Luyện thi Đại học môn Toán - Giới hạn dãy số

Lêi nãi ®Çu
Trong ch­¬ng tr×nh to¸n trung häc phæ th«ng,tÝnh giíi h¹n vµ øng dông cña
 giíi h¹n lµ mét phÇn rÊt quan träng mµ th­êng xuyªn häc sinh ph¶i sö dông. 
Tuy nhiªn giíi h¹n d·y sè th­êng khã víi häc sinh kh¸ vµ häc sinh trung b×nh. 
 Nh­ng trong ®Ò thi ®¹i häc th­êng chØ cã giíi h¹n hµm sè chøa tû lÖ lín nªn khi 
c¸c em gÆp th­êng c¸c em lµm kh¸ tèt . 
T«i viÕt chuyªn ®Ò nµy nh»m môc ®Ých ®­a ra c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh giíi h¹n 
 c¬ b¶n vµ th­êng ®­îc sö dông réng d·i nhÊt ; ®Ó c¸c thÇy c« vµ c¸c em cã thÓ
 tham kh¶o vµ còng lµ gãp ý cho t¸c gi¶.
RÊt mong quý thÇy c« vµ c¸c em häc sinh quan t©m gãp ý cho ®Ò tµi hoµn thiÖn h¬n.
 T«i xin tr©n träng c¶m ¬n !
T¸c gi¶ 
Hoµng quý - Thpt l­¬ng tµi 2 – S§T:01686.909.405
Môc lôc
PhÇn I giíi h¹n cña d·y sè.
 A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.
 B - Giíi h¹n d·y sè 
 D¹ng I : C¸c bµi to¸n giíi h¹n c¬ b¶n
 D¹ng 2 T×m giíi h¹n khi biÕt biÓu thøc truy håi cña d·y sè 
PhÇn ii : Giíi h¹n hµm sè 
 A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.
 B- C¸c d¹ng to¸n .
 I / d¹ng c¬ b¶n
 II/ Giíi h¹n d¹ng : 
 III/ Giíi h¹n d¹ng: 
 iV/ Giíi h¹n d¹ng Mò vµ l«garit
 V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
PhÇn iII : øng dông cña giíi h¹n
 A- Sö dông giíi h¹n ®Ó t×m tiÖm cËn cña hµm sè:	
 B- Sö dông giíi h¹n ®Ó xÐt tÝnh liªn tôc
PhÇn iV Giíi thiÖu mét sè ®Ò thi 
PhÇn I giíi h¹n cña d·y sè.
 A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.
 1) §Þnh nghÜa .
 D·y sè cã giíi h¹n lµ a nÕu víi mäi sè d­¬ng cho tr­íc 
 ( nhá bao nhiªu tuú ý ) tån t¹i mét sè tù nhiªn N sao cho víi mäi n > N 
 th× . Ta viÕt hoÆc viÕt 
 2. C¸c ®Þnh lý.
 +) §Þnh lý 1. 
 NÕu (un) lµ d·y sè t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× nã cã giíi h¹n.
 NÕu (un) lµ d·y sè gi¶m vµ bÞ chÆn d­íi th× nã cã giíi h¹n. 
 +) §Þnh lý 2. C¸c phÐp to¸n trªn c¸c giíi h¹n cña d·y sè 
 +) §Þnh lý 3. [Nguyªn lý kÑp gi÷a] . Gi¶ sö ba d·y sè tho¶ m·n:
 víi vµ th× 
 3. C¸c giíi h¹n c¬ b¶n.
 +) vµ víi .
 +) NÕu th× 	
 +) NÕu th× 
 4. CÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n.
 +) Cho lµ cÊp sè céng víi c«ng sai d. Khi ®ã:
 vµ 
 +) Cho lµ cÊp sè nh©n víi c«ng béi q víi q. 
