Luyện thi Đại học môn Toán - Hệ thức lượng

Chuyên đề: hệ thức lượng
Kiến thức cơ bản
Định lí cosin	
Định lí sin
Công thức diện tích
Công thức đường trung tuyến
Công thức đường phân giác
Công thức bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp
Các bài toán điển hình
Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức
 Bài 1: Chứng minh rằng:
 ( Định lí hàm số cos mở rộng)
 ( Định lí hàm số tang)
 Lời giải:
 Ta có: 
Ta có:
Theo 1) và 2) ta suy ra đpcm
Ta có: 
 Bài 2: Chứng minh rằng:
Lời giải:
Ta có:
Ta có:
Ta có: 
Ta có: 
Ta có: 
Từ câu 5) suy ra:
Từ câu 4) suy ra:
 Bài 3: Chứng minh rằng:
Lời giải:
áp dụng công thức đường trung tuyến suy ra đpcm
Ta có:
Cộng vế với vế của 3 đẳng thức trên suy ra đpcm
3) Ta có:
Cộng vế với vế của 3 đẳng thức trên suy ra
Mặt khác:
4) Ta có:
 Bài toán 2: Chứng minh bất đẳng thức
 Bài 1: Chứng minh rằng:
 (Tam giác ABC nhọn)
 (Tam giác ABC nhọn)
 (Tam giác ABC nhọn)
Lời giải:
Ta có: 
Ta có: 
Ta có: 
 vì 
 Bài 2: Chứng minh rằng:
 (Tam giác ABC nhọn)
Lời giải:
 1)
 2) 
 3) 
 BĐT 
	BĐT cuối cùng là đúng suy ra đpcm
 4)
	 BĐT 
	BĐT cuối cùng là đúng suy ra đpcm
	5)
	6)
 7) Vì nên theo BĐT Côsi ta có:
 8) 
 9)
 10)
 Bài toán 3: Nhận dạng tam giác
 Bài 1: Nhận dạng tam giác ABC biết:
 Lời giải:
1)
Vậy tam giác ABC vuông tại A
 2)
Vậy tam giác ABC vuông tại C
 Bài 2: Nhận dạng tam giác ABC biết:
 Lời giải
 Vậy tam giác ABC cân tại C
2)
 ( vì và cùng dấu)
 Dấu bằng xảy ra khi =
 ( Theo BĐT Bunhiacopski)
 Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy 
Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại C
 Bài 3: Nhận dạng tam giác ABC biết:
(1) và 
 Lời giải
1)
Thay vào ta được: 
Vậy tam giác ABC đều
2)
Tacó:
Dấu bằng xảy ra khi tức là tam giác ABC đều
Các sai lầm thường mắc
Sai lầm trong bài toán chứng minh
Trong bài toán chứng minh ta phải chú ý đến điều kiện của bài toán, nếu không thì sẽ rất dễ bị thiếu trường hợp
Ví dụ: Chứng minh rằng: mọi tam giác có thể tính diện tích theo công thức: 
Lời giải chưa đầy đủ:
A
C
A’
B
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BC. Ta có:
Lời giải trên thiếu trường hợp góc B là góc tù.
Bổ sung trường hợp B là góc tù như sau:
A
B
C
A’
Sai lầm trong bài toán nhận dạng tam giác
Khi nhận dạng tam giác, có khi ta dẫn đến một phương trình lượng giác của các góc, nếu không biện luận chặt chẽ thì ta sẽ bị bỏ sót trường hợp.
Ví dụ:
Xác định dạng của tam giác thoả mãn hệ thức: 
Lời giải chưa đầy đủ:
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
Lời giải trên khi biện luận phương trình đã xét thiếu trường hợp: khi đó tam giác ABC có: 
Các bài tập nâng cao
Bài 1: 
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác không thể có 2 góc lớn hơn 900.
 Lời giải:
Giả sử . Khi đó ta có: 
Theo ĐL hàm số cos ta có: 
Mà: 
Lại có: 
Vậy (đpcm)
Bài 2:
Tam giác ABC có 3 cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai 
Lời giải:
Theo giả thiết ta có: 
Bài 3:
Chứng minh rằng, với mọi tam giác ABC ta có:
Lời giải:
Bài 4:
Chứng minh rằng:
( Tam giác ABC nhọn)
Cả 5 BĐT trên ta đều dùng BĐT Cosi và kết hợp với những BĐT cơ bản thường gặp ở mụcII.
Bài 5:
Nhận dạng tam giác ABC biết:
Lời giải
Xét 
Tương tự suy ra: 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều
Các bài tập đề nghị
 Bài 1:
Xây dựng công thức tính:
1) 
2) 
3) Chứng minh rằng: 
Bài 2: 
Cho tam giác ABC có 3 cạnh lập thành cấp số nhân với công bội q=2. Chứng minh rằng:
1) 
2) 
Bài 3
Chứng minh rằng: 
Bài 4:
Chứng minh rằng: Nếu thì 
Bài 5:
Chứng minh rằng: Nếu thì 
Bài 6: Chứng minh các BĐT:
1) 
2)
3)
4) 
5) 
Bài 6: Xác định dạng của tam giác ABC biết: