Luyện thi Đại học môn Toán - Hệ phương trình có chứa tham số

Hệ phương trình có chứa tham số 
I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai 
 Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm
 Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm 
 Bài 1 Cho hệ phương trình 
A,tìm m để hệ có nghiệm 
B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x,y),(x,y) thoả mãn 
P = x+ x + y + y đạt giá trị nhỏ nhất 
Giải
Hệ pt 
Hệ có nghiệm pt (2) có nghiệm m
b- Theo Viét : x=6 , x.x=m-1 Nên 
p = (x+x)-2x.x+(x-3)+(x-3)=-4m+46 (m10)
 khi m=10
Bài 2 Cho hệ phương trình ;
a-Tìm a,b để hệ có nghiệm 
b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a
Giải
a-Từ(1) thay vào (2)ta có :24x-6ax+a-5b=0(3) Hệ có nghiệm pt(3) c ó nghiệm b
b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm
c-Hệcó nghiệm với mọi abmaxmọi a 
Các bài tập tương tự 
1- Giải và biện luận h ệ phương trình :
2- Cho hệ phương trình :
a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5 
b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b
3- Cho hệ phương trình 
a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b-hệ có hai nghiệm(x,y)(x,y)Chứng minh rằng (x-x)+(y-y)
4- Cho hệ phương trình:
a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt 
b-hệcó hai nghiệm(x,y)(x,y)Tìm mđể:(x-x)+(y-y)=4
5- Cho hệ phương trình:
a- Tìm m để hệ có nghiệm
b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x,y),(x,y) thoả mãn
 P = x+ x+y+y đạt giá trị nhỏ nhất
6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau :
7- Cho hệ pt:có nghiệm với mọi b CMR:a=0 
II-Hệ đối xứng loại một 
 Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi 
 Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s)Khi đó có hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số . Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau 
 Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử dụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính đối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất .Sau đây là một số ví dụ minh hoạ 
Bài1-Chohệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm Giải 
 Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s)Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m ,p=5m-1 
 Hệ có nghiệm sm hoặc m 
Bài 2- Chohệ phương trình: Tìm m để hệ có nghiệm
Giải
Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s)Khiđóhệphươngtrình: hoặc (với m)
Hệ có nghiệm s(TMĐK)
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :
Giải 
Đặt s=x+y,p=x(ĐK:s,p KhiđóhệptHệcónghiệm 
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :
Giải 
Đặtu=,v=(đK:u,v,x,y)Khiđóhệpt:
 Hệcónghiệm u,v 
Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm : Giải 
Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u)Khiđóhệ:nên u,v là nghiệm pt bậc hai: X-8X +m=0 (u,v)Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn bằng Hai đồ thị hai hàm số y=x-8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có hoành độ .Nên dựa vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16 Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt 
Giải HệptvHệ có ba nghiệm phân biệt khi có hai nghiệm phân biệt x ,y pt X-X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt (m= ptcó nghiệm kép X=0,5)
Bai7-Cho hệ phương trình :
a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m 
b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 
Giải 
Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình : 
a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (svới mọi m)
b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất 
Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1
 Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện đủ 
Bài8-Tìm mđể hệ pt có nghiệm duy nhất
Giải 
* Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0 
* Với m=0 hệ pt : Vậy :m=0
Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất 
`Bài tập 
1-cho hệ pt :
a-Giải hệ pt khi m=3
b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m
2- Cho hệ pt :
a-Giải hệ pt khi m=2 
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0 
3- Cho hệ pt :
a- Giải hệ khi m=-3
b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 
4- Tìm m để hệ :có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất
5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 
6- Cho hệ pt : a- Giải hệ khi m=2 
b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất
7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :
8- Tìm m để hệ : có 4 nghiệm phân biệt 
9- Giải biện luận hệ pt:
10-Tìm m để hệ có nghiệm :
III-Hệ đối xứng loại hai 
+Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại 
+Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải được hệ 
+Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một 
Bài1-Chohệpt:Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt
Giải 
Trừ hai vế của của hai pt ta có : Hệ có hai nghiệm phân biệt m+3 
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 
Giải 
Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ: hoặc 
Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0 khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1
Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
Giải 
Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2xcó nghiệm duy nhất khi m=0 v m=8 
Vớim=0hệlà:hoặc(hệcóvôsốnghiệm)
Với m=8 hệ:(hệ có nghiệm duy nhất)
Vậy m=8 
Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
Giải : Đ K :-1 
Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y=thay vào hệ ta có m= Với m=hệ pt: 
Màdấu bằng xảy ra x=y=(thoả mãn hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y=
Vậy m=
 Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm 
Giải 
ĐK :x,y
Hệ
 Hàm số f(t)= nghịch biến trong khoảng (2,+) Nênpt(1)x=ythay vào pt kia ta có pt: Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm Vậy:
Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Giải 
 Trừ haivế của hai pt ta có: x=y=0 V V 
 ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm vô nghiệm 16
ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2) Là pt bậc hai ẩn y có với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm hệ (II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm 
Vậy :m>16
Bài tập 
1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 
2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất 
 a- b, c, 
d,
3-Tìm m để hệ có nghiệm :
 IV-Hệ đẳng cấp bậc hai 
Xét hệ có dạng :
Cách giải 
Cách 1: + xét xem x=0 có là nghiệm của hệ pt hay không 
+Với x đặt y=tx thay vào hệ pt :chia hai vế của hai pt cho xcân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x khi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được t
Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn Xở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x,rút x theo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng phương giải được ẩn x 
Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự dota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y 
Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo mỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau 
Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m: 
Giải 
Nhận xét ở pt (2) bậc nhất với ẩn x nên rút x ở pt (2) thayvào pt(1)tacó pt:2y-(40-9m)y-16=0(3)Đặt t=y(t)
Ta có pt:2t-(40-9m)t-16=0(4) pt(4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên pt(3) luôn có nghiệm do đó hệ luôn có nghiệm với mọi m (ĐPCM)
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm : 
Giải 
+x=0 thay vào hệ giải ra tìm được y=,m=16
+x(haym)Đặty=tx thay vào hệ : Ta có :t+2t+3=(t+1)+2>0 với mọitnên hệ có nghiệm pt(3) có nghiệm 5-11
Bài 3-Tìm m để hệ :có 4 nghiệm phân biệt 
Giải 
Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x=thay vàopt(1)tacó:(3m-12(m+1)y+4=0
Đặt t=y(Đ K:t)Ta có:(3m-12(m+1)t+4=0 (3)
Hệ có 4nghiệm phân biệt pt(3)có2nghiệm dương phân biệt 
Bài tập 
1-Tìm m để hệ có nghiệm :
2-Tìm m để hệ có nghiệm :
V-Một số hệ khác 
1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn 
Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai ,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp bậc hai
Ví dụ 1- Tìm m để hệ sau có nghiệm : 
Giải 
*ĐK Cần: Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (x,y) thoả mãn hệ bất pt trên .Khi đó nhân cả hai vế của (1) với -2 rồi cộng hai bất đẳng thức với nhau ta có: x
*ĐK Đủ: Với m<-1.Ta có :
Xét hệ pt: V Hệ có nghiệm Vậy : m<-1 
Bài tập 
1- Tìm m để hệ có nghiệm 
 a- b- 
 c- 2-Sử dụng hình học để tìm điều kiện hệ có nghiệm
Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất phương trình có tập nghiệm là một hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl)hoặc một đồ thị hàm số ,khi giá trị của tham số thay đổi thì các hình đó cũng thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy ra các vị trí tương đối của nó để biện luận tập nghiệm của hệ .Tuỳ theo mỗi hệ ,có khi phải biến đổi mới có thể sử dụng được phương pháp này 
Bài 1- Tìm a để hệ có hai nghiệm : 
Giải
Nếu a<-1 hệ vô nghiệm 
Nếu a Khi đó hệ :Tập nghiệm của (1) là đường tròn tâm O(0,0) bán kính R= còn nghiệm của (2) là hai đường thẳng x+y-2=0 V x+y+2=0 đối xứng nhau qua O Nên hệ có nghiệm hai đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung Hai đường thẳng cùng tiếp xúc với đường tròn Khoảng cách từ O đến hai đường thẳng bằng bán kính của đường tròn 
Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất : 
Giải 
Nếu a<0 hệ vô nghiệm 
Nếu a Khi đó nghiệm của (1) là hình tròn tâm I(0,-1)bán kính R= và nghiệm của (2) là hình tròn tâm J(-1,0) bán kính R= Nên hệ có nghiệm duy nhất Hai hình tròn có điểm chung duy nhất Hai hình tròn tiếp xúc ngoài nhau 
Bài 3-Tìm a để hệ có nghiệm ; 
Giải 
Nếu a<0 hệ vô nghiệm Nếu ađặtu=,v= Khiđóhệ:
Trong hệ toạ độ nghiệm của (1)là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng :u+v=a(d) và nghiệm của (2) là tập hợp các điểm nằm trên đường tròn tâm O(o,o)bán kính R=.Nên hệ có nghiệm ó hai đường có điểm chung trong góc phần tư thứ nhất ód(o,m)d(o,d)(trongđóđtm:u+v=)óó
Bài tập 
Bài 1-Tìm a để hệ có nghiệm :
Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
Bài 3-Tìm m để hệ có nghiệm :
Bài 4-Tìm m để có nghiệm duy nhất :
Bài 5-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : Bài 6-Tìm m để hệ sau có nhiều nghiệm nhất :
3-sử dụng điều kiện cần và đủ 
Bài 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :
Giải 
Điều kiện cần :Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (-x,y)cũng là nghiệm của hệ Do đó để hệcó nghiệm duy nhất thìx=-xóx=0
Với x=0thay vào hệ ta có :(II)
Đểhệ(II)có nghiệm duy nhất điều kiện là:
Điều kiện đủ :hệ có nghiệm duy nhất x=0,y=2
Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
Giải 
Hệ pt ó Nếu hệ có nghiệm (x,y)thì (x,-y) cũng là nghiệm Nên hệ có nghiệm duy nhất thì y=-yó y=0
Thay y=0 vào hệ ta có 
Nếu a=-1 thay vào hệ ,giải hệ ta có hệ có nghiệm duy nhất x=y=0
Nếu a=4/3 thay vào hệ ,giải hệ => nghiệm :x=7/9,y=0
Vậy :a=-1 hoặc a=4/3
Bài-3 Tìmađể hệ có nghiệm duy nhất 
Giải 
Nếu (x,y)là nghiệm thì (-x,-y)cũng là nghiệm . Nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y=0.Thay vào hệ ta có a=
Với a=,hệ pt:Nhận thấy x,y 0 thì VT(1) Nên (1) có nghiệm :x=y=0 thay vào (2)thoả mãn 
Vây :a=
Bài tập 
Bài 1-Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất : 
Bài 2- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
Bài 3- Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 
Bài 4-Cho hệ pt:
a-Giải hệ với m=2 
b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 
Bài 5-Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất