Luyện thi Đại học: Phương trình - Bất phương trình - Vô tỷ

Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 1 --  
1.ph−ơng trình –bất ph−ơng trình cơ bản 
a.ph−ơng trình cơ bản: 
Dạng ph−ơng trình: 



≥
≥
⇔=
)()(
0)(
)()(
2 xgxf
xg
xgxf (nếu g(x) có TXĐ là R) 
b.Bất ph−ơng trình cơ bản: 
Dạng 1: 









≥
≥



<
≥
⇔>
)()(
0)(
0)(
0)(
)()(
2 xgxf
xg
xg
xf
xgxf 
Dạng 2: 
( )
( )
( ) ( )



<
≥
>
⇔<
xgxf
xf
xg
xgxf
2
0
0
)()( 
Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đ−a về dạng cơ bản 
, ta làm nh− sau: 
+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa . 
+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm . 
+ Bình ph−ơng hai vế . 
+ Tiếp tục cho đến khi hết căn . 
bài tập áp dụng 
Bài 1.1: Giải các ph−ơng trình sau: 
)1(3253.1 −=+ xx 
)2(632.2 xx −=+ 
Giải1: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 








=
=
⇔
=+−
≥
2
7
2
014154
2
3
2
x
x
xx
x
Giải2: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
3
113
6
03314
6
2
=⇔



=∨=
≤
⇔



=+−
≤
x
xx
x
xx
x
Bài 1.2 Giải ph−ơng trình sau 
)1(1266.1 2 −=+− xxx (ĐH Xây Dựng -2001). 
Giải: 
Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 2 --  
1
1
2
1
)12(66
2
1
22
=⇔




=
≥




⇔
−=+−
≥
x
x
x
xxx
x
Bài 1.3 Giải ph−ơng trình 
321 =++− xx 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 
2
)4()2)(1(_
41
4)2)(1(
1
2
=⇔






−=−−
≤≤
⇔
−=+−
≥
⇔ x
xxx
x
xxx
x
Bài 1.4: Giải ph−ơng trình 
231 −=−−− xxx 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 
3
326
3
326
3
326
43
0883
43
6524
3
231
3
22
+
=⇔





−
=∨
+
=
≤≤
⇔



=+−
≤≤
⇔



+−=−
≥
⇔



−+−=−
≥
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
--
Bài 1.5: Giải ph−ơng trình 
xxxx −+=−+ 1
3
2
1 2 (ĐHQG Hà Nội 2000) 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 








−=−
≤≤
⇔
−+=−+−+
≤≤
22222
3
2
3
2
3
2
10
21
3
4
3
2
3
2
1
10
xxxx
x
xxxxxx
x



=
=
⇔



=∨=
≤≤
⇔



=−−−
≤≤
⇔
1
0
10
10
0)1(
10
22 x
x
xx
x
xxxx
x 
Bài 1.6: Giải ph−ơng trình 
( ) 3428316643 −=−−+ xx 
Giải:Ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với hệ: 
( ) 2
2
2
2
4
3
3428316643
4
3
=⇔






=
≥
⇔




−=−−+
≥
x
x
x
xx
x
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 3 --  
Bài 1.7: Giải bất ph−ơng trình: 
27593137 −≤−−− xxx (ĐH DL Ph−ơng Đông -2001) 
Điều kiện: 
5
27
≥x 
Bất ph−ơng trình đH cho t−ơng đ−ơng với: 




−+−≤−
≥
93275137
5
27
xxx
x
( )( ) ( )( )
23
59
65762229
044345859
23
5
27
23275932
5
27
275932368137
5
27
2
≤≤
+
⇔




