3. Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ:
P(x), Q(x) là các đa thức.
+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc="" q(x)="" dùng="" phương="" pháp="" đổi="" biến="">
phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi
Chuyên đề tích phân & ứng dụng ồ Văn Hoàng 1 1. Bảng nguyên hàm của các hàm số. 2. Các phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp đổi biến số: * Loại 1: Dạng: 2 2 a x dx , 2 2 dx a x đặt x = asint. Dạng: 2 2 dx x a đặt x = atant, 2 2( ) dx ax b c đặt tan ax b c t * Loại 2: ( ( )) '( ) .b a f u x u x dx Đặt t = u(x). + Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx. + Ta cũng có thể biến đổi: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( )) b b a a f u x u x dx f u x d u x b) Phương pháp tích phân từng phần: Dạng: ( )sin ,b a P x xdx ( ) cos ,b a P x xdx ( ) ,b x a P x e dx Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx). Dạng: 2 2, ,cos sin b b a a x xdx dx x x Đặt u = x, dv = 2cos dx x hoặc dv = 2sin dx x . 3. Một số tích phân thường gặp: a) Tích phân hữu tỉ: ( )( ) b a P x dxQ x P(x), Q(x) là các đa thức. + Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x). + Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc phương pháp hệ số bất định. b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác. + Nắm vững các công thức biến đổi. c) Tích phân hồi quy: Dạng sin ,b x a e xdx cos .b x a e xdx Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx. Tích phân từng phần 2 lần. Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) . b b a a x dx x dx Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần. d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và: + y = f(x) chẵn thì 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx . + y = f(x) lẻ thì: ( ) 0 a a f x dx . e) Tích phân dạng ( ) 1 x f x dx a trong đó f(x) là hàm số chẵn. Cách giải: Tách thành 2 tích phân : 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x x xf x f x f xdx dx dxa a a Xét tích phân 0 ( ) 1 x f x dx a đổi biến số x = -t. Kết quả ta được 0 ( ) ( ) 1 xf x dx f x dxa . f) Tích phân dạng: 0 0 ( ) ( ) a af a x dx f x dx trong đó f(x) là hàm số liên tục trên [0; a]. Đổi biến x = a - t. Bài 1: Tính tích phân 1 3 2 0 1 xI dxx . HD: Đặt t = x2 + 1 hay x = tant. ĐS I =1/2(1-ln2). Bài 2: Tính tích phân ln 3 3 0 ( 1) x x eI dx e HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng b a u du . ĐS 2 1 I Bài 3: Tính tích phân 0 2 3 1 ( 1 ) xI x e x dx HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e-2 - 4/7 Bài 4: Tính tích phân 2 6 3 5 0 1 cos .sin .cos I x x dx HD: t = 6 31 cos x cos3x = 1- t6. ĐS I =12/91 Bài 5: Tính tích phân 2 3 2 5 1 . 4 I dxx x HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt 2 4 t x . ĐS I=1/4.ln5/3 Bài 6: Tính tích phân 4 0 1 cos 2 xI dxx HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I = /8-1/4.ln2 Bài 7: Tính tích phân 1 3 2 0 1 I x x dx ; 1 2 2 0 1 J x x dx Bài 8: Tính tích phân 3 2 4 cos . 1 cos tgxI dx x x HD: Biến đổi về dạng 3 2 2 4 tg cos . tg 1 xI dx x x .Đặt 21 tgt x Bài 9 :Tính tích phân : 2 1 1 1 xI dx x (Đại học khối A – 2004) Đặt 2 21 1 1 2t x t x x t dx tdt 1 0; 2 1x t x t 1 1 12 3 2 0 0 0 13 2 0 1 22 2 2 2 1 1 1 1 1 112 2 2 ln 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2 3 2 3 2 3 t t tI tdt dt t t dt t t t t t t t Bài 10:Tính tích phân : 2 0 sin 2 sin 1 3cos x xI dx x (Đại học khối A – 2005) 2 2 12 2 0 0 2 2 2 3 1 Ñaët 1 3cos 1 3cos 2 3sin 2sin . caän : 0 2; 1 3 2 1 22 1 2 cos 1 sin 3 32sin cos sin 1 3cos 1 3cos 2 2 1 2 2 3 3 3 9 3 t x t x tdt xdx tdtxdx Ñoåi x t x t t tdt x xdxx x xI dx tx x t t t 2 1 2 16 2 2 1 34 3 9 3 9 3 27 Bài 11 : Tính tích phân : 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin xI dx x x (Đại học khối A – 2006) 2 2 2 2 22 2 1 1 1 Ñaët cos 4sin 1 3sin 2 6sin cos 23sin 2 sin 2 . Ñoåi caän : 0 1; 2 3 2 2 2 2 4 2 23 3 3 3 3 3 t x x t x tdt x xdx tdtxdx xdx x t x t tdt I dt t t Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 2 dP DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY. 1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); x = a; x = b có diện tích: SD= ( ) ( )b a f x g x dx 2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : VOx= 2 ( )b a f x dx 3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : VOy= 2 ( )b a f y dy Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong 3 1 1 y x x 2 3 3 1 3 32 2 2 2 33 3 1 1 1 3 22 22 3 3 3 1 1 1 1 1Ta coù : , 1;2 , 0 1 1 1 1 11 1 1 '1 1 3 1 1 1ln ln 1 3 3 31 1 1 1ln 2 ln 9 ln 2 . 3 3 S dx x x x x x x xdx xS dx dx x xx x x x xx dx dx x x x xx x 4 1 ln 2 ln 93 3S ñvdt Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0 2 2 2 Dieän tích caàn tìm giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng : , 2 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : 2 3 0 0 3 y x y x x x x x x x x x 3 3 2 2 2 0 0 2 3 0;3 , 3 0Vaäy S x x xdx x xdx x x x 33 2 32 0 0 3 27 9neân 3 9 2 3 2 2 x xS x x dx ñvdt Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x (Đại học khối A – 2007) 1 1 0 0 1 0 Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : 1 1 0 0 0 1 1 1 ; 0;1 , ta luoân coù 0, vaäy x x x x x x x x e x e x x x x e e xe e S e x e xdx x e e dx x x e e S x e e dx u x du dx Ñaët dv e e dx 11 21 0 0 0 1 1 2 2 2 x x x x x v e e dx ex e ex e eS x ex e ex e dx e e ñvdt Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc là k. Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất. 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 1 5 3 5 2 5 5 2 2 5 2 5 2 5. 5 3 2 3 9 3 3 3.18 BB A A xx x x B A B B A A B A B A B A B A B A A A B B kxS k x x dx k x x kx kx k x x k x x k x x k x x x x kx x x x k x x x x k k k kk k 2 2 2 33 22 min 90 18 2 6 5 12 60 54 1 112 60 6 24 Vaäy S 6 54 54 k k k k k k k k k Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3. 2 2 tieáp tuyeán taïi ñieåm M laø : ' 9 2.3 3 6 9 0 tích caàn tìm giôùi haïn bôûi 2 ñöôøng : 96 9 6 9pt tung ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø 9 36 6 M M Mpt y y y x x x y x y x y x x y x Dieän yy x x yy y y y 9 2 0 9 9 32 0 0 18 81 9 918 81 0 9. 