Luyện thi đại học - Chuyên đề Khảo sát hàm số

Chuyên đề khảo sát hàm số ồ Văn Hoàng
1
Chuyên đề : Khảo sát hàm số và ứng dụng
Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số .
1.Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xM ; yM) .
B1 : hệ số góc tiếp tuyến k = f ‘(xM) .
B2 :Phương trình tiếp tuyến : y – yM = k(x – xM ) .
2.Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết dạng của tiếp tuyến
với đồ thị.
B1: Tìm dạng của tiếp tuyến y = g(x) .
B2: Điều kiện tiếp xúc :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
 
Chú ý :
a. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có
nghiệm : /
/
/ /
C C
C C
y y
y y
 
. Nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm.
b. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x)
*Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo.
*Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M :
(d): y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số
lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x
trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
* // () : y = ax + b : (d) // ()  (d) : y = ax + m.
*  () : y = ax + b (a  0) : (d)  ()  (d) : y = 1
a
 x + m.
Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M  (C/) : g(x, y) = 0 sao
cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...),
M(xo,yo)  (C/)  g(xo,yo) = 0; (d) qua M: y = k(x – xo) + yo
(d) tx (C) : /C d
C
y y
y k
 
(1).
Thế k vào (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo.
Đặt đk để phương trình có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp
tuyến), tìm được xo hay yo.
3.Dạng 3:Đường cong : y = ax3 + bx2 + cx + d cắt Ox tại ba điểm
phân biệt khi : ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt
hay yCĐ .yCT < 0 .
4.Dạng 4:. Điểm đặc biệt của (Cm) : y = f(x, m)
a/ Điểm cố định : M(xo, yo)  (Cm), m  yo = f(xo, m), m
 Am + B = 0, m (hay Am2 + Bm + C = 0, m)
 0
0
A
B
  (hay
0
0
0
A
B
C
  
). Giải hệ, được M.
b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(xo, yo)  (Cm), m
 yo  f(xo,m), m
 yo = f(xo, m) VN m  Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm +
C = 0 VN m)  0
0
A
B
  (hay
0
0
0
0
0
A
A
B
C
      
).
Giải hệ , được M. Chú ý : A C
B
 VN  B = 0  0B
A BC VN
 
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường
(Cm) qua M(xo, yo)  yo = f(xo, m) có n nghiệm m.
Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình :
bậc 2, bậc 2 có điều kiện x  , bậc 3, trùng phương.
d/Tìm điểm M  © : y = ax + b + c
dx e có tọa độ nguyên
(a, b, c, d, e  Z) : giải hệ
,
M M
M
M M
cy ax b
dx e
x y Z
     

,
M M
M
M
M
cy ax b
dx e
c
x Z
dx e
      

,
M M
M
M M
cy ax b
dx e
x Z dx e c
        öôùc cuûa
5.Dạng 5:TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. Cmr đồ thị hàm số nhận điểm M(xM ; yM) làm tâm đối xứng
B1: Đặt M
M
x x X
y y Y
   
 thay vào y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X)
B2: Ta chứng minh hàm số Y = F(X) lẻ (tức là F(-X) = - F(X) )
trên tập xác định nên nhận
0
0
M
M
x xX
Y y y
     
làm tâm đối xứng
hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm phân thức (gđ 2 tc) tại I :
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là
nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm :
đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X);
cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là
trục tung X = 0  x = a
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I .
giải hệ 4 pt 4 ẩn :
2
2
( )
( )
M N I
M N I
M M
N N
x x x
y y y
y f x
y f x
     
