Luyện thi Đại học môn Toán - Ứng dụng của tích phân

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 1: DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
Lý thuyết:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là
S = 
2. Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là
S = 
Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và x = a, x = b.
II. Các dạng toán thường gặp:
Phương pháp giải:
+ Diện tích cần tìm là S = 
+ Xét dấu f(x) trên [a; b]
S = 
+ Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì 
S = 
+ Nếu f(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = a; x = b (a <b ) thì 
Ví dụ1 (ĐHBK HN – 2000). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin2xcos3x; y = 0 và x = 0; x = .
S = 
Giải: 
+ Diện tích cần tìm S = 
 Với mọi x Î [0; ] thì cosx ≥ 0, do đó 
S = 
* Tính S:
Đặt t = sinx Þ dt = cosxdx
Đổi cận 
Ví dụ 2 (HVBCVT HN – 2001 - 2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x; y = 0 và x = -1; x = e.
Khi đó S = === (đvdt).
Giải: 
 Diện tích cần tìm S = 
Tính A = 
Đặt 
A = = = 
Tính B = 
Đặt 
B = = = .
Vậy S = - A + B = (đvdt).
Ví dụ 3 (ĐH Huế - 1999) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi y = , y = 0 và x = 1; x = e.
Giải: 
Diện tích cần tìm là 
S = 
Với mọi x Î [1; e] Þ lnx ≥ 0, do đó
S = 
Tính S: Đặt 
Ví dụ 4 (ĐHTN – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 – 2x; y = 0; x = -1 và x = 2.
S = (đvdt).
Giải: 
Diện tích cần tìm là:
S = 
Xét dấu f(x) = x2 – 2x trên [-1; 2]
f(x) = 0 khi x = 0 và x = 2.
x
-1
0
2
f(x)
+
0
-
0
Khi đó: S = 
Ví dụ 5 (ĐH Huế 2000 – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ; y = 0 và x = 1; x = e.
 = = (đvdt).
Giải: 
Diện tích cần tìm: S = 
Với mọi x Î[1; e] Þ lnx ≥ 0. do đó:
S = 
Tính S: Đặt t = Þ t2 = 1 + lnx Þ 2tdt = 
Đổi cận 
Ví dụ 6 (HVNH TPHCM 1999) Tính diện tích của miền giới hạn bởi (C) y = , trục Ox và x = 1.
S = (đvdt).
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
 = 0 Û x = 0.
Diện tích cần tính là: 
 S = 
Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = g(x); x = a và x = b.
 = (đvdt).	
Phương pháp giải:
+ Diện tích cần tìm S = .
+ Xét dấu: f(x) – g(x) trên [a; b]
Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a; b] thì 
S = 
Nếu f(x) – g(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử PT f(x) – g(x) có nghiệm x = a; x = b (a < b) thì 
Ví dụ 1 (ĐHTCKT – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2 + sinx và y = 1 + cos2x với x Î [0; p].
S = 
Giải:
Diện tích cần tìm S = 
	= 
Ví dụ 2 (HVKTQS – 2000) Tính diện tích hình phẳng y = ; y = và x = ; x = .
	= (đvdt).
Giải: 
Diện tích cần tìm S = 
Xét dấu f(x) = với x Î 
Trên đoạn ta có f(x) = 0 khi x = .
Dấu của f(x)
x
p/6
p/4
p/3
f(x)
+
0
-
Khi đó S = 
Ví dụ 3 (HVBCVT – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2x; y = 3 – x và x = 0.
= (đvdt).
Giải:
Xét PT: 2x = 3 – x Û 2x + x – 3 = 0 (1)
Xét hàm số f(x) = 2x + x – 3 ta có f’(x) = 2xln2 + 1 > 0, "x Î R Þ f(x) đồng biến trên R.
Mà f(1) = 0 Þ PT(1) có nghiệm duy nhất x = 1.
Ta có diện tích cần tính S = (đvdt).
Chú ý: Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a. Khi đó ta chỉ cần giải PT f(x) = 0 để tìm cận còn lại.
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ; y = x; x = 4.
Giải: 
Xét phương trình: =x Û .
Vẽ hình:
1
S = 
= = 3 (đvdt).
Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x) và y = g(x).
Phương pháp: 
Xét phương trình: f(x) = g(x) có nghiệm x1 < x2 < x3 < < xn.
Diện tích cần tìm là:
Ví dụ 1 (ĐH-CĐ khối A 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (e + 1)x; y = (1 + ex)x.
 S = 
Giải:
Xét PT: (e + 1)x = (1 + ex)x Û x(ex – e)= 0 Û x = 0 v x = 1.
Khi đó diện tích cần tìm
S = 
= 
Tính I: Đặt I = 
Vậy S = (đvdt).
Ví dụ 2 (ĐHCĐ khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2-4x+3| và y = x + 3.
Giải:
Xét phương trình 
|x2 – 4x + 3| = x + 3 Û 
Û Û 
Diện tích cần tính là
S = 
 = 
 = 
 =
 =(đvdt).
Ví dụ 3 (ĐHBK – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = và x2 + 3y = 0.