0;9 : 0 6 6 29 9 27 27 9Vaäy : 18 6 12 6 3 4 2 4 y y yy y y S y dy y y yy y yS y dy ñvdt Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường sin 0y x x x 2 2 0 0 00Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : x sin 0 sin 0 sin sinOx xxx xx V x x dx x xdx 2 3 0 0 0 0 1 cos2 cos2 2 2 2 4 2 4 2 x xx dx xdx x xdx I I 3 00 0 1cos2 sin 2 2 1 1sin 2 sin 2 0 cos2 0 2 2 4 4Ox du dxu x Ñaët dv xdx v x xI x xdx x V ñvtt Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007) 2 2 2 1 1 1 2 3 2 2 132 2 11 0 ( ) Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : ln 0 ln 0 1 ln ln 2 ln ln 2 ln ln 3 3 3 e e Ox e e x loaïi x x x x Vaäy V x x dx x xdx I xdu dxu x x exÑaët I x x xdx xdv x dx v x dx 3 2 2 3 3 I 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 11 1 33 3 ' ln ' ; ' ' 3 1 1 2 1ln 3 3 3 9 3 9 9 9 5 22 2 1. 3 3 9 27 e ee Ox dx xÑaët u x du dv x dx v x dx x x e x e e eI x x dx ee eV ñvtt 2 2 2 coù pt ñt (d) : 5 1 5 hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d) : 3 5 3 5 0 612 60 0, ( ) luoân caét (P) ôû A vaø B. 6 A B Ta y k x y kx k Pt x kx k x kx k kx k k k d kx Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 3 2005 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005 2 0 sin 2 sin 1 3cos x xI dx x KQ: 34 27 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005 2 0 sin 2 cos 1 cos x xI dxx KQ: 2ln 2 1 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005 2 sin 0 cos cos xI e x xdx KQ: 14 e Bài 4. Tham khảo 2005 7 3 0 2 1 xI dx x KQ: 141 10 Bài 5. Tham khảo 2005 3 2 0 sin I xtgxdx KQ: 3ln 2 8 Bài 6. Tham khảo 2005 4 sin 0 .cos xI tgx e x dx KQ: 1 2ln 2 1 e Bài 7. Tham khảo 2005 2 1 ln eI x xdx KQ: 32 19 9e Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005 1 3 2 0 . 3 I x x dx KQ: 6 3 85 Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 3 1 3 3 1 3 xI dx x x KQ: 6ln 3 8 Bài 10. CĐ GTVT – 2005 1 5 2 0 1 I x x dx KQ: 8105 Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 2 3 0 sin 5 xI e xdx KQ: 3 23. 5 34 e Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 3 3 5 0 1. I x x dx KQ: 848105 Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 24 0 1 2sin 1 sin 2 xI dxx KQ: 1 ln 22 Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005 0 2 1 2 4 dxI x x KQ: 318 Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 2 1 ln e xI dxx KQ: 21 e Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005 7 3 3 0 1 3 1 xI dx x KQ: 46 15 Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005 2 0 cos3 sin 1 xI dxx KQ: 2 3ln 2 Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 232 2 2 20 0 sin sin ; sin 2 cos sin 2cos .cos 2 xdx x xdxI J x x x x x KQ: ln 2 3 3 4 I J Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 1 ln eI x xdx KQ: 2 14e Bài 20. CĐ Công Ng ... 2 1 2 312 2 0 0 0 1 1 1 1 0 1: 1 ; 1 2 : 1 8 1 10max 1; ; 1 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x xF x x dx dx x dx x 49. Tính tích phân : 1 3 2 0 1 x dxT x x 3 2 1 1 3 2 2 2 0 0 11 1 5 3 2 4 0 0 0 2 2 2 21 2 2 5 3 2 2 2 4 2 0 1 1 1 1 1 1 1 11 5 5 0 1 1 1 2 2 . 1 2 1 1 . 5 3 4 2 2 2 5 3 x x x T dx x x x dx x x x x xx x dx x dx I I x t Ñaët t x t x tdt xdx tdt xdx x t t tI x x xdx t t tdt t t dt 1 1 2 2 2 2 2 1. 5 3 15 15 15 Vaäy T 50. Tính tích phân : 4 0 ln 1B tgx dx 0 4 4 0 0 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 4 ; 4 0 4 1 2ln 1 ln 1 ln 4 1 1 ln 2ln 2 ln 1 ln 2 ln 1 4 ln 2 ln 22 4 8 x t Ñaët t x dt dx x t tgtB tg t dt dt dt tgt tgt dt tgt dt t tgx dx I I I 51. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên và tuần hoàn với chu kỳ T thì : 0 a T T a f x dx f x dx Áp dụng, tính tích phân : 2004 0 1 cos2I xdx Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 13 0 0 3 0 3 0 0 0 0 coù : 1 I Ñaët t 0 2 (2) vaøo (1) ta ñöôïc T a a T T a a T T a T a a a a T a T a Ta f x dx f x dx f x dx f x dx x a T t a Xeùt f x dx x T dt dx x T t I f t T dt f t T dt f t dt f x dx Theá f x dx f x dx ñpcm AÙp 2004 2004 2004 2 0 0 0 2 4 2004 0 2 2002 2 4 2004 0 2 2002 duïng : 1 cos2 2sin 2 sin 2 sin sin ... sin Theo tính chaát treân, ta coù : sin sin ... sin 1002 2 s I xdx xdx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx Neân I 2 2 0 0 2 0 in 1002 2 sin sin 1002 2 cos cos 4008 2 x dx xdx xdx x x 52. Tính tích phân : 1 2004 1 sinI x xdx 0 1 2004 2004 1 0 0 2004 1 1 0 1 1 2004 2004 2004 1 1 0 0 sin sin (1) 1 1 tích phaân I sin . Ñaët 0 0 sin sin sin (2) Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc : 0 I x xdx x xdx x t Xeùt x xdx x t dx dt x t I t t dt t tdt x xdx I 53. Tính tích phân : 2 0 sin cosD x x xdx 0 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 2 sin cos cos sin x t Ñaët t x dt dx x t D t t t dt t t tdt t tdt t t tdt t tdt x x xdx t tdt D D t tdt Ñaët u t du t 11 1 32 2 2 0 1 1 1 0 1 1 2 sin cos 3 3 3 t u dt t u ut tdt u du u du D 54. Tính tích phân : 3 0 sin .sin 2 .sin3 .cos5I x x x xdx 3 32 30 2 3 3 2 0 3 2 0 sin sin 2 sin3 cos5 sin sin 2 sin3 cos5 (1) 3 3 sin sin 2 sin3 cos5 Ñaët 3 . 2 2 3 0 sin 3 sin 6 2 sin 9 3 cos 15 5 sin sin 2 sin3 cos5 I x x x xdx x x x xdx x tXeùt J x x x xdx x t dx dt x t J t t t t dt t t t t 3 3 2 2 0 sin sin 2 sin3 cos5 (2). Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc 0 dt x x x xdx I 55. Tính tích phân : 1 2 1 1 1x dxI e x 0 1 0 2 2 2 1 0 1 0 1 1 1 22 2 2 1 0 0 0 2 Xeùt 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 . 11 1 1 1 1 1 ; 1 2 2 x x x t x t t x dx dx dxI J e x e x e x x t Ñaët x t dx dt x t dt e dt e dx dxJ Vaäy I xe t e t e x Ñaët x tgu u dx tg u 24 4 4 2 0 0 0 0 0 0 1 1 4 1 41 x tgu u du x tgu u tg u du I du u tg u 56. Giải phương trình theo ẩn x : 1 1 ln 18 x e t dt t 1 21 ln1 ln 2 0 0 1 01 ln Ñaët 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 x e xx t ut dtGoïi I dt u t du e t t t x u x xuI udu 52 2 7 1 ln 1 ln 6 ln 5 18 1 ln 36 12 1 ln 6 ln 7 x ex x x pt x x x x e 57. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : 2 4 4 1 x xy x , tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = 5 2 5 5 2 2 5 5 2 2 4 4 1 soá vieát thaønh : 3 1 1 1 lim 0 neân TCX cuûa (C) laø 3 1 1 1 1 3 3 Vôùi 2;5 0 1 1 1 1 ln 1 ln 4 ln1 2 ln 1 x x xHaøm y x x x Vì y x x Vaäy S x x dx dx x x x x neân S dx x x 2 ñvdt 58. Cho hình giới hạn elip : 2 2 1 4 x y quay quanh trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên. 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 2 2 2 2 2 4 1 1 1 4 4 4 4 2 elip coù a 4 2, 1 1 neân hình giôùi haïn elip coù : 2 2 8 8 84 4 8 8 4 4 3 4 3 3 3Ox x x xElip y y y x Vì a b b x xV y dx x dx x ñvtt 59. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Oy 2 2 2 2 2 2 pt ñöôøng troøn taâm I 3;0 ,R 2 laø x 3 y 4 x 3 4 y x 3 4 y x 3 4 y Vì ñöôøng troøn coù taâm I 3;0 ,R 2 neân 2 y 2 V 3 4 y 3 4 y dy 6.2 4 y dy 12 4 y dy Goïi I 4 y dy Ña 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 Oy y 2 sin u 1 u 2ët y 2sin u u ; dy 2 cos udu 2 2 y 2 sin u 1 u 2 1I 4 4sin t2 cos udu 4 cos u cos udu 4 cos udu 2 1 cos2u du 2 u sin 2u 2 2 2 V 2 2 224 ñvtt Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 14 60. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 2 4 vaø 4 4 2 x xy y (Đại học khối B – 2002) 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hoaønh ñoä giao ñieåm 2 ñöôøng laø : 8 2 24 4 4 0 4 4 32 32 44 2 16 (voâ lyù) 4 Vôùi 2 2;2 2 , 4 0 4 44 2 4 2 neân 4 4 4 44 2 pt x x x x x x x x x x x x xS dx x x x xS dx dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 2 1 16 Ñaët 4sin ; 4 cos 2 2 2 22 2 sin 2 4 22 2 sin 2 4 1 16 16sin .4 cos 8 cos cos 8 cos 4 1 cos2 2 x dx A B A x dx x t t dx tdt x t t x t t A t tdt t tdt tdt t dt 4 4 4 2 22 2 2 3 2 2 2 2 1 1 14 s in2t 4 2 4 2 4 2 4 2 1 816 2 16 2 34 2 12 2 12 2 8 4 2 4 2 3 3 t x xB dx Vaäy S A B ñvdt Tính tích phân : 3 32 3 3 cot . sin sin sin gx x xdxA x 3 3 232 23 2 2 3 3 22 3 2 2 3 1 1 0 53 3 38 3 3 2 3 3 1 0 0 3 sin sincot . cot . 1 1 cotsin sin sin 1 cot . cot 3 3. cot sin sin 0 2 3 3 1 9 8 8 81 24 x xgx gx g xxA dx dx x x x t gx g x dxdx Ñaët t gx dt x x x t tA t t dt t dt 61. Tính tích phân : 21 ln 1 e e xI dx x 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 1 11 1 .ln 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 11 1 1 ln ln ln ln 1. 11 1 1 e e e e e e e e e e e e e e dxu x du x dxÑaët dxdv vx xx dxI x A x x x x xdxA dx dx x x x xx x x x x e e e V x e e 0aäy I 62. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 4 3 vaø 3y x x y x (Đại học khối A – 2002) 2 2 2 2 2 hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : 4 3 3 3 3 3 0 4 3 3 5 0 0 5 5 4 3 3 3 6 0( ) pt x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x VN x 0 5 2 4 3 3x x x 0 – 0 5 5 52 2 0 0 0 52 0 5 2 2 0 3 4 3 3 4 3 553 2 2 4 3 Giaûi pt 4 3 0 ta ñöôïc : 1 3 S x x x dx x dx x x dx x x I I I x x dx x x x x x 0 1 3 5 2 4 3x x + 0 – 0 + 1 3 5 2 2 2 0 1 3 1 3 53 3 3 2 2 2 0 1 3 coù : 4 3 4 3 4 3 4 4 20 282 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 55 28 109 ñvdt 2 3 6 Ta I x x dx x x dx x x dx x x xx x x x x x S 63. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường : ; 2 ; 0y x y x y . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy. 2 2 2 1 12 2 22 4 0 0 1 24 2 4 0 0Mieàn D giôùi haïn bôûi 2 2 1 nhaän Pt tung ñoä giao ñieåm : y 2 2 0 2 loaïi 2 2 x 0;1 , 2 0 4 4 4 2 Oy Oy y x y x y y x x y y y y y y V y y dy y y dy y y neân V y y y dy y y 13 52 0 1 1 324 2 3 5 3 5 15 y y ñvtt 64. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007) 2 2 2 1 1 1 2 3 2 2 132 2 11 Pt hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng laø : 0 ( ) ln 0 ln 0 1 ln ln 2 ln ln 2 ln ln 3 3 3 e e Ox e e x loaïi x x x x Vaäy V x x dx x xdx I xdu dxu x x exÑaët I x x xdx xdv x dx v x dx 3 2 2 3 3 I 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 2 11 1 33 3 '' ln ' ' 3 1 1 2 1ln 3 3 3 9 3 9 9 9 5 22 2 1. 3 3 9 27 e ee Ox dxduu x xÑaët dv x dx xv x dx x e x e e eI x x dx ee eV ñvtt
Tài liệu đính kèm: