Luyện thi đại học - Chuyên đề Lượng giác

Chuyên đề lượng giác ồ Văn Hoàng
1
Phương pháp thường sử dụng khi giải phương trình lượng
giác là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể
cả việc biến đổi đại số để đưa PTLG về dạng phương trình lượng
giác cơ bản hay các phương trình lượng giác thường gặp hoặc
đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về phương
trình đại số bậc hai,bậc ba;hoặc đôi khi còn phải sử dụng đến
phương pháp đánh giá hai vế của phương trình. Để đạt được kết
quả cao trong việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững các
yêu cầu tối thiểu sau đây :
1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) các công thức lượng
giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác của các
cung(góc) đặc biệt.
2)Cần nắm vững cách giải PTLG cơ bản và các trường hợp đặc
biệt.Cách giải các phương trình lượng giác thường gặp .
3)Phải có thói quen là đề cập đến TXĐ của phương trình (lấy
điều kiện) trước khi tiến hành phép biến đổi và đối chiếu điều
kiện khi có kết quả.
* Tại sao đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì các đồng nhất
thức lượng giác thường rất đa dạng.Chẳng hạn :
-Nếu cần biến đổi cos2x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng một
trong các đồng nhất sau:
 Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
Ví dụ : Giải phương trình :
 a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x
 b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1
 c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x
-Nếu cần biến đổi cos4x-sin4x thì tuỳ theo đầu bài ta sẽ sử dụng
một trong các đồng nhất sau:
 cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.
*Cần chú ý đến các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải
toán như:1  sin2x = (sinx  cosx)2
cos3x.sin3x+sin3x.cos3x = 3
4
sin4x
2
4 4 21 1 cos 2 3 cos 4cos sin 1 sin 2
2 2 4
     x xx x x
2
6 6 23 1 3cos 2 5 3cos 4cos sin 1 sin 2
4 4 8
     x xx x x
* Cần chú ý đến các số hạng có chứa thừa số (cosx ± sinx) là:
cos2x ; cos3x+sin3x ; cos4x − sin4x ; cos3x − sin3x ; 1 + tanx;
cotx − tanx ; 2 sin
4
   x .
* Các phép biến đổi lượng giác thường được tiến hành theo các
hướng sau:
+Hạ bậc phương trình(nếu có).
+Đưa về cùng cung:
-Nếu cùng hàm và cùng cung thì tiến hành đặt ẩn phụ.
-Nếu cùng cung nhưng còn hai hàm sin và côsin thì
thường biến đổi về phương trình tích
 (Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử
chung,dùng hằng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai)
-Nếu cùng cung và còn hai hàm sin ; côsin với bậc các
hạng tử hơn,kém nhau 2n (với n là số tự nhiên) thì ta có thể chia
hai vế của phương trình cho coskx hoặc sinkx (k là bậc lớn nhất
trong phương trình) để đưa phương trình đã cho về dạng còn
chứa duy nhất hàm tang hoặc côtang của một cung rồi tiến hành
đặt ẩn phụ.
* Khi đánh giá hai vế của phương trình thì các bất đẳng thức
thường được dùng để ước lượng như: sin 1x ; cos 1x ;
2 2sin cos  a x b x a b ;
2 2sin cos sin cos 1   m nx x x x (với , ; , 3 m n N m n )
-Đối với phương trình sinax  sinbx = 2 sin 1
sin 1
    
ax
bx
(dấu  lấy tương ứng)
Tương tự đối với pt : cosax  cosbx = 1 ; sinax  cosbx = 2
*Đôi lúc giải PTLG ta còn dùng phép đổi biến cho phần cung
lượng giác .Chẳng hạn với phương trình :
sin 3 sin 2 .sin
4 4
            x x x . Ta có thể đặt t = x + 4