Giải:
Xét phương trình: 
Û x4 + 9x2 – 36 = 0 Û x = ± .
Diện tích cần tìm: S = 
Tính A: Đặt x = 2sint, t Î Þ dx = 2costdt
Đổi cận: 
A = 
 	 = .
Ví dụ 4 (ĐHSPHN – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2 – 1| và y = |x| + 5.
Vậy S = (đvdt).
Giải:
Xét phương trình: |x2 – 1| = |x| + 5 (1).
Bảng xét dấu
x
-¥
-1
0
1
+¥
x
-
-
0
+
+
x2 - 1
+
0
-
-
0
+
Nếu x < - 1: (1) trở thành: x2 – 1 = - x + 5 Û x2 + x – 6 = 0 Û x = 2 hoặc x = - 3 Þ x = - 3.
Nếu – 1 £ x < 0: (1) trở thành: 1 – x2 = - x + 5 Û x2 – x + 6 = 0 (vô nghiệm).
Nếu 0 £ x < 1: (1) trở thành: 1 – x2 = - x + 5 Û x2 – x + 4 = 0 (vô nghiệm).
Nếu x ≥ 1: (1) trở thành: x2 – 1 = x + 5 Û x2 – x – 6 = 0 Û x = -2 hoặc x = 3 Þ x = 3.
Từ đồ thị ta có: 
S = 
 = 
 = (đvdt).
Ví dụ 5 (ĐHCông Đoàn – 2000) tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
Giải: 
Cách 1: 
Từ đồ thị ta có: 
S = 
 = (đvdt).
Cách 2: Có x + y – 2 = 0 Û x = 2 – y.
Xét phương trình: 
Û 
Diện tích cần tìm: 
S = (đvdt).
Chú ý: Một số bài toán có thể coi y là ẩn số.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x = f(y); x = g(y) và y = a và y = b là
S = .
Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 = x3 và y2 = (2-x)3.
Giải: 
Có y2 = x3 Û x = .
 	 y2 = (2 – x)3 Û x = 2 - .
Xét PT: = 2 - Û =1 Û y = ± 1.
Diện tích hình phẳng cần tìm:
S = (đvdt).
Bài toán 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); y = h(x).
Giải:
+ Vẽ đồ thị hàm số
Ví dụ 1 (ĐHCĐ – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
y = x2; y = ; y = .
+ Xác định hình phẳng cần tính diện tích.
Giải: 
Xét PT: x2 = Û x = 2; = Û x = 4.
Diện tích cần tìm:
S = (đvdt).
Ví dụ 2 (ĐH Thủy Lợi – 2000) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 – 2x + 2; y = x2 + 4x + 5; y = 1.
Giải:
Xét PT: x2 – 2x + 2 = x2 + 4x + 5 Û 6x = -3 Û x = .
Diện tích cần tìm:
S = 
 = (đvdt)
Ví dụ 3 (ĐHKTQD – 2001) Tính hình phẳng giới hạn bởi (P) y = 4x – x2 và các đường thẳng tiếp tuyến với (P) biết rằng các tiếp tuyến đó đi qua M.
Giải:
+ Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc k:
d: y = k(x - ) + 6
+ d tiếp xúc với (P) Û có nghiệm.
Từ hệ ta có: x2 – 5x + 4= 0 Û 
Tiếp tuyến qua M có hệ số góc k = 2
d1: y = 2x + 1.
Tiếp tuyến qua M có hệ số góc k = - 4
d2: y = - 4x + 16
+ Hoành độ giao điểm của d1, d2 là nghiệm của phương trình
2x + 1 = - 4x + 16 Û x = 
Hoành độ giao điểm của d1 và (P) là nghiệm của PT:
4x – x2 = 2x +1 Û x2 – 2x + 1 = 0 Û x = 1.
Hoành độ giao điểm của d2 và (P) là nghiệm của PT:
4x – x2 = - 4x + 16 Û x2 8x + 16 = 0 Û x = 4
Diện tích cần tìm 
S = 
= (đvdt).
Ví dụ 4 (ĐH Y Thái Bình – 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ; y = 0 và x = 0; y = 3 – x.
Giải:
Xét phương trình: =3 – x Û + x – 3 = 0 (*)
Hàm số f(x) = + x – 3 có f’(x) = ln5 + 1 > 0, "x Î R Þ f(x) đồng biến trên R. Mà f(2) = 0 Þ PT (*) có nghiệm duy nhất x = 2.
Diện tích cần tìm 
Bài toán 5: Tính diện tích hình tròn.
S = (đvdt).
Ví dụ 1: Tính diện tích (C): x2 + y2 = R2.
Giải:
Có y2 = R2 – x2 Û y = .
Gọi S1 là diện tích thuộc góc phần tư thứ nhất. Diện tích hình tròn là S = 4S1.
S1 là hình phẳng giới hạn bởi y = (vì y ≥ 0); trục Ox; x = 0 và x = R.
S1 = 
Đặt x = Rsint, t Î Þ dx = Rcostdt.
Đổi cận 
S1 = =
Ví dụ 2: Parabol (P): y2 = 4x chia hình tròn (C) x2 + y2 = 32 thành hai phần. Tính diện tích mỗi phần.
Vậy S = pR2.
Giải:
Ta có (C) tâm O(0; 0), bán kính R = 
Hoành độ giao điểm của (P) và (C) là nghiệm của PT:
x2 + 4x – 32 = 0 Û 
Gọi S1 là diện tích hình phần bị gạch; S2 là phần không bị gạch.
S1 = 
 = 
Tính I: Đặt x = sint, t Î Þ dx = costdt
Đổi cận: 
I = 
Þ S1 = (đvdt)
Hình tròn (C) bán kính R = Þ Diện tích S = pR2 = 32p 
Þ Diện tich phần không bị gạch 
 Bài toán 6: Tính diện tích Elíp
S2 = 32p - .
Ví dụ 1: Tính diện tích Elíp (E): (a > b). 
Giải: 
* Ta có y2 = Û y = 
Gọi S1 là phần diện tích thuộc goc s phần tư thứ nhất
S1 = 
Đặt x = asint; t Î Þ dx = a costdt
Đổi cận: 
S1 =
 = .
Vậy diện tích (E): S = 4S1 = pab.
VẤN ĐỀ 2: TÍNH DIỆN TÍCH LƠN NHẤT – NHỎ NHẤTCỦA HÌNH PHẲNG.
+ Tính diện tích hình phẳng S theo các tham số m
+ Tìm GTLN – GTNN bằng cách sử dụng
Tam thức bậc 2
Bất đẳng thức
Đạo hàm
Ví dụ 1(ĐH Ngoại Thương – 2000) Cho parabol (P): y = x2 +1 và đường thẳng d: y = mx + 2. Chứng mih rằng khi m thay đổi đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho phần diện tích giới hạn bởi d và (P) là nhỏ nhất.
Giải:
* Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
x2 + 1 = mx + 2 Û x2 – mx – 1 = 0 (1)
Ta có D = m2 + 4 > 0, "m Î R Þ PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy d luôn căt (P) tại hai điểm phân biệt "m.
Giả sử d cắt (P) tại A(a; ma + 2) và B(b; mb + 2) (a < b). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) là:
S = 
= 
= 
Þ S2 = 
= 
Vì a, b là nghiệm của (1) nên 
Þ S2 = (m2 + 4) ≥ 4. = 
Þ S ≥ .
Vậy Smin = khi m = 0.
Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;3) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P) nhỏ nhất.
Giải:
Phương trình đường thẳng d đi qua M:
 y = m(x-1) + 3 = mx +3 – m
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
 x2 – mx + m – 3 = 0 (1)
Ta có: = m2 – 4m +12 > 0 m d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A;Bm
Giả sử A(a; ma + 3 – m) ; B(b; mb +3 – m)
Diện tích cần tính:
S==
 = 
 S2 = 
Vì a,b là nghiệm phương trình (1) nên: 
 S2 = = 
 Smin = đạt được khi m = 2.
Vậy phương trình đường thẳng d: y = 2x + 1.
VD3: Trên parabol (P): y = x2 lấy hai đểm A(-1;1) và B(2;4). Tìm M trên cung AB sao cho diện tích tam giác MAB là lớn nhất.
Giải:
Giả sử M(a;a2) -1<a<2
Phương trình đường thẳng AB: 
Phương trình đường thẳng AM: 
Phương trình đường thẳng BM: 
Diện tích :
S = 
 = 
 = = 
Xét hàn số: f(a) = với a(-1;2)
 Ta có: 
Bảng biến thiên:
a
-1
1/2
1
f’(a)
+
0
-
f(a)
27/8
Từ bảng biến thiên ta có Smax = 27/8 khi a = ½.
Vậy M(1/2; ¼).
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. (ĐH Nông Nghiệp I, khối A -99)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = và y = 
Bài 2. (ĐHTL – 99)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = và y = 
Bài 3. (CĐSP Hà Nội – 99)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): 
 và đường thẳng 
Bài 4. (ĐHTL – 2000)
Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c (a0) . Gọi d là tiếp tuyến với (P) tại điểm có hoành độ x00.
CMR: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(P), d và trục Oy là: S =
Bài 4. (HVCNBCVT – 2000)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; và 
Bài 5. (CĐ Kiểm Sát – 2000)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = (x+1)2 ; và y = 0 với 
Bài 6. (ĐH Tây Nguyên, khối A – 2000)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 ; y = 4x2 ; y = 4.
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và 
Bài 8. (ĐH Cảnh Sát Nhân Dân – 2001)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; trục Ox và x = 0; x =
Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 3x -1
Trục Ox và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: và y = x + 3.
Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y2 = 2px và x2 = 2py (p>0)
Bài 12. (ĐHKT – 2000)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ; trục Ox và x = 1; x = -1.
Bài 13. Tính diện tích phần chung của hai elip:
 (E1): và (E2): 
Bài 14. Tính tỷ số mà parabol (P): y2 = 2px (p>0) chia (E): 
Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): . Đường thẳng 
y = (d) cắt (E) tại M,N. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và phần (E) phía trên đường thẳng đó.