≥+−
≤≤
⇔





−≥−−
≥
⇔





−−+−≤−
≥
⇔
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
Bài tập làm thêm: 
Bài 1: (PP BĐ TĐ) 
2 2
2 2
2
2
1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2
3. 4 6 4; 4. 2 4 2
5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0;
7. 1 1;
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x
− + = − − + = −
− + = + + + = −
− + = − − + =
+ + =
Bài 2: (PP BĐ TĐ) 
1. 3 6 3;
2. 3 2 1 3;
3. 3 2 1;
4. 9 5 2 4;
5. 3 4 2 1 3;
6. 5 1 3 2 1 0;
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
+ + − =
− + − =
+ − − =
+ = − +
+ − + = +
− − − − − =
7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + = 
8. 5 5 10 5 15 10;x x x− + − = − 
9. 4 1 1 2 ;x x x+ − − = − 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 4 --  
210. 3 2 1 2;
11. 1 5 1 3 2
x x x
x x x
− + − + + =
− − − = −
12. 1 9 2 12x x x+ − − = − 
2 213. 5 8 4 5x x x x+ − + + − = 
2 214. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + = 
2 215. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ − − = − − − − − 
2 2 2
2
16. 3 6 16 2 2 2 4
3 1 1 4 2
17.
3 9 9
x x x x x x
x
x x x
+ + + + = + +
+
= + +
218. 1 2 5x x x− = − − 
19. 11 11 4x x x x+ + + − + = 
20. 1 1 8x x x+ − = − + 
-------------------------------------------------------------------------- 
 2.ph−ơng pháp Đặt một ẩn phụ 
Dạng 1: Giải ph−ơng trình: 
 ( ) ( ) 0=++ CxfBxAf 
Ph−ơng pháp giải : Đặt ( ) ( ) ( ) 20 txfttxf =⇔≥= ; 
Ph−ơng trình đH cho trở thành : ( )002 ≥=++ tCBtAt 
Làm t−ơng tự với bất ph−ơng trình dạng: ( ) ( ) 0≥++ CxfBxAf 
Dạng 2:Giải ph−ơng trình: 
( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA 
(Với ( ) Dxgxf =+ )( ) 
Ph−ơng pháp giải : 
Đặt ( ) ( ) ( ) ( )xgxfDtttxgxf 20)( 2 +=⇔≥=+ 
Ph−ơng trình đH cho trở thành : ( )002 ≥=++ tCAtBt 
Làm t−ơng tự với bất ph−ơng trình dạng: 
 ( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 ≥++++ CDxgxfxgxfA 
bài tập áp dụng: 
Bài 2.1: Giải các ph−ơng trình 
)1(75553,1 22 +−=+− xxxx 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 5 --  
)2(3012.2,2 22 =++ xx (ĐH DL Hồng lạc-2001) 
Giải1: )1(75553,1
22 +−=+− xxxx 
Đặt )0(55
2 ≥=+− ttxx 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 








±
=
=
=
⇔




=+−
=+−
⇔


=
=
⇔=+−
2
215
4
1
455
155
2
1
023
2
2
2
x
x
x
xx
xx
t
t
tt
Giải2: )2(30122,2
22 =++ xx 
Đặt )0(12
2 >+= txt 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



−=
=
⇔=−+
)(7
)(6
0422
Lt
tmt
tt 
Vậy 62612
2 ±=⇔=+ xx 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 2.2: Giải các ph−ơng trình 
)1(4
2
47
.1
2
x
x
xx
=
+
++
 (ĐH Đông đô-2000). 
)2(4324.2 22 xxxx −+=−+ (ĐH Mỏ -2001) 
Giải2: 
 Đặt )0(4
2 ≥−= yxy 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



=−+
=−+
⇔



+=+
=+
23
42)(
32
4 222
xyyx
xyyx
xyyx
yx
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 6 --  
Giải hệ đối xứng này ta đ−ợc nghiệm: 








+
−=
=
=
⇔


=∧=
=∧=
3
142
2
0
02
20
x
x
x
yx
yx
Giải1:Điều kiện: 0≥x Đặt )0( ≥= ttx 
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
04874 234 =+−+− tttt 
Giải ph−ơng trình bậc 4 : 
Xét t=0 không là nghiệm 
Xét t ≠ 0 ,chia hai vế cho t2 và đặt )22(
2
≥+= u
t
tu 
Ta đ−ợc ph−ơng trình 


=
=
⇔


=
=
⇔


=
=
⇔=+−
4
1
2
1
3
)(1
0342
x
x
t
t
u
Lu
uu 
Bài 2.3: Giải các bất ph−ơng trình sau 
123342.1 22 >−−++ xxxx (ĐHDL Ph−ơng Đông -2000) 
2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx (ĐH QG HCM -1999) 
Giải1: 
Điều kiện: 13 ≤≤− x 
Đặt: )0(23
2 ≥−−= txxt 
Bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 
2
5
0
0
2
5
1
0
0532
2
<≤⇔




