Luyện thi đại học môn Toán - Chuyên đề: Hệ phương trình đại số

Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1− Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
- Phương trình n ẩn x1, x2, ..., xn gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay xi bởi xj; xj bởi xi thì phương trình không thay đổi.
- Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
	x1 + x2 + ... + xn
	x1x2 + x1x3 + ... + x1xn + x2x1 + x2x3 + ... + xn−1xn
	...............................
	x1x2 ... xn
- Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
- Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a0xn + a1xn-1 +... an, a0 ≠ 0, ai Î P có nhgiệm trên P là c1, ..., cn thì: 	(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
	Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: 
. Ngược lại, nếu 2 số x1, x2 có thì x1, x2 là nghệm của 
 phương trình X2 - SX + P = 0.
2. Định nghĩa: , trong đó 
3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và .
 Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ p trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:+ Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập: 
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện . Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Đặt , điều kiện Hệ phương trình trở thành:
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương với: 
Đặt ta có:
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình .
GIẢI
Điều kiện . Đặt , ta có: và .
Thế vào (1), ta được:
Suy ra:.
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:
+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và (*).
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: .
GIẢI
Điều kiện ta có: 
Đặt , Hệ phương trình trở thành:
.
Từ điều kiện ta có .
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
GIẢI
.
Đặt S = x + y, P = xy, Hệ phương trình trở thành: .
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình X2 –mX + 3m −9 = 0
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm .
Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm.
GIẢI
Đặt hệ trở thành:.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của (*).
Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm.
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm thực.
GIẢI
. Đặt 
Hệ Û . Điều kiện.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
	Ví dụ. Giải phương trình: .
GIẢI
Đặt: . Ta có hệ: Û Û . 
u, v là hai nghiệm của ptrình: Þ Þ 
	Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = .
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)	 2)	 3)
4)5)	 6)
7) 	8) 9) 
10)	11) 
II. Gải hệ phương trình có tham số:
1. Giải và biện luận: a) b) c) 
2. Tìm giá trị của m: a) có nghiệm.
b) có nghiệm duy nhất. c) có đúng hai nghiệm.
3. Cho (1II)
a. Giải hệ phương trình khi m = 5.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
4. 	(7I)
a Giải hệ phương trình khi m = 7/2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm.
5. 	(40II)
a. Giải hệ phương trình khi m=2.
b. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0.
III. Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình:
1. Giải phương trình: .
2. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a. 	b. 	c. 
Phần 3 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 ba ẩn: (Đọc thêm)
a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phương trình trong hệ là đối xứng.
b. Định lý Vi−et cho phương trình bậc 3:
	Cho 3 số x, y, z có:	
	Thì x, y, z ;à nghiệm của phương trình X3 – aX2 + bX – g = 0.	(*)
Thật vậy: (X − x)(X − y)(X − z) = 0 Û[ X2 − (x + y)X + xy ](X − z) = 0
ÛX3 − X2z − X2(x + y) + (x + y)zX + xyX − xyz = 0 Û X3 – aX2 + bX – g = 0.	
(*) có nghiệm là x, y, z Þ phương trình X3 – aX2 + bX – g = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phương trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết được dưới dạng á, â, ă 
	Khi đó ta đặt	. Ta được hệ của a, b, g.
+ Giải phương trình X3 – aX2 + bX – g = 0 (1) tìm được nghiệm (x, y, z) của hệ.
Chú ý: (1) có nghiệm duy nhất Þ hệ vô nghiệm.
có 1 nghiệm kép duy nhất Þ hệ có nghiệm.
có 2 nghiệm : 1 nghiệm kép, 1 nghiệm đơn Þ hệ có 3 nghiệm.
(1) có 3 ngiệm Þ hệ có 6 nghiệm.
d. Bài tập:
VD1:	Giải hệ:	
Giải: áp dụng hằng đẳng thức ta có: 
x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx).
	x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 − 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz.
	Vậy 	6 = 22 − 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = −1.
	8 = 23 − 3.2.(−1) + 3xyz Þ xyz = −2.