 Khi ®ã: vµ 
 B - Giíi h¹n d·y sè 
 D¹ng I : C¸c bµi to¸n giíi h¹n c¬ b¶n 
 Ph­¬ng ph¸p chung : +) sö dông biÓu thøc liªn hîp
 +) Sö dông c¸c ®Þnh lý vÒ giíi h¹n 
 +) Sö dông c¸c tæng c¬ b¶n 
 L­u ý : Ta cã thÓ sö dông ®Þnh nghÜa ®Ó t×m giíi h¹n song trong c¸c ®Ò thi ®¹i häc 
 th× viÖc sö dông ®Þnh nghÜa kh«ng cã , nªn trong chuyªn ®Ò nµy t«i chØ ®Ò 
 cËp c¸c vÊn ®Ò liªn quan thi ®¹i häc lµ chÝnh . c¸c bµi to¸n b¸m s¸t ®Ò thi 
 ®¹i häc vµ th­êng sö dông c¸c ®Þnh lý quan träng cña giíi h¹n .
VÝ dô1 : T×m c¸c giíi h¹n sau :
Gi¶i : Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp 
 =1
Ta cã 
Céng l¹i :
 Ta cã : 
 VËy 
VÝ dô 2 : T×m c¸c giíi h¹n sau :
2/ Cho d·y sao cho 
 TÝnh 
Gi¶i : 
Gi¶i : 2/ Cho d·y sao cho 
 TÝnh 
Ta ®i chøng minh (*)
ThËt vËy xÐt vµ 
DÔ dµng chøng minh c¸c hµm sè ®ång biÕn víi x > 0 suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh (*) .
 Ta cã : 
¸p dông (*) 
VËy 
 Ta cã Vµ 
VËy 
D¹ng 2 T×m giíi h¹n khi biÕt biÓu thøc truy håi cña d·y sè 
 Ph­¬ng ph¸p chung : 
 +) Ta x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d ·y sè 
 §Ó x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t ta th­êng sö dông cÊp sè céng ; cÊp sè nh©n ; ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc ; hay cã thÓ lµ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh sai ph©n hay chØ lµ phÐp rót gän ®¬n gi¶n . . . . . . 
VÝ dô 1
 Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: víi 
	 T×m .
 Gi¶i. 
 Theo gi¶ thiÕt ta cã:
 ; ;;..; .
Céng tõng vÕ c¸c ®¼ng thøc trªn ta cã:
 =
 = . Ta cã: 
VÝ dô 2
	 Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi : 
 T×m 
Gi¶i. Ta cã d·y sè chÝnh lµ d·y 
 Ta chøng minh ®­îc d·y sè cã giíi h¹n . §Æt 
 ChuyÓn qua giíi h¹n ta cã v× nªn 
VÝ dô 3
 Cho 
 XÐt d·y T×m 
 Gi¶i : 
 Suy ra : 
 Suy ra : 
VÝ dô 4
 Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: víi 
 a) CMR: (un) lµ d·y t¨ng.
 b) CMR: (un) lµ d·y kh«ng bÞ chÆn trªn.
 c) TÝnh giíi h¹n: .
 Gi¶i.
 a) Ta cã: víi lµ d·y t¨ng.
 b) (Ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng)
 Gi¶ sö (un) lµ d·y bÞ chÆn trªn. Do nã lµ d·y t¨ng nªn nã cã giíi h¹n, 
 tøc lµ:. 
 MÆt kh¸c lÊy giíi h¹n c¸c vÕ cña ®¼ng thøc ®· cho ta cã:
 (v« lý). 
 Chøng tá (un) lµ d·y kh«ng bÞ chÆn trªn, tøc lµ: 
 c)Tõ gi¶ thiÕt ta biÕn ®æi: 
Suy ra: ; ;;
 VËy = =2009
VÝ dô 5
 Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi:
 §Æt . T×m 
 Gi¶i : Ta cã vµ . ( nÕu d·y bÞ chÆn trªn th× cã giíi h¹n ) . Gi¶ sö d·y . (Ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng)
 Tõ gi¶ thiÕt chuyÓn qua giíi h¹n th× v« lý vËy 
 MÆt kh¸c : 
 Do ®ã VËy 
 C¸c bµi tËp t­¬ng tù .
Bµi 1. Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: 
a) CMR: 
b) X¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña (un) theo n.
c) T×m 
Bµi 2. Cho d·y sè (xn) x¸c ®Þnh bëi: 
a) CMR: (xn) lµ d·y sè t¨ng.
b) T×m 
Bµi 3. TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 
 Bµi 4. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
a) b) 
PhÇn ii : Giíi h¹n hµm sè 
 A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.