≤
<<−
⇔



≤
>++−
t
t
t
t
tt
Thay vào cách đặt: 13
0
4
13
2
13
2
≤≤−⇔




≥++
≤≤−
x
xx
x
Giải2: 
2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx 
Điều kiện: 40 ≤≤ x 
Đặt: 04
2 ≥+−= xxt 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 7 --  
Thay vào BPT ĐH cho và giải ra ta đ−ợc 1>t 
Thay vào cách đặt ta đ−ợc: 3232 +<<− x 
Bài 2.4: Giải các bất ph−ơng trình sau 
7
2
1
2
2
3
3.1 −+<+
x
x
x
x (ĐH Thái Nguyên -2000) 
3)7)(2(72.2 ≤−++−++ xxxx 
Giải1: Biến đổi bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )
09
2
1
3
2
1
2
9
2
1
12)
2
1
(3
2
2
2
>−





+−





+⇔
−








++<+
x
x
x
x
x
x
x
x
Đặt: 2
2
1
≥⇒+= t
x
xt 
BPT đH cho trở thành: 






+>
−<<
⇔>+⇔
>⇔




>−−
≥
7
2
3
4
7
2
3
40
3
2
1
3
0932
2
2
x
x
x
x
t
tt
t
Giải 2: 
Điều kiện: 72 ≤≤− x 
Đặt )0(72 ≥−++= txxt 
Vậy 
2
9
)7)(2(
2 −
=−+
t
xx 
Bất ph−ơng trình đH cho trở thành: 



=
−=
⇔




≤−++
≤≤−
⇔
≤≤⇔≤−+
7
2
9)7)(2(29
72
3001522
x
x
xx
x
ttt
Bài tập. Giải các PT sau: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 8 --  
Bài 1: 
2 2
2 2
2 2
2
1. 3 5 5 5 7;
2. 2 12 30;
3. 13 7;
4. ( 5)(2 ) 3 3 ;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
− + = − +
+ =
− − − + =
+ − = +
26. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + = 
2 211. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − = 
2 212. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − + 
( )( ) 215. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + − 
( )2 216. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − = 
2 217. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + = 
Bài 2: 
2 25. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + = 
2 27. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − = 
9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − = 
2 210. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + − 
2 213. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − = 
2 214. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = − 
2 2 218. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + + 
2 2 28. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + + 
2 219. 1 2 1 2;x x x x− − + + − = 
2 220. 17 17 9;x x x x+ − + − = 
2221.1 1 ;
3
x x x x+ − = + − 
24 422. 16 6;
2
x x
x x
+ + −
= + − − 
223. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − + 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 9 --  
224. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + + − 
25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x− + − + + + − = 
( ) ( )3 35 526. 7 3 8 7 3 7;x x −− − − = 
2
27. 2 3 2 ;
2 3
x
x x
x
+ + =
+
4 2 228. 1 1 2;x x x x− − + + − = 
2 229. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + − − − = + 
( )3 230.10 8 3 6 ;x x x+ = − − 
3 231. 1 3 1;x x x− = + − 
232. 1 ( 1) 0;x x x x x x− − − − + − = 
Đặt ẩn phụ để trở thành ph−ơng trình có 2 ẩn: 
* Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ 
nh−ng các hệ số vẫn còn chứa x 
* PP này th−ờng đ−ợc SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT 
còn lại không BD đ−ợc triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD đ−ợc thì công thức BD 
quá phức tap. 
* Khi đó th−ờng ta đ−ợc 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là 
1 số chính ph−ơng. 
Bài tập. Giải các PT sau: 
Bài 1: 
2 21. 1 2 2 ;x x x x− = − 
2 22. 1 2 2;x x x− = + 
2 23. (4 1) 1 2 2 1;x x x x− + = + + 
2 24. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ − = + − + 
2 25. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + + 
2 26. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x− + = + + 
27. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ − = + − + − 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 10 --  
2 2
2 2
2
8. 2(1 ) 2 1 2 1;
9. 1 2 4 1 2 1;
10. 12 1 36;
1 1 1
11. 2 1 3 0;
x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
− + − = − −
+ − = − − +
+ + + =
−
+ − − − − =
3.Ph−ơng pháp Đặt hai ẩn phụ 
Dạng 1: Giải ph−ơng trình: 
( ) ( )( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn 
(Với ( ) Dxgxf =+ )( ) 
Ph−ơng pháp giải : Đặt: 
( )
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=+⇒