3 3 sin 3 sin(3 ) sin 3
4 4
2 2 sin 2 sin 2 sin 2
2 2
  
 
                         
x t x t t
x t x t t
Khi đó: sin3t = sin2t.sint 3 23sin 4sin 2cos .sin  t t t t
phương trình này ta có thể thực hiện nhiều cách giải dễ dàng.
* Chú ý: Đối với các công thức sinx  cosx = 2 sin
4
   x ;
các công thức nhân ba ; công thức hạ bậc theo tang của cung chia
đôi khi dùng phải chứng minh .
 Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì
biến đổi tương đương về ph trình chỉ chứa một hàm lượng giác.
 Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của nhiều cung
khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các
hàm lượng giác của một cung.
Sau khi biến đổi như trên nếu phương trình nhận được không có
dạng quen thuộc thì có thể đi theo hai hướng:
Hướng thứ nhất:
Biến đổi phương trình đã cho để đưa về việc giải phương trình
đơn giản quen thuộc. Các phương pháp biến đổi gồm có:
Phương pháp đặt ẩn phụ  Phương pháp hạ bậc
Phương pháp biến đổi thành phương trình tích
Phương pháp tổng các số hạng không âm
Phương pháp đánh giá  Phương pháp hàm số
Hướng thứ hai
Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm
Bài 1 ĐHYD98 3 3(1 tan ) (1 cot ) 2 2x cos x x sin x sin x   
ĐK:
0; 0
. 0
2 0
sinx cosx
sinx cosx
sin x
    
  3 3( ) ( ) 2 2sinx cosx sinx cosxpt cos x sin x sin x
cosx sinx
   
2 2( ) ( ) 2 2cos x sinx cosx sin x sinx cosx sin x    
2 2sin x sinx cosx   2
0
( ) 4 .
sinx cosx
sinx cosx sinx cosx
    
2 2
0 0
2
sinx cosx
sin x cos x sin x
     
0 0
2 1
sinx cosx
sin x
    
0 0
;( )
42 2
2
sinx Cosx
x k k
x k
  
        

 Bài 2:A96 Giải phương trình: tanx - tanx.tan3x = 2
ĐK: 0 2 ;( ).3 0
6 3
x kcosx kcos x kx
 
 
        

( ) tan (tan tan 3 ) 2pt x x x  
 ( 3 )tan 2
. 3
sin x x
x
cosx cos x
  2tan 2
. 3
sin x
x
cosx cos x
 
2 .
. 2
. 3
sinx sinx cosx
cosx cosx cos x
  
22 2
. 3
sin x
cosx cos x
 
22 . 3 2 1 4 2sin x cosx cos x cos x cos x cos x      
 4 1 4 2 ; ( ).
4 2
k
cos x x k x k          
Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng
2
Bài 3: ĐHHH96 Giải 25 3 4 1 2sin x cosx cosx   
2 2
2 2
1 2 0( )
5 3 4 (1 2 )
1
2
5 3(1 ) 4 1 4 4
cosx
pt
sin x cosx cox
cosx
cos x cosx cosx cos x
      
        
 
         

2
1
1 2 ; ( ).2
1
cosx cosx x k k
cos x
Bài 4:ĐHAN Giải phương trình: tanx + cotx = 4
ĐK
0
. 0 2 0 ;( )
0 2
sinx k
sinx cosx sin x x k
cosx
         
  2 24. 4 4 1 4 .
4 .
sinx cos x sin x cos xpt sinx cosx
cosx sin x sinx cosx
     
12 2
2 6
sin x sin x sin   
2 2
6
2 2
6
x k
x k
 
 
      
12 ;( ).
52
12
x k
k
x k
 
 
     

Bài 5: ĐHNT97 Giải phương trình: 2tanx + cotx= 23
2sin x

Đk:
0
;
0 2
sinx k
x k
cosx
     
 Ta có:  tanx+cotx=
2 2 2
. 2
sinx cosx sin x cos x
cosx sinx sinx cosx sin x
  
  2tan tan 3
2
pt x cotx x
sin x
    
2 2
tan 3
2 2
x
sin x sin x
    tan 3x 
; ( )
3
x k k    
Bài 6:ĐHVHHN98 Giải phương trình:
2 310 2 4 6 3 . 8 . 3cos x cos x cos x cosx cosx cosx cos x   
  2 310 2 4 2 (4 3 3 3 )
10 1 8 10 8
1 2 ;( ).
pt cos x cos x cosx cosx cos x cos x
cos x cos x cosx cos x cos x
cosx x k k
    
     
    