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax +
b :
dt  (d) là (d') : y = – 1
a
x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và
(d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của
AB theo m; A, B đối xứng qua (d)  I  (d)  m?;
thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
Tìm tọa điểm uốn : B1: y’’ = 0 có nghiệm xo  yo = f(xo)
B2: Tọa độ điểm uốn : U(xo;yo) .
6.Dạng 6:ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a> 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn tăng)
ii) a< 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm trên R (luôn giảm)
iii)a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
 hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (, x1); + hàm số tăng trên (x2, +);
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv)a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
 hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1
 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (, x1); + hàm số giảm trên (x2, +);
+hàm số tăng trên (x1, x2)
b. Biện luận sự biến thiên của y =
2ax bx c
mx n
 

i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên
từng khỏang xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm (nghịch biến)
trên từng khỏang xác định.
Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng
2
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt
cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và 1 22
x x p
m
  .
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt
cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và  1 22
x x p
m .
c.Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến
(nghịch biến) / miền xI: đặt đk để I nằm trong miền đồng
biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt y/ = 0
với .
7.Dạng 7:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số và giá trị nhỏ nhất của
hàm số .
 Trên khoảng (a ; b) thì ta lập bảng xét dấu của y’ và yCĐ là
GTLN; yCT là GTNN .
 Trên đoạn [a ; b] thì ta giải phương trình :y’ = 0 có nghiệm x1 ;
x2 ;  thuộc [a ; b]
Tính y(x1) ; y(x2) ;  ; y(a) ; y(b) .Số lớn nhất là GTLN ; số nhỏ
nhất là GTNN.
8.Dạng8: Cực trị f có đúng n cực trị  f/ đổi dấu n lần.
 f đạt cực đại tại xo 
/
/ /
( ) 0
( ) 0
o
o
f x
f x
  
;
 f đạt cực tiểu tại xo 
/
/ /
( ) 0
( ) 0
o
o
f x
f x
  
1/ Hàm bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị
 phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
*Tính yCĐ.yCT :
Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D);
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
Hàm bậc 2/ bậc 1 :  uy v ; yCĐ.yCT =
/ /
/ /
( ). ( )
( ). ( )
CÑ CT
CÑ CT
u x u x
v x v x ,
dùng Viète với pt y/ = 0.
2/ Hàm trùng phương: y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị  ab  0,
3 cực trị  ab < 0
9.Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và
điểm cực tiểu (cực trị)
a) Hàm phân thức : y =
2ax bx c
dx e
 
 =
( )
( )
f x
g x
.
B1: Điều kiện để có cực trị là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B2: có 2 nghiệm xCĐ ; xCT thì yCĐ =
'( )
'( )
CD
CD
f x
g x
& yCT =
'( )
'( )
CT
CT
f x
g x
B3:Kết luận :Đường thẳng qua cực trị là : y =
'( )
'( )
f x
g x
.
b) Hàm đa thức :y = ax3 + bx2 + cx + d .
B1:Điều kiện để có có cực trị là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B2:Chia đa thức :Lấy y chia y’ .Kết quả có dạng :
y = y’(x) .[ 1
3 9
b
x
a
 ] +
22(3 ) 9
.
9 9
ac b ad cb
x
a a
  .
B3:Giả sử có hai nghiệm xCĐ ; xCT thì
yCĐ =
 
22(3 ) 9.9 9CD
ac b ad cbxa a ; yCT =
 
22(3 ) 9.9 9CT
ac b ad cbxa a
B4:Kết luận :đường thẳng qua cực trị là:y =  
22(3 ) 9.9 9
ac b ad cbxa a .
10.Dạng 10:Vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
1) Hàm số y = f(|x|) .
Phương pháp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) .
B2: Giữ nguyên phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x > 0 qua Oy
2) Hàm số y = |f(x)| .
Phương pháp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) .
B2: Giữ nguyên phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y <0 qua Ox3)
Hàm số y = |f(|x|)| .
Phương pháp :
B1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) .
B2: Giữ nguyên phần x ≥ 0 , lấy đối xứng phần x >0 qua Oy
B3: Giữ nguyên phần y ≥ 0 , lấy đối xứng phần y < 0qua Ox
Nhớ  g(x) = f(–x) : đối xứng qua (Oy);
 g(x) = – f(x) : đối xứng qua (Ox).
11. Dạng 11: Bài toán tìm quỹ tích .
B1: Tìm toạ độ quỹ tích M
( )
( )
x f m
y g m
  .
B2:Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích .
B3:Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra
điều kiện của x và y .
 Nếu xo = a thì M  (d) : x = a.
 Nếu yo = b thì M  (d) : y = b.
12.Dạng 12 : Bài toán TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x)
là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
*Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao
điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n
nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế :
F(x) = m; đặt điều kiện để (C):y=F(x) & (d): y = m có n điểm chung.
*Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
 Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số
điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d).
 PThđ điểm chung, không tách được m, dạng ax2 + bx + c = 0
(x  ) hay dạng bậc 3 : x =   f(x) = 0 : lập , xét dấu , giải
pt f(x) = 0 để biết m nào thì  là nghiệm của f, với m đó, số
nghiệm bị bớt đi 1.
Bài toán đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4
điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng .
B1:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là
ax4 + bx2 + c = 0 (1).
 Đặt t = x2 (điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành :
at2 + bt + c = 0 (2).
 Điều kiện để (C ) cắt trục hoành tại 4 điểm thì phương trình (1)
có 4 nghiệm phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm dương
phân biệt
0
0
0
S
P
   