=
=
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )



=+
=+++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
Dạng 2: Giải ph−ơng trình: 
( ) ( )( ) ( ) 0)( =++− CxgxfBxgxfA nnn 
(Với ( ) ( ) Dxgxf =− ) 
Ph−ơng pháp giải : Đặt: 
( )
( )
Dvu
vxg
uxf
nn
n
n
=−⇒




=
=
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
( )



=−
=++−
Dvu
CBuvvuA
nn
0
bài tập áp dụng: 
Bài 3.1: Giải ph−ơng trình: 
)x6)(2x(x62x −+=−++ (ĐH Ngoại Ngữ-2001) 
Giải : 
Đặt )0v,u(
vx6
u2x
≥




=−
=+
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 
2vu
08uv2)uv(
vuuv
vuuv
8vu
2
22
==⇔



=−−
+=
⇔



+=
=+
Vậy: 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 11 --  
2x2x62x =⇔=−=+ 
Bài 3.2:Giải ph−ơng trình: 
13x22x 33 =+−+ (An Ninh-01) 
Giải : 
Đặt: 



=+
=+
v3x
u22x
3
3
Ph−ơng trình đH cho trở thành: 



−=
=
⇔


−==
==
⇔



=
=−
30x
5x
2u;3v
3u;2v
6uv
1vu
Bài 3.3: Giải ph−ơng trình 
541xx56 44 =++− 
Đặt: )0uv(
v41x
ux56
4
4
≥




=+ ... theo tham số m. 
Trong đó ta đặt đ−ợc: ( ) ( )0≥= ttxu ; 
Bài toán khi đó trở thành :Biện luận theo m số nghiệm của ph−ơng trình bậc 
hai 
02 =++ cbtat 
Bảy bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số, hai số: 
21
21
21
,3
,2
,1
xx
xx
xx
<<
<<
<<
α
α
α
βα
βα
βα
βα
βα
<<<



<<<
<<<
<<<
<<<
21
21
21
21
21
,7
,6
,5
,4
xx
xx
xx
xx
xx
Ba bài toán cơ bản của tam thức bậc hai: 
1, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc R 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 22 --  
2, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;+∞); 
3, Tìm điều kiện để f(x)>0 với mọi x thuộc khoảng (α;β); 
bài tập áp dụng: 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 9.1:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 
( )( ) 01562 =−−++− xxmxx (CĐ SP HCM-2001). 
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải: Điều kiện: 51 ≤≤ x 
Đặt ( )( ) ( ) 2043415 22 ≤≤⇒≤−−=⇒=−− txttxx 
Bài toán đH cho trở thành: 
 Tìm m để ph−ơng trình t2-t+5-m=0 
 có nghiệm [ ]2;0∈t ,nghĩa là





<≤<
≤≤≤
≤≤≤
20
20
20
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên t−ơng đ−ơng với: 
( ) ( )
( )
( )

















<<
>
>
≥∆
≤
2
2
0
02
00
0
02.0
s
f
f
ff
( )( )
7
4
19
2
2
1
0
7
5
4
19
075
≤≤⇔




















<<
<
<
≥
≤−−
⇔ m
m
m
m
mm
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 9.2:Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 
mxxxx ++−=−+ 99 2 (CĐ Y HCM-1997). 
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải: Điều kiện: 90 ≤≤ x 
 Đặt : ( ) ( )
4
81
2
9
4
1
09
2
2 ≤




 −−=⇒≥=− xtttxx 
2
9
0 ≤≤⇒ t 
Bài toán đH cho trở thành: 
 Tìm m để ph−ơng trình t2-2t+m-9=0 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 23 --  
 có nghiệm 