 1) §Þnh nghÜa 
 Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn K cã thÓ trõ ®iÓm aK . Ta nãi hµm sè
 f(x) cã giíi h¹n lµ L ( hay dÇn tíi L) khi x dÇn tíi a nÕu víi mäi d·y sè 
 sao cho khi th× 
 Ta viÕt : hay 
 2) C¸c ®Þnh lý 
§Þnh lý 1 (Các phép toán về giới hạn hàm số ) ( víi )
Định lý 2:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý 3:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thì 
Định lý 4: Nếu 
 Nếu 
Định lý 5:(giíi h¹n ®Æc biÖt) ; ; ; 
 *Các dạng vô định: 
 1) D¹ng 2) D¹ng 
 3) D¹ng 4) D¹ng 
Ph­¬ng ph¸p chung : Khö d¹ng v« ®Þnh 
 +) Ph©n tÝch ra thõa sè 
 +) Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp th­êng gÆp 
 cã biÓu thøc liªn hîp 
 cã biÓu thøc liªn hîp 
 cã biÓu thøc liªn hîp 
 cã biÓu thøc liªn hîp 
 +) §Æt biÕn phô 
 +) Thªm bít mét sè hoÆc mét biÓu thøc .....
 B- C¸c d¹ng to¸n .
 I ) d¹ng c¬ b¶n
D¹ng I : Ph©n tÝch ra thõa sè 
VÝ dô 1
 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : M=
 M= 
VÝ dô 2
 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : §©y lµ d¹ng .
 Ta cã 
 Do nªn 
 L­u ý : §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n nh­ng häc sinh rÊt dÔ viÕt sai khi viÕt : 
D¹ng II Thªm bít nh©n liªn hîp 
VÝ dô 3
 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : 
 Nh©n c¸c biÓu thøc liªn hîp 
 Rót gän vµ Kq : N = 5
VÝ dô 4
 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : §©y lµ d¹ng Ta chuyÓn vÒ c¸c d¹ng v« ®Þnh kh¸c .
 XÐt c¸c giíi h¹n sau : 
 §Æt Ta cã 
 Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp vµ 
 VËy 
 Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t :
D¹ng III §Æt biÕn phô 
VÝ dô 5
 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : §Æt khi th× 
 Ta cã :
 D¹ng tæng qu¸t : T×m giíi h¹n 
 Gi¶ sö .TÝnh 
II/ Giíi h¹n d¹ng : 
 vµ Tæng qu¸t : (*) víi 
 1) C¸c bµi to¸n c¬ b¶n :
 C¸c giíi h¹n c¬ b¶n ( víi ): 
 2) Ph­¬ng ph¸p 
a) Ph­¬ng ph¸p : 
 B1) NhËn d¹ng giíi h¹n .
 B2) Sö dông c¸c c«ng thøc l­îng gi¸c ; nh©n víi biÓu thøc liªn hîp 
 Thªm bít ;®Æt biÕn phô ....... .
 B3) §­a bµi to¸n vÒ ®óng d¹ng (*) .
 B4) T×m kÕt qu¶ .
 b) Yªu cÇu : 
 +) Häc sinh nhí c¸c c«ng thøc l­îng gi¸c 
	- C«ng thøc céng 
 - C«ng thøc nh©n ®«i ; nh©n ba ; h¹ bËc
 - C«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch ; tÝch thµnh tæng 
 +) Häc sinh nhí c¸c biÓu thøc liªn hîp .
3) ¸p dông 
A- Lo¹i 1( sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi l­îng gi¸c )
Ph­¬ng ph¸p : Trong ph­¬ng ph¸p nµy t¸c gi¶ h­íng dÉn häc sinh chñ yÕu b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c c«ng thøc l­îng gi¸c ; thªm bít ;nhuÇn nhuyÔn ; ®ua vÒ d¹ng (*)
 VÝ dô 1 T×m c¸c giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : Ta cã =1/2
 ( Cã thÓ nh©n liªn hîp víi 1+cosx )
VÝ dô 2 T×m c¸c giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : Ta cã =
 VÝ dô 3 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : 
 Lµm t­¬ng tù bµi 1 C = 7
VÝ dô 4 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : suy ra 
VÝ dô 5 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i:
 Rót gän 
 C¸c bµi tËp t­¬ng tù . 