	Þ x, y, z là nghiệm của phương trình:t3 − 2t2 − t + 2 = 0 Û 
Vậy hệ có 6 cặp nghiệm (1;−1;2); (−1;1;2); (1;2;−1); (−1;2;1); (2;1;−1); (2;−1;1).
VD2:	Giải hệ	
Giải: ĐK: x, y, z ≠ 0. Từ (3) Û 
Do (2) Þ xyz = 27. Vậy hệ Û 
Do đó (x; y; z) là nghiệm của phương trình: 
X3 − 9X2 + 27X − 27 = 0 Û (X − 3)3 = 0 Û X = 3. Vậy hệ có nghiệm là (3; 3; 3).
VD3: Giải hệ 	
Giải: x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) Þ xy + yz + zx = 0.
 x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 − 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz Þ xyz = 0.
Vậy có:	Þ (x; y; z) là nghiệm của p trình: X3 − aX2 = 0 Þ 
	Vậy hệ có nghiệm là {(a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a)}
e.Chú ý: Có nhiều vấn đề cần lưu ý khi giải hệ loại này
+ Với cách giải theo định lý Vi−et từ hệ ta phải đưa ra được x + y + z; xy + yz + zx; xyz có thể nó là hệ quả của hệ nên khi tìm được nghiệm nên thử lại.
+ Vì là hệ đối xứng giữa các ẩn nên trong nghiệm có ít nhất 2 cặp nghiệm có cùng x, cùng y hoặc cùng z nên có thể giải hệ theo phương trình cộng, thế.
VD:	
Giải: Rõ ràng x = 0, y = 0, z = 0 không là nghiệm của hệ
Với x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0, nhân hai vế của (3) với xyz ta có xy + yz + zx = xyz (4).
Từ (2) và (4) Þ xyz = 27 (5); Từ (2) Þ x2(y + z) + xyz = 27x	 (6)
Từ (1), (5), (6) ta có: 
x2(9 − x) + 27 − 27x = 0 Û x3 − 9x2 + 27x − 27 = 0 Û(x − 3)3 = 0 Û x = 3
Thay x = 3 vào (1), (5) ta có: Þ y = z = 3.	Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 3.
II. Hệ phương trình đối xứng loại 2:
1. Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn:
A. Định ghĩa: 
Cách giải: Lấy (1) - (2) hoặc (2) - (1) ta được (x- y)g(x, y) = 0. (tích)
Ÿ Trường hợp 1: x - y = 0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm.
ŸTrường hợp 2: g(x, y) = 0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ ptrình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm.
B. Các ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình (I)
GIẢI
Lấy (1) - (2) ta được: 
Trường hợp 1: (I) .
Trường hợp 2: (I) (hệ này vô nghiệm)
Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm:
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
GIẢI Đặt:
Hệ Û (Do u, v ≥ 0) Vậy.
Ví dụ 2: Cho hệ (I) 
a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. 
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải (I) 
a) Hệ phương trình có nghiệm Û 
b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất Û Û Û m = 1.
	Vậy m = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:.
GIẢI Đặt Þ 2x − 1 = t3.
Ta có hệ Û Û 
Û Þ .Vậy phtrình có 3 nghiệm: 1; .
C. Bài tập:
1.Giải các hệ phương trình sau:
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	g. 
2. Cho hệ phương trình.
a. Giải hệ với m = 0.
b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
3. Tìm m để hệ: có nghiệm duy nhất.
4. Giải các phương trình: 	a. .	b. .
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2, 3 ẩn: (Đọc thêm)
A. Dùng chủ yếu là phương pháp biến đổi tương đương bằng phép cộng và thế. Ngoài ra sử dụng sự đặc biệt trong hệ bằng cách đánh giá nghiệm, hàm số để giải.
B. Ví dụ: Giải hệ 
Giả bằng cách cộng (1), (2), (3) và lấy (1) trừ đi (2) ta có hệ đã cho tương đương với hệ 
Hệ này đương tương với 4 hệ sau:
Giải (I):(I) Û Û Û Û 
Vậy (I) có 2 nghiệm (0;0;0); ();
Làm tương tự (II) có nghiệm ();()	
Hệ (III) có nghiệm (0;0;1); ();	Hệ (IV) có nghiệm (0;1;0); (1;0;0).