Bài 7:ĐHHVNH98 Giải phương trình: 6 6 4sin x cos x cos x 
6 6 2 2 3 2 2 2 2( ) 3( . ( )sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x    
231 2
4
sin x 
23 1 4 5 31 ( ) 4
4 2 8 8
cos x
cos x
   
5 3( ) 4 4
8 8
pt cos x cos x   4 1 ;( ).
2
k
cos x x k    
Bài 8:ĐHHN98 Giải 3 31. .
4
sin x cosx cos x sinx 
2 2 1( ) . ( ) 4 . ( 2 ) 1
4
4 1 4 2 ;( ).
2 8 2
pt sinx cosx sin x cos x sinx cosx cos x
k
sin x x k x k  
     
           
Bài 9:Giải phương trình 3 3 24 3 . 0cos x sin x cosx sin x sinx   
2 3 2
2 3 2
( ) . 4 3 . 0
(1 ) 4 3 . 0
pt cosx cos x sin x cosx sin x sinx
cosx sin x sin x cosx sin x sinx
    
     
3 2( ) 4 4 . 0cosx sinx sin x cosx sin x    
2( ) 4 ( ) 0cosx sinx sin x cosx sinx     2( )(1 4 ) 0cosx sinx sin x   
2
0
1 4 0
cosx sinx
sin x
     2 2
2 ( ) 04 4 ;( , ).
6 6
sin x x k
k m
sin x sin x m
  
  
               

Bài 10: Giải 2 2tan . 2 3( 2 . )x sin x sin x cos x sinx cosx  
ĐK: 0 ;
2
cosx x k k     
3
2 2 2( ) 2 3( . )sin xpt sin x cos x sin x sinx cosx
cosx
    
Chia 2 vế cho cos2x ≠ 0 có 3 2 2tan 2 tan 3(1 tan tan )x x x x   
3 2 2tan tan 3tan 3 0 (tan 1)(tan 3) 0x x x x x        
2
2 2
tan tan( )tan 1 4 4 ;( , ).
tan 3 tan tan
3 3
x x k
x
m k
x
x x m
  
  
                   

1:A03/ 2cos 2 1cot 1 sin sin 2 :
1 tan 2 4
      
x
x x x ds x k
x
2 2 2
2
π
2:B03/ cotx - tanx + 4sin2x = KQ: x=± +k
π
sin2x 3
x
π x π
3:D03/ sin - tan x-cos =0 KQ: x =
π + k2
π; x=- +kπ
2 4 2 4
   
4:A04/ Tinh các góc của tam giác ABC không tù ,thoả mãn :
cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3  A B C
Giải:
90
0
45
     
o
o
A
M
B C
5:B04/   2 π 5π5sinx-2=3 1-sinx tg x. KQ: x = + k2
π; x
 = +k2
π
6 6
  6:D04/ 2cosx-1 2sinx+cosx =sin2x-sinx
π πKQ: x = ± + k2
π; x = - + kπ
3 4
7:A05/ Cos23xcos2x –cos2x = 0
Hd:hạ bậc đưa về pt bậc2 theo sin4x. Đs: x = k./2
8:B05: 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0
2
: ; 2
4 3
       KQ x k x k
9:D05/ 4 4 3cos sin cos sin 3 0
4 4 2
               x x x x
2 2 31 2sin .cos [sin 4 sin 2 ] 0; :
2 2 4
            x x x x ds x k
10:db1.A05/ Tìm x(0;): 2 2x 3
π
4sin - 3cos2x=1+2cos x-
2 4
   
5
π 2π 7π
x = + k hay x = - + h2
π
18 3 6
. KQ x  5
π 17π 5π
; ;
18 18 6
   
 (Chọn k = 0; k = 1; h = 1)
11:db2.A05/
3 π π π2 2cos x - - 3cosx - sinx = 0. KQ: x= +k
π;
 x= +k
π
4 2 4
   
2
2
π cos2x - 1 π12:db2.B05/ tan + x - 3tan x = . KQ: x=- +kπ
2 4cos x
   
3
π sinx
13:db1.D05/ tan - x + = 2.
2 1+ cosx
   
π 5πKQ:x = + k2
π; x = + k2π
6 6
14:db2D05/ sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0
Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng
3
 6 6
π π 5πKQ: x = + k2
π; x = π + k2π; x = ; x = +
k2
π
2 6 6
2 cos x + sin x - sinx.cosx 5
π
15:A06/ = 0. KQ: x = + 2k
π
42 - 2sinx
x
π 5π
16:B06/ cotx+sinx 1+tanx.tan = 4. KQ: x= +k
π; x= +kπ
2 12 12
   
17:D06/ cos3x +cos2x –cosx -1 = 0. 2: ; 2
3
    KQ x k x k
18:db1.A06/      3 3 2 2 3cos3 .cos sin3 .sin . :8 16 2x x x x KQ x k
   2 2 2
π 7π19:db2.A06/ 2sin 2x- +4sinx+1=0. KQ: x= +k2π; x=kπ
6 6
π π20:db1.B06/ 2sin x-1 tg 2x+3 2cos -1 =0. KQ: x = ± +k
6 2
   
  21:db2.B06/ cos2x+ 1+2cosx sinx-cosx =0
π πKQ: x = + k
π; x = + k2π; x = π + k2π
4 2
22:db1.D06/ 3 3 2cos sin 2sin 1.  x x x
: ; 2 ; 2
4 2
         KQ x k x k x k
   
3 2
2 2
23:db2.D06/ 4sin x+4sin x+3sin2x+6cosx=0.
π 2πKQ: x = - + k2
π; x = ± + k2π
2 3
24:A07/ 1 + sin x cosx + 1 + cos x sinx = 1 + sin2x
π πKQ: x = - + k
π; x = + k2π; x = k2π
4 2
25:B07/ 22sin 2 sin 7 1 sin  x x x
2 5 2
: 2 ; ;
8 18 3 18 3
         KQ x k x k x k
2
x x
π π
26:D07/ sin +cos + 3cosx=2. KQ: x = +k2
π; x=
- +k2
π
2 2 2 6
   
27:db1.A07/ 1 1sin 2 sin 2cot 2 .
2sin sin 2
   x x x
x x
 27: :
4 2
  KQ x k 28: KQ: 2
3
  x k
28:Db2.A07/  22cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cos .   x ...  =
21
2
X
b2.Biến đổi (1) thành phương trình bậc hai theo X (2)
b3.Giải (2) và kết luận.
BT4. Giải các phương trình sau
1/. sin3 x + cos3 x = 2sinxcosx + sin x + cosx 2/. 1 – sin3 x + cos3 x = sin2x
3/. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 4/. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2
5/. (1+sin x)(1+cosx) = 2 6/. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx
7/. 1+sin3 2x + cos3 2 x = 3
2
sin 4x 8/. 3(cotx – cosx)-5(tanx-sin x)=2
9/. cos4 x + sin4 x – 2(1 – sin2xcos2x) sinxcosx – (sinx+cosx)=0
Loại 5. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp hạ bậc
Công thức hạ bậc 2
cos2x=
1 cos2
2
x
 ;
sin2x= 1 cos2
2
x
Công thức hạ bậc 3
cos3x=
3cos cos3
4
x x
 ;
sin3x= 3sin sin3
4
x x
BT5. Giải các phương trình sau
1/. sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos24 x
2/. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2 3/. sin2x + sin23x – 3cos22x = 0
4/. cos3x + sin7x = 2sin2(   5
4 2
x ) – 2cos2
9
2
x
5/. sin24 x + sin23x = cos22x + cos2x , với (0; )x
6/. sin24x – cos26x = sin(  10,5 10x ) với (0; )
2
x
7/. cos4x – 5sin4x = 1 8/. 4sin3x – 1 = 3 – 3 cos3x
9/. sin22x + sin24x = sin26x 10/. sin2x = cos22x + cos23x
11/. 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3
12/. 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x
13/. cos4xsinx – sin22x = 4sin2(  
4 2
x ) – 7/2 , với 1x <3
14/. 2 cos32x – 4cos3xcos3x + cos6x – 4sin3xsin3x = 0
15/. sin3xcos3x +cos3xsin3x = sin34x 16/. 8cos3(x+ 
3
)=cos3x
17/. cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x
18/. cos7x + sin22x = cos22x – cosx 19/. sin2x + sin22x + sin23x = 3/2
20/. 3cos4x – 2 cos23x = 1
Loại 6. Phương trình lượng giác giải bằng các hằng đẳng thức
a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 )
a4 – b4 = ( a2 + b2 )( a2 – b2 ) a8 + b8 = ( a4 + b4 )2 – 2a4b4
a6 – b6 = ( a2 – b2 )( a4 + a2b2 + b4 ) a6 + b6 = ( a2 + b2 )( a4 – a2b2 + b4 )
BT6. Giải các phương trình sau
1/. sin4 2
x
+ cos4 2
x
=1 – 2sinx 2/. cos3x – sin3x = cos2x – sin2x
3/. cos3x + sin3x = cos2x 4/. cos6x – sin6x = 13
8
cos22x
5/. sin4x + cos4x =   7 cot( )cot( )
8 3 6
x x 6/. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x)
7/. cos3x + sin3x = cosx – sinx 8/. cos6x + sin6x = cos4x
9/. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
10/ . cos8x + sin8x = 1
8
11/. (sinx + 3)sin4 2
x
– (sinx+3) sin2 2
x
+1 = 0
Loại 7. Phương trình lượng giác biến đổi về dạng tích bằng 0
Cách giải: Dùng công thức f(x).g(x) = 0  ( ) 0( ) 0
f x
g x
 