 1/TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
2/TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 
B-Lo¹i 2 (Nh©n víi c¸c biÓu thøc liªn hîp)
Ph­¬ng ph¸p : Trong ph­¬ng ph¸p nµy t¸c gi¶ h­íng dÉn häc sinh chñ yÕu b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c biÓu thøc liªn hîp ; thªm bít nh©n liªn hîp chøa c¨n bËc 2;3 lµ chñ yÕu .(cã thÓ lµm b»ng c¸ch kh¸c)
 VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp 
 suy ra KQ: C = 
 VÝ dô2 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : Thªm bít vµ nh©n liªn hîp .
 B=5/2
C¸c bµi tËp t­¬ng tù . 
 TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
C-Lo¹i 3 (®Æt biÕn phô)
Ph­¬ng ph¸p : Trong ph­¬ng ph¸p nµy t¸c gi¶ h­íng dÉn häc sinh chñ yÕu b»ng ph­¬ng ph¸p sö dông c¸c biÕn phô 
 VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶I: §Æt x-1= y Ta cã x=y+1 vµ khi : th× 
 Ta cã 
 VÝ dô 2 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i: §Æt Ta cã vµ khi : th× 
 Ta cã 
 VÝ dô 3 T×m giíi h¹n sau : 
 Gi¶i : §Æt Ta cã x= 1-y vµ th× 
C¸c bµi tËp t­¬ng tù . 
 TÝnh c¸c giíi h¹n sau: (Sö dông ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô ®æi biÕn)
 III/ Giíi h¹n d¹ng: 
Ph­¬ng ph¸p : D¹ng tæng qu¸t 
 1) NÕu vµ th× 
 2) NÕu vµ th× ta cã ngay kÕt qu¶ .
 3) NÕu A=1 vµ th× ta ®Æt f(x)=1+h(x)
 Ta cã : KÕt qu¶ : ( -bÊt kú)
 4) §Æc biÖt : vµ 
 Tæng qu¸t : víi 
 víi
	T=0 nÕu 
 Ta cã kÕt qu¶ sau : nÕu 
	 nÕu 
 VÝ dô 1 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : 
VÝ dô 2 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : 
 XÐt giíi h¹n: VËy 
VÝ dô 3 T×m giíi h¹n :
 Gi¶i : Ta cã §Æt vµ th× 
 Khi ®ã rót gän KQ: C=1
Bµi TËp TÝnh c¸c giíi h¹n 
 iV/ Giíi h¹n d¹ng Mò vµ l«garit: 
 Ph­¬ng ph¸p : +) D¹ng tæng qu¸t : 
 +) D¹ng c¬ b¶n: ; 
 +) KÕt qu¶ : 
VÝ dô 1 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : Ta cã 
VÝ dô 2 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : Ta cã
VÝ dô 3 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : Ta cã
VÝ dô 4 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : Ta cã 
VÝ dô 5 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : Ta cã
VÝ dô 6 T×m giíi h¹n : 
 Gi¶i : Ta cã
Bµi tËp TÝnh c¸c giíi h¹n D¹ng - L«garit
 (a;b;c>0)
 V- SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
 Bµi to¸n: TÝnh giíi h¹n D¹ng (). 1)Ph­¬ng ph¸p chung: 
 Ta biÕn ®æi giíi h¹n trªn vÒ d¹ng sau:
D¹ng 1: Ta ®­îc L = . ( c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm t¹i )
D¹ng 2: Ta ®­îc L = víi .
D¹ng 3: Ta ®­îc L = víi .
 Chó ý: Mét sè bµi to¸n cã d¹ng v« ®Þnh ta dïng c¸ch biÕn ®æi nh­ sau:
D¹ng .
D¹ng .
D¹ng . 
Cho hµm sè , ®Ó tÝnh giíi h¹n mµ:
1) vµ D¹ng 
2)vµ D¹ng 
 3) D¹ng 
 ChuyÓn vÒ d¹ng , råi ta ¸p dông 1 trong 3 d¹ng trªn.
 §Ó tÝnh giíi h¹n cô thÓ ta lµm c¸c b­íc sau :
 B1/ XÐt hµm sè phï hîp víi biÓu thøc bµi to¸n 
 B2/ TÝnh =? Vµ Vµ 
 B3/ ViÕt biÓu thøc theo c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm.	
