Luyện thi Đại học môn Toán - Phương trình lượng giác

VẤN ĐỀ VI:
Vài cách giải dặc biệt
với các phương trình không chuẩn mực
Phương pháp tổng hai số âm:
 Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới hai vế)
Phương pháp phản chứng:
 Phương pháp biến đổi phương trình về dạng tích có vế phải bằng 1, các nhân tử bị chặn bởi :
 Dùng tham số như ẩn số
Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất.
Ví dụ 1: 
Giải các phương trình sau:
a, (1)
b, (2)
GIẢI:
a, ĐK: 
So với điều kiện thì là nghiệm của (1) 
b, 
Ví dụ 2:
Giải các phương trình sau:
a, cos x = 1 + x (1)
b,2sinx = cos x với (2)
GIẢI:
a, 
Ta nhận thấy x = 0 là nghiệm của (1)
Đặt 
là hàm tăng
Do đó: 
x >0 
 không là nghiệm của (1)
x<0 
 không là nghiệm của (1)
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
b, 
Với - x = 0 : VT = 2sin0 = 20 = 1
 VP = cos 0 = 1
 x = 0 là nghiệm của (2)
 - : sin x > 0
 2sin x > 20 = 1 :VT > 1
 cos x < 1 :VP < 1
Vậy: không là nghiệm của (2), do đó:
 x = 0 là nghiệm duy nhất.
*Bài tập:
6.1: Giải các phương trình sau:
a, 
b, sin3x + cos3x = 2 – sin4x
c, 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1
d, sin2x + sin2y + sin2(x + y) 
e, tan2x + tan2y + cot2(x + y) = 1
f, 
g, 
h, 
i, 
j, x2 – 2x.sinxy + 1 = 0
6.2: 
Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
c, 
d, 
e, 
6.3:
Giải các phương trình sau:
a, 
b, với 
c, với 
d, (theo tham số m)
e, 
6.4: 
a, Giải phương trình: 
b, Định a để phương trình sau có nghiệm:
6.5: 
a, Với giá trị nào của a thi phương trình:
1 + sin2ax = cosx
 Có nghiệm duy nhất?
b, Chứng minh rằng nếu a là số hữu tỷ khác 0 còn b là số vô tỷ thì phương trình:
1 + sin2ax = cox bx
Có 1 nghiệm duy nhất.
6.6:
a, Định điều kiện của a, b để phương trình sau có nghiệm:
b, Định a, b để mọi nghiệm của phương trình sin(x + y) = a 
cũng là nghiệm của phương trình cos(x + y) = b
VẤN ĐỀ VII:
Tìm nghiệm phương trình lượng giác thoả mản điều kiện cho trước.
Giải phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác.
Với những phương trình lượng giác được cho thêm điều kiện về nghiệm, khi giải xong ta phải dựa vào điều kiện mà chọn nghiệm. Nếu điều kiện về nghiệm là một khoảng cho trước thì việc chọn các nghiệm dẫn đến việc giải các bất phương trình trong tập số nguyên. Nếu điều kiện về nghiệm cần thoả bất phương trình chứa các hàm lượng giác, việc chọn các nghiệm nhất thiết được thực hiện trên một khoảng bằng BSCNN của chu kỳ các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình và bất phương trình điều kiện
Việc giải các phương trình siêu việt chứa các biểu thức lượng giác, thường tuỳ thuộc đặc trưng của mỗi phương trình. Cần kết hợp cách giải các phương trình mũ, logarit với giải phương trình lượng giác. Đôi khi sử dụng phương pháp đối lập, đoán nghiệm. Chú ý đến điều kiện ban đầu của bài toán.
Ví dụ:
Tìm tổng các nghiệm của phương trình:
 thoả 1x70
GIẢI:
Điều kiện: 
(1)
Vì 
Phương trình (1) có 33 nghiệm trên [1;70] lập thành cấp số cộng : 
 có công sai là 
S = x0 + x1 + x2 ++ x32 
* Bài tập:
7.1: Tìm các nghiệm của phương trình:
thoả mãn bất phương trình: 
7.2: Giải các phương trình sau:
a,
b,
c,
7.3: Tìm các nghiệm của phương trình
thoả mãn điều kiện 
7.4: Tìm các nghiệm của phương trình: 
a, Trên 
b, Trên toàn trục số.
7.5: Tìm các nghiệm phương trình:
thoả mãn bất phương trình 
7.6: Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
c, 
d, 
VẤN ĐỀ VIII:
Tính giá trị biểu thức, tìm miền giá trị (GTLN, GTNN) của hàm số
bằng phương pháp giải phương trình
Để tính giá trị của một hàm lượng giác của một cung, dựa vào mối liên hệ giữa các cung (bù, phụ, hơn kém ,) và công thức lượng giác, ta lập được một phương trình bậc hai hay ba mà hàm lượng giác đó là nghiệm. Giải phương trình này ta tính được giá trị đó.
Để tính giá trị của một biểu thức lượng giác số, ta cũng lập một phương trình lượng giác (tương tự trên) nhận các hàm lượng giác trong biểu thức đó là nghiệm. Dựa vào định lý Viète của phương trình bậc n ta suy ra giá trị của biểu thức.
GHI CHÚ: Nếu một phương trình có n nghiệm a1, , an thì:
(x-a1)(x-a2)(x-an) = 0
x1n-S1xn-1+S2xn-2-S3xn-3++ (-1)nSn = 0
 Với: S1 = a1 + a2 + + an
 S2 = a1a2 + a2a3 + + ana1
 Sn = a1a2an
Để tìm miền giá trị của một hàm ( hay tìm GTLN, GTNN), ta làm như sau:
Tim D (Miền xác định)
Lấy (Miền giá trị), giải phương trình
 với 
Khi giải xong phương trình ta thương đưa về dngj phươg trình bậc hai hay bậc một đối với sinx, cosx.
Từ điều kiện có nghiệm của phương trình suy ra miền giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: 
Không dùng bảng hãy tính sin 180
GIẢI:
 Ta có: 
 Đặt: 
(1)4x3 – 2x2 – 3x + 1 = 0
 (x – 1)(4x2 + 2x – 1) = 0
 42 + 2x – 1 = 0
(loại)
 Vậy: sin 180 .
 Ví dụ 2:
Tìm GTLN GTNN của : .
GIẢI
Ta có phương trình : 2cosx – sinx = -4 vô nghiệm (vì a2 + b2 <c2 )
2cosx – sinx + 4 0 với mọi x
D= R
Gọi T là tập giá trị của y 
Lấy y thuộc T ,thế thì tồn tại x thuộc D sao cho (1)
 (y +2)sinx + ( 1 – 2y )cosx = 4y – 3 (2)
có nghiệm (2) có nghiệm
 ( y + 2)2 + (1 -2y )2 (4y -3)2
 11y2 -24y + 4 0
Dấu “=” xảy ra được nên: 
Và GTLN y = 2, GTNN y = 
*Bài tập:
8.1: Không dùng bảng (dùng phương trình) tính các giá trị sau:
8.2: Chứng minh:
a, 
b, 
8.3: Tìm giá trị của: 
 và 
8.4: Tìm x sao cho: 
 là số nguyên.
8.5: Định k để giá trị nhỏ nhất của:
 nhỏ hơn -1.
8.6 Tìm x sao cho là số nguyên .
8.7 Tìm GTLN, GTNN của: 
 a, 
 b,.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1:Giải các phương trình sau:
 a, sin23x +sin24x = sin25x + sin26x.
 b,sin3x(1 + cotx ) + cos3x( 1+ tanx) = 2.
 c,.
 d, 
 e, 
 f, 
 g, 
 h,
 i, 
 j, 
2: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:
3.Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau:
 với điều kiện .
4.Cho phương trình :.
 a, Giải phương trình khi k = 2.
 b, Giải và biện luận phương trình theo tham số k.
5. Tìm nghiệm của phương trình :
. thoả mãn:.
6.Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
 ..
7.Giải và biện luận phương trình :
 a, (m – 1 )sin2x – 2( m+ 1 )cosx + 2m – 1 = 0
 b, cosax +cos2bx - cos[( a + 2b )x] = 1.
 c, msinx + ( 2m - 1)cosx = 3m – 1 với 0 < x < .
 8. Cho phương trình : sinx + mcosx = 1 (1)
 a, Giải phương trình khi m = .
 b, Định m để (1) có nghiệm chung với phương trình : msinx + cosx = m2 .
 9. Chứng minh phương trình :sinx- 2sin2x – sin3x = 2	 .vô nghiệm .
10. Tìm nghiệm của phương trình 
 a2sinx – asin2x – a2cosx + acos2x = cosx – sinx với .
11. Cho phương trình :
 2(2 – 3m )sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2 )sin2x.cosx – ( 4m – 3 )cosx = 0.
 a, Giải phương trình khi m = 2 .
 b, Tìm m để chứa đúng một nghiệm của phương trình .
12. Cho phương trình msĩn + (m + 1 )cosx = .
 a, Giải phương trình khi m = .
 b, Định m để phương trình có nghiệm .
 c,Giả sử m là giá trị làm cho phương trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 +x2 
 Tính cos2(x1 + x2 ) theo m.
13. a, Xác định a sao cho phương trinh : 2cosx +a.cosx = 3 + sin2x có nghiệm duy nhất trên.
 b,Cho hai phương trình : 2|x| + |x| = 1 + asin2y (1) và (2|y| + |y| )sinx = acosx (2)
 Tìm a để mọi nghiệm (x,y) của (1) cũng là nghiệm của (2).
14. Cho phương trình : sin4x + (1 – sinx)4 = m.
 a, Giải phương trình với m =.
 b, Định m để phương trình có nghiệm .
15. Cho phương trình : 2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x.
 a, Giải phương trình khi m = - 7.
 b,Định m đẻ phương trình có nhiều hơn một nghiệm thuộc đoạn .
16.Tìm số thực a > 0 và nhỏ nhất thoả mãn phương trình :
17. Tìm nghiệm của phương trình : sin2 [(x + 1)y] = sin2 (xy) + sin2 [(x – 1)y] .
 Sao cho (x +1)y, xy , (x – 1)y tạo thành cácgóc của 1 tam giác .
18. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác sao cho các góc của nó đều là nghiệm của bất phương trình : (56 – 65sinx)(80 – 64sinx – 65cos2x) = 0 .