Luyện thi đại học - Chuyên đề Hình học

Chuyên đề Hình học ồ Văn Hoàng
1
CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2008
Phần hình học không gian.
Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông
góc, cho 2 đường thẳng : 1 2
1
2
: ; : 2
2 3 4
1 2
       
x t
x y zd d y t
z t
1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d1 và song song d2
2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường
thẳng d2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất.
Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 )
Bài 2 : B – 2002: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a
1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B và B1D.
2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 ,
CD , A1D1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C1N.
Đáp số :1) 1 1
6( , )
6
 ad A B B D
2) Góc giữa MP và C1N bằng 900
Bài 3 : D – 2002 :
1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc mp (ABC ) ,
AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ
điểm A tới mp ( BCD ).
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho
đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng dm là giao
tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là :
( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ;
( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0
Xác định m để đường thẳng dm song song với mp ( P ) .
Đáp số : 1) 6 34( , ( ))
17
d A DBC 2) m = - 1 / 2
Bài 4 : A – 2003 :
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc
phẳng nhị diện  , ' ,B A C D .
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho
hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ ,
B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. Gọi
M là trung điểm cạnh CC’ .
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) Xác định tỷ số a / b để mp ( A’BD )  mp( MBD ).
Đáp số: 1)Số đo  , ' ,B A C D =1200.
2)a)
2
' 4
BDA M a bV ; b) 1ab
Bài 5 : B – 2003 :
1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là
một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 600 . Gọi M là trung điểm
cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4
điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài
cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
2) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A ( 2; 0; 0) , B( 0; 0; 8)
và điểm C sao cho (0;6;0)AC . Tính khoảng cách từ trung
điểm I của BC đến đường thẳng OA.
Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N
đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5.
Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng dk
là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình :
( ) : 3 2 0 ; ( ) : 1 0       P x ky z Q kx y z
Tìm k để đường thẳng dk  với mp(R) : x – y – 2z + 5 = 0.
Đáp số : 1 vtcp của dk là
2
1 2, (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1            
   
u n n k k k k k
Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian Oxyz , cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O.
Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; 2 2 ).
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN
Đáp số :
a) Góc giũa SA và BM bằng 300 .
Khoảng cách giũa SA và BM bằng : 2 6 / 3
b) 2  ABMB SABM SAMNV V V
Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian Oxyz , cho điểm
 A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d :
3 2
1
1 4
       
x t
y t
z t
.
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và
vuông góc với đường thẳng d.
Đáp số : 4 2 4' :
3 2 1
    
x y zd
Bài 9 :D – 2004 :
1)Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.
Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a)Tính khoảng cácch giữa hai đường thẳng B’C và AC’
b)Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và AC’ lớn nhất
2.Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0),
C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình
mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Đáp số : 1) a) 1 1 2 2( , )  
abd B C AC
a b
b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng 2
khi a = b = 2.
2) Phương trình mặt cầu : 2 2 2( 1) ( 1) 1    x y z
Bài 10: A−2005:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
1 3 3
:
1 2 1
   
x y zd và mặt phẳng   : 2 2 9 0   P x y z
a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt
phẳng (P) bằng 2.
b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Viết phương trình tham số của đường  nằm trong mặt phẳng
(P), biết  đi qua điểm A và vuông góc với d.
Đáp số : a) I1(−3; 5; 7); I2(3; −7; 1).
b) A(0; − 1;4). Phương trình tham số của : 1
4
    
x t
y
z t
Bài 11 - B 2005
Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với
A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0) , B1(4; 0; 4)
a.Tìm toạ độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu có tâm
là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1).
b.Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng P)
đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. mặt phẳng (P) cắt
đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
Đáp số : a) A1(0;−3;4), C1(0;3;4), (S): 2 2 2 576( 3) 25   x y z
b) ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, N ( 0 ; - 1 ; 4)  MN = 17
2
Chuyên đề Hình học Hồ Văn Hoàng
2
Bài 12. D 2005
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
d1:
1 2 1
3 1 2
   