 B4/ KÕt qu¶ 
 2)C¸c vÝ dô minh ho¹: 
 VÝ dô 1: TÝnh giíi h¹n sau 
 Gi¶i:
 B1) XÐt 
 B2) f(1)=0 ; 
 B3) 
 B4) KL:A=5/3
 VÝ dô 2: TÝnh giíi h¹n sau 
 B = . 
Gi¶i:
 XÐt , ta cã: ,
 Khi ®ã: .
 VÝ dô 3: TÝnh giíi h¹n 
 C = . 
Gi¶i:
 ViÕt l¹i giíi h¹n trªn d­íi d¹ng:
C = 
 XÐt , ta cã ;
 §Æt , ta cã ;
 Khi ®ã: C = .
NhËn xÐt: §Ó tÝnh giíi h¹n trªn b»ng ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng ta ph¶i lµm nh­ sau
 Do ®ã C = 
 VÝ dô 4: TÝnh giíi h¹n 
Gi¶i:
 XÐt vµ f(0)=0 ; f’(x)= f’(0)=1/2
 ¸p dông c«ng thøc =1/2
 VÝ dô 5: TÝnh giíi h¹n E= . 
Gi¶i:
 XÐt . LÊy logarit ta cã 
 XÐt Ta cã:
 VËy E = .
 VÝ dô 6: TÝnh giíi h¹n 
Gi¶i:
§èi víi bµi nµy ta dïng phÐp thªm bít hay nh©n liªn hîp lµ rÊt khã vµ dµi . Nªn ph­¬ng ph¸p sö dông ®¹o hµm rÊt cã hiÖu qu¶.
XÐt ®Æt khi th× 
Ta cã 
 XÐt 
VËy VËy 
 §Æt t­¬ng tù trªn 
 KL : F=8
Bµi TËp t­¬ng tù 
 Bµi 1 Tính các giới hạn sau:
 1) 
 2).
 3)                                        4) .
 Bµi 2: Tìm các giới hạn sau
 1) 4) 
 2). 
 3) 5) 
 Bµi 3 Tìm giới hạn: 
PhÇn iII : øng dông cña giíi h¹n
 A- Sö dông giíi h¹n ®Ó t×m tiÖm cËn cña hµm sè:
 I )KiÕn thøc cÇn nhí
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
y = y0 là tiệm cận ngang của (C) nếu một trong hai điệu kiÖn sau được thoả mãn: 
x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 
Đường thẳng y = ax + b ( ) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: 
II ) Ph­¬ng ph¸p chung
 Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ 
 1) Phương pháp 
Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang, xiên:
+ Deg(P(x)) < Deg (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
	+ Deg(P(x)) = Deg(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
	+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + với thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
 2) C¸c vÝ dô
 Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
 Gi¶i  
 a. Ta thấy nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng.
 +) Vì nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 b. +) . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 +) . Ta thấy Vậy y = x+ 2 là tiệm cËn
 xiên của đồ thị hàm số.
 c. Ta thấy +) Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
 +) . Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
 +). Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
 Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ : 
 1) Phương pháp
 Ta phân tích 
 Với khi đó có tiệm cận xiên bên phải
 Với khi đó có tiệm cận xiên bên tr ái
 2) C¸c vÝ dô 
 VÝ dô2 T×m tiÖm cËn xiªn cña hµm sè: 
 Gi¶i :Gäi tiÖm c©n xiªn lµ y=ax+b
 +) TiÖm cËn xiªn bªn ph¶i :
 =2
 VËy tiÖm cËn xiªn bªn ph¶i lµ y=2x-2
 +) TiÖm cËn xiªn bªn tr¸i 
 . VËy tiÖm cËn xiªn bªn tr¸i lµ y=-2x+2
Bµi TËp t­¬ng tù 
 Bµi 1. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau:
Bµi 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau:
Bµi 3. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: cã ®óng 2 tiÖm cËn ®øng.
