gọn )
b3. Đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm 
Chú ý: Việc chọn nghiệm ( nhận nghiệm nào, loại nghiệm nào ), tùy theo bài tốn ta dùng phương pháp đại số hoặc phương pháp hình học
Giả sử rằng:
+ Điều kiện xác định là: 
+ Phương trình có nghiệm là 
phương pháp đại số
+ Nghiệm xk bị loại 
+ Nghiệm xk được nhận 
phương pháp hình học
+ Điều kiện xác định là: có nghĩa là trên đường tròn lượng giác có p điểm A1, A2, ..., Ap không thể là ngọn cung nghiệm của phương trình đã cho. 
+ Ký hiệu ( tập hợp các điểm bị loại ).
+ Các nghiệm được biểu diễn bởi n ngọn cung nghiệm trên đường tròn lượng giác. 
+ Ngọn cung nào thuộc L thì bị loại, ngược lại thì được nhận.
BT 10. Giải các phương trình sau
1/. 	2/. 
3/. 	4/. 
5/. 	6/. 
7/. 	8/. 
9/. 	10/. 
11/. 	12/. 
13/. 	14/. 
15/. 	16/. 
17/. 	18/. 
19/. 	20/. 
21/. 	22/. 
23/. 24/. 
25/. 26/. 
27/. 	28/ 
29/. 	30/. 
31/. 2cos2x – 8cosx + 7 = 	32/. 2sin3x – = 2cos3x + 
33/. 34/. 1 + cot2x = 
35/. 2tanx + cot2x = 2sin2x + 	36/ . 
37/. 	38/ 
Loại 11. phương trình lượng giác chứa căn thức hoặc chứa giá trị tuyệt đối
Cách giải
b1). Đặt điều kiện xác định (nếu có)
b2). Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc khử căn thức ( thông thường dùng quy tắc bình phương hai vế. Cần nhớ: ) rồi giải phương trình
b3). Kết luận 
Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp khoảng (cần nhớ dấu của giá trị lượng giác và chiều biến thiên của các hàm số lượng giác )
BT 11. Giải các phương trình sau
1/. 	2/. 
3/. 	4/. 
5/. 	6/. 
7/. 	8/. 
9/. 	10/. 
11/. 	 	12/ . 
13/ . 	14/. 
15/. 	16/. 
Loại 12. Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc hoặc 1 hàm số lượng giác 
BT12. Giải các phương trình sau
1/. sin() =sin() 	2/. sin() = sin2x sin() 
3/. 	4/. cosx – 2sin() = 3 
5/. cos() = sin(4x+3) 	6/. 3cot2x + 2sin2x = (2 + 3)cosx 
7/. 2cot2x + + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 8/. cos2x + = cosx + 
9/. sinx – cos2x + + = 5 	10/. +2 = 3 
Loại 13. Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp
 BT13. Giải các phương trình sau
1/. 
2/. cos=1 tìm n0 xZ
3/. + 2sinx = 0 
4/. 3cotx – tanx(3-8cos2x) = 0 
5/. 
6/. sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 
7/. tan2x.tan23 x.tan24x.= tan2x– tan23 x + tan4x 
8/. tan2x = – sin3xcos2x
9/. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x) 
10/ . 
11/ . cos2 – 1 = tan2 
12/. 
Loại 14. Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm 
BT13. Giải các phương trình sau
1/. cos3x + = 2(1+sin22x) 
2/. 2cosx + sin10x = 3 + 2sinxcos28x 
3/. cos24x + cos26x = sin212x + sin216x + 2 với x 
4/. 8cos4xcos22x ++1 = 0
5/. 
6/. 5 – 4sin2x – 8cos2x/2 = 3k tìm k Z* để hệ có nghiệm 
7/. 1– = cosx 
8/. ( cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x 
9/.