BT7. Giải các phương trình sau
1/. cos2x – cos8x + cos4x = 1
2/. sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2
4/. sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
5/. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
6/. 3
2
sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0
7/. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
8/. cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 5
4
cos2x
9/. 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
10/. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
11/. sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3
12/. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 13/. cos2x – 2cos3x + sinx = 0
14/. sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 15/. cosx(cos4x + 2) + cos2x – cos3x = 0
16/. 1 + tanx = sinx + cosx 17/. (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
18/. cotx – tanx = cosx + sinx 19/. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
Loại 8. Phương trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc
cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1=1–2sin2x
sin2x=2sinxcosx
tan2x=  2
2 tan
1 tan
x
x
sinx =  2
2
1
t
t
 ; cosx =


2
2
1
1
t
t
tanx=  2
2
1
t
t
BT8. Giải các phương trình sau
1/. sin3xcosx = 1
4
+ cos3xsinx 2/. cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16
3/. tanx + 2cot2x = sin2x 4/ . sin2x(cotx + tan2x) = 4cos2x
5/. sin4x = tanx 6/. sin2x + 2tanx = 3
7/. sin2x+cos2x+tanx=2 8/. tanx+2cot2x=sin2x
9/. cotx=tanx+2cot2x 10/. tan2x+sin2x= 3
2
cotx
11/. (1+sinx)2 = cosx 12/.   2 2 2 2sin 4 sin 3 sin 2 sinx x x x
13/.    2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x
Loại 9. Phương trình LG phải thực hiện phép biến đổi
tổng_tích và tích_tổng
1. Công thức biến đổi tổng thành tích
cosa + cosb = 2cos 
2
a b
.cos

2
a b
cosa – cosb = – 2sin 
2
a b
.sin 
2
a b
sina + sinb = 2sin 
2
a b
.cos

2
a b
sina – sinb = 2cos 
2
a b
.sin 
2
a b
tana + tanb = sin( )
cos .cos
a b
a b
tana – tanb = sin( )
cos .cos
a b
a b
cota + cotb = sin( )
sin .sin
a b
a b
cota – cotb =  sin( )
sin .sin
a b
a b
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa.cosb =     1 cos( ) cos( )2 a b a b
sina.sinb =     1 cos( ) cos( )2 a b a b
sina.cosb =     1 in( ) sin( )2 s a b a b
BT9. Giải các phương trình sau
1/. cosx.cos5x = cos2x.cos4x 2/.
cos5xsin4x = cos3xsin2x
Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng
7
3/. sin2x + sin4x = sin6x 4/. sinx +
sin2x = cosx + cos2x
5/ sin8x + cos4x =1 + 2sin2xcos6x 6/ cosx +
cos2x + cos3x + cos4x = 0
7/ sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0 8/ sin5x +
sinx + 2sin2x = 1
9/ tanx + tan2x = tan3x 10/ 3cosx + cos2x
– cos3x +1 = 2sinxsin2x
Loại 10. Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu số
Cách giải.
b1. Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( mẫu số khác 0 )
b2. Rút gọn phương trình, giải phương trình cuối cùng ( sau khi
thu gọn )
b3. Đối chiếu với điều kiện ban đầu để chọn nghiệm
Chú ý: Việc chọn nghiệm ( nhận nghiệm nào, loại nghiệm nào ),
tùy theo bài tốn ta dùng phương pháp đại số hoặc phương pháp
hình học
Giả sử rằng:
+ Điều kiện xác định là:  0 2 , *mx x m pp
    
+ Phương trình có nghiệm là
 2 , *kx k n
n
    
phương pháp đại số
+ Nghiệm xk bị loại  02 2: k mm x
n p
     
+ Nghiệm xk được nhận 
0
2 2
:
k m
m x
n p
     
phương pháp hình học
+ Điều kiện xác định là:  0 2 , *mx x m pp
     có nghĩa
là trên đường tròn lượng giác có p điểm A1, A2, ..., Ap không thể
là ngọn cung nghiệm của phương trình đã cho.
+ Ký hiệu  1 2, ,..., pL A A A ( tập hợp các điểm bị loại ).
+ Các nghiệm  2 , *k kx k n
n
     được biểu diễn bởi
n ngọn cung nghiệm trên đường tròn lượng giác.
+ Ngọn cung nào thuộc L thì bị loại, ngược lại thì được nhận.
BT 10. Giải các phương trình sau
1/. 2
1 cos 21 cot 2
sin 2
xg x
x
  2/.
2
cos 2sin cos 3
2cos sin 1
x x x
x x
  
3/. cos3 sin 35 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
      4/.
sin cot 5 1
cos9
x g x
x

5/. 22 cot 3
sin 2
tgx gx
x
   6/.
12 cot 2sin 2
sin 2
tgx gx x
x
  
7/.  2 cos sin1
cot 2 cot 1
x x
tgx g x gx
  8/.
2
2
2 2
sin 2
2
sin 4cos
2
x x
tg
x
x
 

9/.
4 4
4sin 2 cos 2 cos 4
4 4
x x
x
tg x tg x 
           
10/.
2 2
16(1 cos 4 )
cos 2
cogt x tg x
x
x
  
11/. 2cos 2 1cot 1 sin sin 2
1 2
xgx x x
tgx
    12/.
2
cot 4sin 2
sin 2
gx tgx x
x
  
13/. 2 2 2sin cos 0
2 4 2
x x
tg x      14/.
  25sin 2 3 1 sinx x tg x  
15/.
 6 62 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
   16/.
cot sin 1 . 4
2
xgx x tgx tg     
17/. 3 2 0
cot
tgx
x
   18/.
2
4 7
cos
tgx
x
 
19/.
2 44sin 2 6sin 9 3cos 2 0
cos
x x x
x
    20/.
13 sin cos
cos
x x
x
 
21/. 64sin 3cos 6
4sin 3cos 1
x x
x x
    22/.
13 sin cos 3
3 sin cos 1
x x
x x
    
23/. 2
1 cos cos 2 cos3 2 (3 3 sin )
32cos cos 1
x x x
x
x x
      24/.
2
cos 2sin .cos 3
2cos sin 1
x x x
x x
  
25/. 11 2sin
cos
tgx x
x
   26/.
1 1
sin cos
tan cot
x x
x x
  
27/. 1 1 10cos sin
cos sin 3
x x
x x
    28/
sin 5 1
5sin
x
x

29/.
4 4sin cos 1 (tan cot )
sin 2 2
x x
x x
x
   30/.
sin 3 sin 5
3 5
x x
31/. 2cos2x – 8cosx + 7 = 1
cos x
32/. 2sin3x – 1
sin x
= 2cos3x + 1
cos x
33/. 1tan sin 2 cos 2 2 2cos 0
cos
x x x x
x
        34/. 1 +
Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng
8
cot2x = 2
1 cos 2
sin 2
x
x

35/. 2tanx + cot2x = 2sin2x + 1
sin 2x
36/ .
1 12 2 sin( )
4 sin cos
x
x x
  
37/. 22 tan cot 3
sin 2
x x
x
   38/
 3 cos 2 cot 2 4sin cos
cot 2 cos 2 4 4
x x
x x
x x
              