∈
2
9
;0t ,nghĩa là









<≤<
≤≤≤
≤≤≤
2
9
0
2
9
0
2
9
0
21
21
21
tt
tt
tt
Hệ điều kiện trên t−ơng đ−ơng 
với:
( )
( )
( )
10
4
9
109
9
4
9
0
4
9
09
010
0
4
9
9
2
2
0
0
2
9
00
0
0
2
9
.0
'
≤≤−⇔




<<
≤≤−
⇔

















>+
>−
≥+−
<




 +−
⇔





















<<
>





>
≥∆ ′
≤





m
m
m
m
m
m
mm
s
f
f
ff
10.Hệ ph−ơng trình 
Hệ đối xứng loại 1: 
Là hệ ph−ơng trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì mỗi ph−ơng trình của hệ 
không thay đổi. 
Cách giải: + Đặt ( )PS
Pxy
Syx
42 ≥



=
=+
+ Giải hệ với hai ẩn S,P 
+ Thử đk và lấy x,y là hai nghiệm pt X2-SX+P=0 
bài tập áp dụng: 
Bài 10.1: 
Giải hệ:





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xyx
y
y
x
 (ĐH Hàng Hải 1999). 
Giải:Hệ đH cho t−ơng đ−ơng với: ( )



=+
=−+
>
78
7
0,
xyyx
xyyx
yx
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 24 --  
Đặt 



>
>




=
+=
0
0
;
v
u
xyv
yxu
 Hệ đH cho trở thành



=
=
⇔



=
=−
6
13
78
7
v
u
uv
vu
Giải ra ta đ−ợc 2 nghiệm ( ) ( )4;9;9;4 
Hệ đối xứng loại 2: 
- Là hệ ph−ơng trình mà khi thay đổi vai trò của x và y thì hai ph−ơng trình của hệ 
đổi chỗ cho nhau. 
Cách giải: -Trừ vế với vế của hai ph−ơng trình để đ−ợc một ph−ơng trình có dạng 
tích. 
- Hệ đH cho sẽ t−ơng đ−ơng với tuyển hai hệ ph−ơng trình. 
- Giải hai hệ này để tìm nghiệm x và y. 
bài tập áp dụng: 
Bài 10.2: Cho hệ:




=−++
=−++
mxy
myx
21
21
1,Giải hệ khi m=9; 
2,Tìm m để hệ có nghiệm (ĐH SP HCM 2001). 
Giải: 
Điều kiện: 0;2;1 ≥≥≥ myx 
Bình ph−ơng hai vế ta đ−ợc hệ: 
( )( )
( )( )



=−++−+
=−++−+
mxyyx
myxyx
211
211
Trừ vế với vế của hai ph−ơng trình trên ta đ−ợc hệ: 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )



−+=−+
=
⇔




=−++−+
−+=−+
xmxx
yx
mxyyx
xyyx
21212211
2121
1, Với m=9 ta có hệ: 
( )( )
( )( ) ( )
3
521
5
521
2
==⇔





−=−+
=
≤
⇔




−=−+
=
yx
xxx
yx
x
xxx
yx
2,Tìm m để hệ có nghiệm : 
Hệ ( )( )









++
=
+
≤=≤
≥
⇔




−+=−+
=
m
mm
x
m
yx
m
xmxx
yx
4
82
2
1
2
0
21212
2
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 25 --  
 Điều kiện mmmmm
m
x 22928
2
1
2 22 +≤++≤⇔
+
≤≤ 
( )
3
3
03
09
096 2
2
2
≥⇔



≥
≥−
⇔




≥−
≥+−
⇔ m
m
m
m
mm
Kết luận: 3≥m . 
11.Ph−ơng pháp đặc biệt 
1.Ph−ơng trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai 
 Bài toán tổng quát: 
 Giải ph−ơng trình: ( ) ( )Iedxvuxrbax +++=+ 2 Với a ≠ 0, u ≠ 0 , r ≠ 0 ; 
 Ph−ơng pháp giải: 
Điều kiện dể ph−ơng trình có nghĩa: 0≥+ bax 
 Đặt ẩn phụ : ( )1)( 2 baxvuybaxvuy +=+⇔+=+ 
 Với điều kiện 0≥+ vuy 
Lúc đó (I) trở thành : evdxuyvuyr −+−=+ 2)( 
Giả sử các điều kiện sau đ−ợc thoả mHn: u=ar +d và v=br+e 
Lúc đó ph−ơng trình đH cho trở thành hệ 
( )
( ) ( )