B2:Giả sử (2) có hai nghiệm là 0 < n < m.thì phương trình (1) có
4 nghiệm là : ; ; ;m n n m  .
 Để 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng thì 2m n n 
 m = 9n (3) .
B3:Ap dụng định lí viet :
.
n m S
n m P
   (4) .
 Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng :
; ; ;m n n m  .
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của
f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f),
số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác: đổi biến; cần biết mỗi
biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t .
1/ Giải bất phương trình bằng đồ thị :
f g  x a
b x
 
f  g  a  x  b , f  g  x a
x b
 
2/ Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị sao cho khoảng cách đó là
ngắn nhất .
B1: Từ y =
( )
( )
f x
g x
 đổi hệ trục toạ độ Y = a
X
 (với a là hằng số ).
a b
f
g
Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng
3
B2: Lấy A ;
a 
    và B ;
a 
     với 0; 0   .
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2  (m  1)x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
Giải. a) với m = 1, y = x3 + 3x2  1
b) y’ = 3mx2 + 6mx  (m  1). Điều kiện cần và đủ để y = f(x)
không có cực trị là phương trình f’ (x) = 0 không có hai nghiệm
phân biệt, nghĩa là
2
0
10 0
4
' 9 3 ( 1) 0
m
m m
m m m
         
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + mx2  m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
c) Xác định m sao cho x  1  y  1.
Giải a) m = 3  y = x3 + 3x2  3
b ...  3) x + 3  2m = 0 có
0 3 / 2; 1/ 2m m     
2
1 2 1 2 1 2
1 51 1 ( ) 4
2
AB x x x x x x m         
2/ B: ( C) 3 21 2 3
3
y x x x   a/ KSHS.
b/Viết pttt của ( C ) tại điểm uốn . CMR pttt nầy cóHSG nhỏ nhất
Chú ý : a > 0: HSGóc NN, a < 0 : HSG lớn nhất .
3/ D: (Cm) 3 23 9 1y x mx x    a/ KSHS khi m = 1
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng
5
b/ Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đường thẳng y = x +1.
HD: I thuộc đt  m=0, m = 2
ĐH B Năm 2003 :(C) 3 23y x x m   a/KSHS khi m = 2 .
b/Tìm m để ( Cm ) có hai hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ .
HD : YCĐB  xo ≠ 0 sao cho y(x0) ≠ − y(−x0)
 Thế x0 vào hai vế để phương trình có 2 ngh: 203 0.x m m  
ĐH Năm 2002:
1/A: (C): 3 2 2 3 23 3(1 )y x mx m x m m       a/KSHS khi m =1
b/Tìm k để 3 2 33 0x x k    có 3 nghiệm phân biệt.
c/ Viết phương trình đường thẳng qua hai cực trị của ( Cm )
b/ ( 3 20 3 4 1 3; 0; 2k k k k k          )
c/ (Cm) có cực trị với mọi m .Chia y cho y/ ta có : y = 2x+ m− m2
2/ B: 4 2 2( 9) 10y mx m x    a/KSHS khi m =1.
b/Tìm m để HS có 3 ctrị .
HD: b/ y’= 2x( 2mx2 + m2 − 9) = 0  2 2
0
2 9 0(2)
x
mx m
   