Loại 11. phương trình lượng giác chứa căn thức hoặc chứa
giá trị tuyệt đối
Cách giải
b1). Đặt điều kiện xác định (nếu có)
b2). Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc khử căn thức ( thông thường
dùng quy tắc bình phương hai vế. Cần nhớ:
2 20a b a b    ) rồi giải phương trình
b3). Kết luận
Chú ý: Đối với phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể khử
dấu giá trị tuyệt đối bằng phương pháp khoảng (cần nhớ dấu của
giá trị lượng giác và chiều biến thiên của các hàm số lượng giác )
BT 11. Giải các phương trình sau
1/. sin cos sin cos 2x x x x    2/.
2cos sin 1x x 
3/. cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x    4/.
1 sin 2 cos sinx x x  
5/.
2
 ,
1 1 2 2
tg x tgx
tgx x
tgx tgx
       6/.
2
2
4
cos cos
3 0
1
x
x
tg x



7/. sin 3 sin cos sin 2 , 0 2
1 cos 2
x x
x x x
x
     8/.
2sin 2sin 2 2sin 1x x x   
9/.
2 4sin 2 4cos 2 1 0
2sin cos
x x
x x
   10/.
sin 1 cos 0x x  
11/. 2cos sin 1x x  12/ .
sin cos 4sin 2 1x x x  
13/ . sin cos sin cos 1x x x x   14/.
2 4sin 2x cos 2x 1 0
sin cosx x
  
15/.  sin 3 sin sin 2 cos 2 0 2
1 cos 2
x x
x x x
x
     16/.
2sin sin 1 sin cosx x x x   
Loại 12. Phương trình LG phải đặt ẩn phụ góc hoặc 1 hàm
số lượng giác
BT12. Giải các phương trình sau
1/. sin( 3
10 2
x  ) = 1
2
sin( 3
10 2
x  ) 2/.
sin( 3
4
x
 ) = sin2x sin(
4
x
 )
3/.
2
2
4
cos cos
3 0
1
x
x
tg x



4/. cosx –
2sin( 3
2 2
x  ) = 3
5/. cos( 72
2
x
 ) = sin(4x+3 ) 6/. 3cot2x
+ 2 2 sin2x = (2 + 3 2 )cosx
7/. 2cot2x + 2
2
cos x
+ 5tanx + 5cotx + 4 = 0 8/. cos2x +
2
1
cos x
= cosx +
1
cos x
9/. sinx – cos2x + 1
sin x
+ 2
2
sin x
= 5 10/.
1 sin 2
1 sin 2
x
x

 +2
1 tan
1 tan
x
x

 = 3
Loại 13. Phương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi
phức tạp
BT13. Giải các phương trình sau
1/. 3 4 6 (16 3 8 2)cos 4cos 3x x    
2/. cos  23 9 16 804 x x x      =1 tìm n0 xZ
3/. 5cos cos 2x x + 2sinx = 0
4/. 3cotx – tanx(3-8cos2x) = 0
5/.  2 sin tan 2cos 2
tan sin
x x
x
x x
  
6/. sin3x + cos3x + sin3xcotx + cos3xtanx = 2sin 2x
7/. tan2x.tan23 x.tan24x.= tan2x– tan23 x + tan4x
8/. tan2x = – sin3xcos2x
9/. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x)
10/ . 2sin sin 1 sin cosx x x x   
11/ . cos2  2sin 2 cos4 x x    – 1 = tan2 2tan4x x   
12/.
2 32 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x x                              
Loại 14. Phương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế
,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm
BT13. Giải các phương trình sau
1/. cos3x + 22 cos 3x = 2(1+sin22x)
2/. 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2sinxcos28x
3/. cos24x + cos26x = sin212x + sin216x + 2 với x  0;
4/. 8cos4xcos22x + 1 cos3x +1 = 0
5/. sin cosx x 
6/. 5 – 4sin2x – 8cos2x/2 = 3k tìm k Z* để hệ có nghiệm
Chuyên đề lượng giác Hồ Văn Hoàng
9
7/. 1–
2
2
x
= cosx
8/. ( cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x
9/.   11 cos 1 cos cos 2 sin 42x x x x   