	Vậy hệ đã cho có 8 nghiệm kể trên.
VD2: Giải hệ phương trình: . 
Giải: Hệ Û 
Û 
Giải bằng phép thế được 5 nghiệm (−1;−1;−1); (0;0;1); (0;1;0); (0;0;1); 
VD4:	Giải hệ:	
Giải: Xét hai trường hợp sau:
TH1: Trong 3 số ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau: Giả sử x = y có hệ 
Từ đó có nghiệm của hệ (x;y;z) là : 
Tương tự y = z, z = x ta cũng được nghiệm như trên.
TH2 : 3 số x, y, z đôi một khác nhau .
Giả sử x > y > z ,xét hàm số f(t) = t2 trên D =
a) z , x > y > z Þ f(x) > f(y) > f(z) Þ y + 1 > z + 1 > x + 1Þ y > x > z (vô lý).
b) z < y < x Þ f(x) < f(y) < f(z) Þ y + 1 < z + 1 < x + 1 Þ y < z < x (vô lý).
c) x > 0 > z > −1 Þ f(−1) > f(z) Þ 1 > x + 1 Þ x < 0 (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai. TH2 vô nghiệm.
VD5: (Vô địch Đức)
Giải: 
TH1: Trong x, y, z ít nhất có 2 nghiệm số bằng nhau
Giả sử x = y ta có hệ. Từ (1) Þ x = 0, x = −1.
x = 0 thay vào (2), (3) Þ z=0; x = −1 thay vào (2), (3) Þ vô lý.
Vậy hệ có nghiệm (0,0,0)
Nếu y = z hay x = z cũng chỉ có nghiệm (0,0,0).
TH2: 3 số đôi 1 khác nhau. Từ 2x + x2y = y thấy nếu x2 = 1Þ ± 2 = 0 (vô lý)
Vậy x2 ≠ 1 Þ 2x + x2y = y Û 
Hai phương trình còn lại tương tự ta có hệ phương trình tương đương với: 
Giả sử x > y > z (*). Xét hàm số: f(t) = xác định trên D = R\ {±1}
f’(t) = với mọi tÎD Þ hàm số đồng biến trên D
f(x) > f(y) > f(z) Þ y > z > x mâu thuẫn với (*).
Vậy điều giả sử sai. Do vai trò x, y, z như nhau. TH2 − hệ vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (0; 0; 0)
C. Bài tập
1. 
2. 
Hướng dẫn: Đặt . Đưa về giải hệ 
3. 	4. 	5. 
III. Hệ phương trình đẳng cấp:
1. Dạng: , trong đó .
2. Cách giải: Đặt y = tx (x ≠ 0) hoặc x = ty (y ≠ 0).
3. Ví dụ:
Giả hệ phương trình: 
GIẢI
+ Với x = 0: Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với x ≠ 0: Đặt y = tx. Hệ phương trình tương đương với . Lấy (1)¸(2) ta được: 15t2-13t+2=0Þ ; .
Ÿ Với : ta có , thay vào (*) ta được nghiệm (3;2), (-3;2).
Ÿ Với : ta có , thay vào (*) ta được nghiệm .
4. Bài tập:
Giải các hệ phương trình sau:
1) 	2) 	3) 
IV. Một số hệ phương trình khác:
Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý để giải.
1. .
HD: Biến đổi phtrình Û (x + y)(x -2y -1) = 0. ĐS: x = 5; y = 2.
2..
HD: Biến đổi hệ phương trình thành: .	ĐS: x = -4; y = .
3.. HD: Biến đổi
 hệ Û. Đặt:. ĐS: .
.
HD: (1) Þ .	ĐS:
.
HD: Tìm cách khử logarit để được: .	ĐS: 
.
HD: .	ĐS: 
. HD: Đối xứng loại 2.	ĐS: 
..
HD: Tìm cách khử logarit để được: .	ĐS: .
HD: Đặt , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3.ĐS: .
. Tìm m để hệ phương trình này có nghiệm thực.
HD: Đặt , điều kiện . ĐS: .
--------------------