.
(2) Có 2ngh ph biệt khác 0 2
2
0 3
9 0 2
2
m
m
m
mx
m
        
DỰ BỊ 1 B:Cho ( C ) 4 26 5y x x   ; a/ KSHS.
b/ Tìm m để phương trình x4 − 6x2 − 2log 0m  có 4 ngh ph biệt
HD: 2 2 9
14 log 5 5 9 log 0 1
2
m m m          
DỰ BỊ 1A/2004:Cho (C) 4 2 22 1y x m x   ;
a/KSHS khi m = 1.
b/Tìm m để HS có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân .
HD: y’= 0 x=0 ;x=  m . Vậy HS có 3 ctrị khi m ≠ 0
Gọi A(0;1); B; C có hoành độ  m và có tung độ là : 1− m4.
4 4( ; ); ( ; )AB m m AC m m      .
Vì y là hàm số chẵn nên AC = AB . YCĐB
2 8 6
. 0; 0 0 1 1AB AC m m m m m           
DỰ BỊ 1 B –2004 Cho 3 2 22 2y x mx m x   
a/KSHS khi m = 1 .
b/Tìm m để HS đạt cực tiểu tại x=1 .
HD: y đạt ctiểu tại x = 1
,
,,
(1) 0
1.
(1) 0
y
m
y
    
DỰ BỊ B1 –2003: ( C) 2( 1)( )y x x mx m   
a/KS-HS ( C )khi m=4 .
b/Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt .
HD: 2 0x mx m   có 2 ngh ≠1 m 4 và m ≠  ½
DỰ BỊ B2 –2003: ( C) 2 1
1
xy
x
  a/KSHS.
b/Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm M (C): tiếp tuyến
của ( C ) tại M vuông góc IM .
HD : Ta có ktt .kIM = −1. Mà ktt = −1/(xM−1)2  kIM = (xM−1)2
Mặt khác I(1;2)  kIM = 1 112
1
M M
M
M
x x
y
x
 

=1
Vậy : (xM −1)2 = 1
0 1
2 3
M M
M M
x y
x y
      
Vậy : M(0;1) M(2;3) .
DỰ BỊ D2 –2003: (C) 3 22 3 1y x x   a/ KSHS .
b/ ( d ) qua M(0;1) có HSG là k, tìm k: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt. (k > 9/8 và k  0)
DỰ BỊ 1 –2002: 4 2 1y x m x m    ;
a/KSHS khi m =8.
b/Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
HD: pt t2 − mx + m −1 = 0 Có hai nghiệm dương

2( 2) 0
1
0
2
1 0
m
m
S m
m
P m
            
DỰ BỊ 3 –2002:(C) 3 21 12 2
3 3
y x mx x m    
a/ Cho m = ½ . Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số ,
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp
tuyến đó song song với đường thẳng D: y = 4x + 2
c/ Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích
bằng 4. Hd: b/ 2 tt : ( d1) y=4x-26/3 ; ( d2) y=4x+73/6
DỰ BỊ 6 –2002:Cho ( C ) 3 21 2 3
3
y x x x   a/ KSHS
b/Tính diện tích hình phẳng: ( C ) và Ox . ĐS : S= 9/4 ( Đvdt )
Tự luyện
Bài 1: Cho hàm số 3( ) 3 (1)y x m x  
1/Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2/Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0
3/Tìm k để hệ sau có nghiêm
3
2 3
2 2
1 3 0
1 1log log ( 1) 1
2 3
x x k
x x
       
Bài 2: Cho hàm số 1 (1)
1
xy
x
 
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm
2) Tìm m để đường thẳng D:y = 2x + m cắt (C ) tại 2 điểm phân
biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song nhau
3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M
đến giao điểm 2 đường tiệm cận là ngắn nhất
Bài 3: Cho hàm số 2 (1)
1
xy
x
  . Cho điểm A(0;a). Xác định a
để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm tương
ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox
HD a ≠−1 & a > − 2 có 2 nghiệm phân biệt. y1.y2 < 0
ĐS a> − 2/3 và a ≠ 1
Bài 4: Cho hàm số 4 2 22 1 (1)y x m x  
1/ Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2/Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của
một tam giác vuông cân
Bài 5: Cho hàm số 4 24 (1)y x x m   .Giả sử đồ thị cắt trục
hoành tại 4 điểm phân biệt .Hãy xác định m sao cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên
và phần phía dưới đối với trục hoành bằng nhau
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4, là nghiệm
Strên= Sduói
3 4
30
( ) ( )
x x
x
f x dx f x dx   .
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly Viét m = 20/9.
Bài 6 : Cho hàm số 3 23 2y x x   .
1) Khảo sát và vẽ (C) .
2) Cmr tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
3) Tìm các điểm trên (C) vẽ đúng một tiếp tuyến đến (C) .
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) .
a) Tại diểm M(-1 ;-2)
b) Qua diểm A( -1;-2)
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x+1 .
5) Tìm các điểm trên đường thẳng :y= -2 có thể vẽ đến (C)
a) 3 tiếp tuyến . b) 2 tiếp tuyến vuông góc .
6) Biện luận theo m số nghiệm của pt :
Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng
6
 a) 3 2 3 23 2 3 2x x m m    
 b) 3 23 2x x m  
7) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M (-1, -2 ) có hệ số góc là
m. Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ âm .
8)Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M , A , B sao cho tiếp
tuyến tại A và B vuông góc .
9)Tìm m để  3 21 , 2; 13 2 m xx x      
10)Giải phương trình 3 23 2 1x x  
Bài 7 : Cho hàm số y = 3 22 3( 3) 18 8x m x mx    . ( Cm )
1) Khảo sát hàm số khi m = 1 .
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x= 1 .
3) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .
4) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương .
5) Tìm m để hàm số có cđại và ctiểu tại 1x , 2x : 1 22 1x x 
6)Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục Ox .
7) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị .
9) Tìm m để (Cm) có 2 cực trị đối xứng qua đthẳng x - 4y -18 = 0
10) Chứng minh rằng khi m thay đổi (Cm) đi qua hai điểm cố
định A và B .
11) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định A và B song song
với nhau .
12) Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với trục Ox .
13) Tìm m để trên (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua Ox.
14) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn đi qua gốc tọa độ O .
15)Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập
thành cấp số cộng .
Bài 8 : Cho hàm số 4 2 2( 10) 9y x m x    .
1) Khảo sát và vẽ (C) khi m= 0 .
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới (C) và đthẳng y = 9 .
3) Tìm k để ph trình 4 210 9x x k   có 8 nghiệm phân biệt
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) .
a) Tại các điểm uốn .
b) Đi qua giao điểm của (C) và trục tung .
c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −16x + 1 .
5) Tìm các điểm trên (C) vẽ đến (C) ba tiếp tuyến .
6) Tìm n để đường thẳng y = n cắt (C) tại 4 điểm phân biệt
A,B,C ,D sao cho AB =BC = CD .
7) Tìm m để đồ thị (1) có 3 cực trị .Viết phương trình Parabol đi
qua 3 điểm cực trị .
8) Tìm m để đồ thị (1) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác
vuông cân .
9) Gọi M là điểm nằm trên (C) .Viết phương trình tiếp tuyến d
của (C) tại M .Tìm giao điểm P, Q khác M của d và (C) .Tìm M
để M là trung điểm của P, Q .
10) Chứng minh rằng với mọi m để đồ thị (1) luôn cắt trục Ox
tại 4 điểm phân biệt .Chứng minh rằng trong các giao điểm đó có
2 điểm nằm trong khoảng ( 3;3) và hai điểm nằm ngoài ( 3;3) .
Bài 3 : Cho hàm số 2 1
1
xy
x
  .
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tính diện tích giới hạn trục tung trục hoành và (C) .
3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A( -1;3) .
4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và
trục tung .
5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường
thẳng: y + x +5=0
6) Gọi M  (C ) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B .
Chứng minh rằng
 a) M là trung điểm AB
 b) Diện tích tam giác IAB là một hằng số
7) Tìm điểm M  ( C ) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2
tiệm cận nhỏ nhất .
8) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến của ( C ) đi qua giao
điểm 2 đường tiệm cận .
9) Tính thể tích tạo bởi hình phẳng giới hạn bới (C ) và hai trục
tọa độ khi quay quanh trục Ox .
10) Tìm hai điểm trên hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách
giữa chúng nhỏ nhất .
11) Tìm hai điểm trên (C) đối xứng qua đường thẳng y = x −1 .
12) Tìm m Để (C) cắt d : y = − x+ m tại hai điểm phân biệt A; B:
a) AB ngắn nhất
b) AB = 2 2
c) Tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.
13) Từ dồ thị (C ) suy ra đồ thị các hàm số :
2 1 2 1 2 1) ; ) ; )
1 1 1
x x x
a y b y c y
x x x
      