+−+=+
+=+
brxuaruyvuxr
brarxvuyr
2
2
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai ph−ơng trình , đ−ợc một tuyển hai hệ 
ph−ơng trình trong đó có một nghiệm x=y 
bài tập áp dụng: 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 11.1: 
Giải ph−ơng trình: ( )1203232152 2 −+=+ xxx 
 (Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ – Số 303) 
-------------------------------------------------------------------------- 
Lời giải: Điều kiện 0152 ≥+x 
Biến đổi ph−ơng trình (1) thành: ( ) 28242152 2 −+=+ xx 
Đặt ẩn phụ : ( )024152)24(15224 2 ≥++=+⇔+=+ yxyxy . 
Ph−ơng trình (1) trở thành : 152)24(
2 +=+ yx 
Vậy ta có hệ:




+=+
+=+
152)24(
152)24(
2
2
xy
yx
 Hệ này là hệ đối xứng loại hai 
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai ph−ơng trình , 
Ta đ−ợc 2 nghiệm là 
16
2219
2
1
21
−−
=∧= xx 
2.Ph−ơng trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 26 --  
Bài toán tổng quát: 
Giải ph−ơng trình: ( ) ( )IIedxvuxrbax +++=+ 33 Với a ≠ 0, u ≠ 0 , 
 r ≠ 0 ; 
 Ph−ơng pháp giải: 
 Đặt ẩn phụ : ( )1)( 33 baxvuybaxvuy +=+⇔+=+ 
 Lúc đó (II) trở thành : evdxuyvuxr −+−=+ 3)( 
 Giả sử các điều kiện sau đ−ợc thoả mHn: u=ar +d và v=br+e 
 Lúc đó ph−ơng trình đH cho trở thành hệ 
( )
( ) ( )



+−+=+
+=+
brxuaruyvuxr
brarxvuyr
3
3
 Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai ph−ơng trình , đ−ợc một tuyển hai 
hệ ph−ơng trình trong đó có một nghiệm x=y. 
bài tập áp dụng: 
Bài 11.2: 
Giải ph−ơng trình: ( )2255336853 233 −+−=− xxxx 
 (Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ – Số 303) 
-------------------------------------------------------------------------- 
Lời giải: ( ) ( ) ( )2232532 33 +−−=−⇔ xxxPT 
Đặt ẩn phụ : ( ) 53325332 33 −=−⇔−=− xyxy 
Lúc đó (2) trở thành ( ) 5232 3 −+=− xyx 
Lúc đó ph−ơng trình đH cho trở thành hệ 
( )
( )



−=−
−+=−
5332
 5232 
3
3
xy
xyx
Giải hệ trên bằng cách trừ vế với vế của hai ph−ơng trình , 
Ta đ−ợc 3 nghiệm: 
4
35
;
4
35
;2 321
−
=
+
== xxx 
Bài tập. Giải các PT sau: 
3 31. 1 2 2 1;x x+ = − 
( )3 33 32. 35 35 30;x x x x− + − = 
3 3
2
2
2 2
3. 3 3 2 2;
4. 1 1;
5. 5 5;
6. 5 (5 ) ;
7. 3 3 ;
x x
x x
x x
x x
x x
− + =
+ + =
+ + =
= − −
+ + =
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 27 --  
2 28. ( ) ;x a b a bx= − − 
3.Sử dụng tính chất véc tơ: 
baba
ϖϖϖϖ
+≤+ 
Dấu bằng xảy ra khi hai véc tơ a
ϖ
 và b
ϖ
cùng h−ớng , t−ơng đ−ơng với: 
( )0>= kbka
ϖϖ
; 
Dạng :Giải ph−ơng trình 
( ) ( ) ( ) ( )222222 BAxhBxgAxf ++=+++ 
Với 
( ) ( ) ( )



=+
=+
CBA
xhxgxf
Dặt : 
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )BAxhBAxgxfba
Bxgb
Axfa
+=++=+⇒