x y z
và d2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ) : 2 0 ; ( ) : 3 12 0       x y z x y
a.Chứng minh rằng: d1 và d2 song song với nhau. Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2
b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại
các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ)
Đáp số : a) ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0.
b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 )  SOAB = 5
Bài 13- A 2006
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0;1).
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
b.Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng
Oxy một góc  biết cos= 1
6
.
Đáp số : a) 2( ' , )
4
d A C MN
b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( 2 2 2a +b +c >0 )
Vì (Q) chứa A’&C nên: c + d = 0 & a+b+ d = 0  c = - d = a + b
Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0
Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) .
Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1).
Ta có :
2 2 2
21 1
cos
26 6( )
           
a b a b
b aa b a b
Với a = -2b : Chọn b = -1  a = 2 . Ta có (Q): 2x – y + z – 1 = 0
Với b = -2a : Chọn a = 1  b = - 2. Ta có (Q): x – 2y - z + 1 = 0
Bài 14- B 2006 :Trong không gian Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và
hai đường thẳng d1:
1 1
2 1 1
   
x y z d2:
1
1 2
2
      
x t
y t
z t
a.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời // d1 và d2.
b.Tìm các điểm Md1, Nd2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng
Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M(0; 1; −1), N(0; 1; 1 )
Bài 15- D 2006 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và
hai đường thẳng d1:
2 2 3
2 1 1
   
x y z
d2:
1 1 1
1 2 1
   
x y z
a.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1
b.Viết phương trình đường thẳng  qua A,  với d1 và cắt d2
Đáp số : a)A’(−1; - 1; 4) b) Pt 1 1 3:
1 3 5
     
x y z
Bài 16 - A 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai
đường thẳng d1:
1 2
2 1 1
  
x y z
 và d2:
1 2
1
3
     
x t
y t
z
a.Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau.
b.Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d1, d2
Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho 
M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3)
 Phương trình d : 2 1 5 1 3
7 1 4 7 1 4
        
x y z x y zhay
Bài 17- B 2007 Trong không gian Oxyz
cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng
(P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo
một đường tròn có bán kính bằng 3.
b.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ
M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3.
Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 nên ( Q ) phải
chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên
mp ( Q) có vtpt là , (0; 1;2)    
  
n i OI . Vậy ( Q) : y – 2z = 0.
b)Id  (P) ; d (S) = A,B. Nếu d(A ;P)  d(B;(P)) thì
d(M;(P)) lớn nhất khi M A
Phương trình đường thẳng d : 1 1 1
2 1 2
   
x y z
Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là nghiệm của hệ phương trình :
2 2 2( 1) ( 2) ( 1) 9
1 1 1
2 1 2
           
x y z
x y z  A(-1; -1; -3), B(3; -3; 1).
d(A ;P) = 7 d(B;(P)) = 1. Vậy M(-1; -1; -3)
Bài 18 - D 2007 Trong không gian Oxyz cho hai điểm
A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) và đường thẳng : 1 2
1 1 2
  
x y z
a.Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam
giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).
b.Tìm điểm M   sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất
Đáp số : a) Ptđt d : 2 2
2 1 1
  
x y z
 b) M( - 1 ; 0 ; 4 )
Bài 19 - A 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) và
đường thẳng 1 2( ) :
2 1 2
  x y zd
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d)
b) Viêt phương trình mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng
cách từ A tới () là lớn nhất.
Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d  H ( 3 ; 1 ; 4 )
b) () là mp đi qua H và  AH  (): x – 4y – z + 3 = 0.
Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ;
B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) .
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho
MA= MB=MC.
Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0.
b) Gọi M(x; y; z) (P).Ta có : 2 2 2
M(x;y;z) (P)
MA =MB =MC

M(2;3;-7)
hoặc M  đt  mp ( ABC ) tại trung điểm I (0; −1; 1) của BC.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ :
2x+2y+z-3=0
M(2;3;-7)x y+1 z-1
= =
1 2 -4
 
Bài 21- D 2008 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;3 ;0) ;
B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3)
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Đáp số : a)( S) : 2 2 2 3 3 3 0     x y z x y z , tâm I 3 3 3; ;
2 2 2
   
b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC  H ( 2 ; 2 ; 2 )