14) Tìm m để phương trình 2 1
1
x
m
x
  có 2 nghiệm phân biệt .
15) tìm m để phương trình 2 1
1
x
x

 = m có 4 nghiệm phân biệt .
Ứng dụng của khảo sát hàm số
Một số kiến thức cần nhớ
 Phương pháp tìm GTLN,GTNN trên một khoảng, một đoạn
 Xác định tham số để các phương trình hoặc bất phương trình
có nghiệm VD
F(x) = m  m thuộc [MinF(X); MaxF(x)]
 F(x) > m với mọi x . .  m < minF(x)
 F(x) MaxF(x) . . .
Chú ý khi đổi biến phải tìm ĐK của biến mới có thể sử dụng
phương pháp miền giá trị
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của
2
1
1
xy
x


trên đoạn [-1;2]
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [1;e3]
2ln xy
x

Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của 6 2 34(1 )y x x   trên đoạn [-1;1]
Bài 4: Tìm m để bất pt 2(1 2 ).(3 ) (2 5 3)x x m x x      có
nghiệm với mọi x thuộc [-1/2;3]
HD Đặt t= (1 2 ).(3 )x x  Từ miền xác đinh của x suy ra
7 20;
4
t
    
. Biến đổi thành f(t) = t2 + t > m + 2.
Tìm miền giá trị của VT m < − 6
Bài 5: Tìm a nhỏ nhất để bất phương trình sau thoả mãn với mọi
x thuộc [0;1] : 2 2 2.( 1) ( 1)a x x x x     .
HD Đặt t = x2 + x − 1 dùng miền giá trị suy ra a = −1
Bài 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
2 21 1x x x x m      . HD −1 < m < 1
Bài 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x
4 2 23cos 5.cos3 36.sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m      
HD Đặt t=cosx BBT 0 ≤ m ≤ 2
Bài 8: Tìm m để phương trình 22 2sin 2 (1 cos )x m x   có
nghiệm trên [-/2; /2]
Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm 8 42sin cos 2y x x 
 HD : 3 và 1/27
Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm
2 2 (4 4 ) voi 0 x 1x x x xy        .
Bài 11: Tìm m sao cho hàm số y = − x3 − m2x + 2 đạt GTNN trên
 1, bằng 1. Đáp số : m 2 là những giá trị cần tìm.
Tiệm cận
Chuyên đề khảo sát hàm số Hồ Văn Hoàng
7
BT1(ĐHSP TPHCM 2001 Khối D )Cho (C)
22 1
1
x xy
x
  
CMR tích các khoảng cách từ M (C) đến 2 tiệm cận không đổi.
BT2(ĐHSP TPHCM 2001 Khối A )(Cm):
22 2
1
x mxy
x
  
Tìm m để tiệm cận xiên tạo với 2 trục một tam giác có diện tích bằng 4.