=
=
;;
;
; ϖϖ
ϖ
ϖ
; 
Ph−ơng trình đH cho trở thành baba
ϖϖϖϖ
+=+ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
hai véc tơ a
ϖ
 và b
ϖ
 cùng h−ớng , t−ơng đ−ơng với: ( )0>= kbka
ϖϖ
; 
bài tập áp dụng: 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 11.3: Giải ph−ơng trình: 
2003267108168 22 =++++− xxxx 
(Tuyển tập đề thi Olimpic 30-4 -2003 ) 
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải: 
Đặt 
( )
( ) ( )231;9211;5
220;4
=+⇒




+=
−=
ba
xb
xa ϖϖ
ϖ
ϖ
Vậy ta có: 
2003
;26710;8168 22
=+
++=+−=
ba
xxbxxa
ϖϖ
ϖϖ
Ph−ơng trình đH cho trở thành baba
ϖϖϖϖ
+=+ 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai véc tơ a
ϖ
 và b
ϖ
 cùng h−ớng , t−ơng 
đ−ơng với: ( )0>= kbka
ϖϖ
; Giải ra đ−ợc 
31
56−
=x 
---------------------------------------------------- 
a
ρ b
ϖ
ba
ϖϖ
+ 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 28 --  
3.Sử dụng phép đặt l−ợng giác: 
Dạng 1: Bài toán có chứa 21 x− . 
Ph−ơng pháp giải : Điều kiện 1≤x .Dựa vào điều kiện này ta đặt x=sint 
với 


 ΠΠ−∈
2
;
2
t ; hoặc x=cost với [ ]Π∈ ;0t ; và giải ph−ơng trình l−ợng giác. 
Dạng 2: Bài toán có chứa 12 −x . 
Ph−ơng pháp giải : Điều kiện 1≥x .Dựa vào điều kiện này ta đặt t
x
sin
1
= 
với 


 ΠΠ−∈
2
;
2
t ; hoặc t
x
cos
1
= với [ ]Π∈ ;0t ; và giải ph−ơng trình l−ợng 
giác. 
bài tập áp dụng: 
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 11.4: Giải ph−ơng trình: : 
xxx 341 22 −=− ; 
(Tuyển tập đề thi Olimpic 30-4 -2003 ) 
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải: Điều kiện 1≤x .Dựa vào điều kiện này ta đặt x=cost với [ ]Π∈ ;0t ; và giải 
ph−ơng trình l−ợng giác: 
( )






Π
+
Π
−=
Π
+
Π
=
⇔




 −
Π
=⇔
>=⇔=−
24
28
2
cos3cos
0sinsin3cossincos3cos4 23
kt
kt
tt
tttttt
Do [ ]Π∈ ;0t nên ta chọn: 










+−
=
+
=
−
=
⇔









Π
=
Π
=
Π
=
4
22
4
22
2
2
8
5
8
4
3
x
x
x
t
t
t
-------------------------------------------------------------------------- 
Bài 11.5: Giải ph−ơng trình: : 
12
35
1 2
>
−
+
x
x
x ; 
(Tuyển tập đề thi Olimpic 30-4 -2003 ) 
Lê Thị Ph−ơng Hoa 
Tr−ờng THPT Tam D−ơng II -- 29 --  
-------------------------------------------------------------------------- 
Giải : Điều kiện 1>x .Vì vế trái luôn d−ơng nên yêu cầu x > 0 , do đó x>1 
Dựa vào điều kiện này ta đặt : 
t
x
cos
1
= với 




 Π∈
2
;0t ; và giải bất ph−ơng trình l−ợng giác 
( )
( )
( )
( )






<<
>
⇔






<<
<<
⇔






<<
<<
⇔
<−<⇔<<⇔<<⇔
=<−−⇔
>+⇔
>+⇔>+
4
5
1
3
5
1cos
5
4
5
3
cos0
1cos
25
16
25
9
cos0
625
144
cos1cos0
25
12
cossin0
25
12
0
cossin0144144.21225
cossin1225cossin21144
cossin35cossin12
12
35
sin
1
cos
1
2
2
22
2
22
x
x
t
t
t
t
tttty
ttyyy
tttt
tttt
tt
---------------------------------------------------------------------------