Bµi 4. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c hµm sè:
Bµi 5.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 (®vdt)
Bµi 6. Cho hµm sè: (1)
T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm 
T×m m ®Ó ®­êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 
B- Sö dông giíi h¹n ®Ó xÐt tÝnh liªn tôc
 I) C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 
 a) C¸c ®Þnh nghÜa 
 Định nghĩa 1: 
 *Hàm số f(x) liên tục tại xo Û 
 *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
 xo Î (a;b)
 *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] 
 và 
 b) Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục 
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho f(c) = 0
 HÖ qu¶: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 
 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b)
 II)Ph­¬ng ph¸p chung:
 1) Ph­¬ng ph¸p 
 +) Sö dông ®Þnh nghÜa vµ c¸c ®Þnh lý 
 +) T¹i mµ f(x) kh«ng liªn tôc gäi lµ gi¸n ®o¹n nÕu vi ph¹m mét trong c¸c 
 ®iÒu kiÖn sau : 
 *) f(x) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i 
 *) Kh«ng tån t¹i giíi h¹n t¹i ( cã thÓ giíi h¹n 2 phÝa kh¸c nhau)
 *) 
 2) C¸c vÝ dô (víi x0)
 VÝ dô 1 Cho hµm sè f(x)=	 XÐt tÝnh liªn tôc t¹i x=0
	1 ( víi x=0)
 Gi¶i  +)TX§ : R
 +)Ta cã :=f(0)
VËy hµm sè kh«ng liªn tôc t¹i x=0( nh­ng liªn tôc bªn ph¶i t¹i x=0)
	 víi 
 VÝ dô 2 Cho hµm sè f(x)= 
	x+2a+1 víi x<1
 T×m a ®Ó hµm sè liªn tôc t¹i x=1
 Gi¶i  +)TX§ : R
 +)Ta cã : f(1)=1/2 vµ 
 §Ó hµm sè liªn tôc t¹i x=1th× 
VËy tho¶ m·n bµi to¸n 
Bµi TËp t­¬ng tù 
 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 a) f(x) = x2 + x – 3 b) f(x) = 
 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau:
 f(x) = tại xo = 1
 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0
 f(x) = tại x0 = 1
 4. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
 a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0
 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
 5. Chứng minh rằng phương trình 
 a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
 b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
Lêi t¸c gi¶: Giíi h¹n lµ phÇn rÊt quan träng trong to¸n phæ th«ng nªn nã cã rÊt nhiÒu c¸c øng dông trong c¸c lÜnh vùc to¸n häc còng nh­ c¸c m«n häc kh¸c (TÝnh ®¹o hµm ; tÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa ; hay trong vËt lý .) .Song do thêi l­îng cña chuyªn ®Ò t¸c gi¶ chØ ®­a ra hai øng dông quan träng trªn rÊt mong sù gãp ý ; trao ®æi bæ xung cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em häc sinh ®Ó chuyªn ®Ò ®­îc hoµn thiÖn h¬n .
PhÇn iV Giíi thiÖu mét sè ®Ò thi 
 Lêi t¸c gi¶:Trong phÇn nµy t«i xin ®­a ra mét sè ®Ò thi n¨m tr­íc vµ c¸c c¸ch gi¶i kh¸c 
 nhau ®Ó c¸c thÇy c« vµ c¸c em tham kh¶o.
VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau 	 (§HGT_2001)
 Gi¶i :
 C¸ch 1 (Thªm bít nh©n liªn hîp)
C¸ch 2( Sö dông ®¹o hµm)
§Æt Khi th× Ta cã 
 XÐt vµ 
 ¸p dông c«ng thøc =-7/3
VÝ dô 2 T×m giíi h¹n sau (HSG B¾c ninh) 
Gi¶i : 
 C¸ch 1(biÕn ®æi) 
 Rót gän 
C¸ch 2( Sö dông ®¹o hµm) 
XÐt vµ 
 ¸p dông c«ng thøc 
XÐt vµ 
 ¸p dông c«ng thøc 
VËy 
Chuyªn ®Ò nµy cßn tiÕp tôc ®­îc bæ sung vµ söa ch÷a.
Chuyªn ®Ò cã thÓ ch­a ®Çy ®ñ vµ cßn nh÷ng sai sãt trong qu¸ tr×nh lµm nªn rÊt mong sù trao ®æi gãp ý cña c¸c thÇy c« vµ c¸c em häc sinh.
	 T¸c gi¶ 
	Hoµng quý