Luyện thi đại học - Chuyên đề Hệ phương trình

Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
-------------------- 
Dạng1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
 Dạng tổng quát: 1 1 1
2 2 2
 (*)
a X b Y c
a X b Y c
+ =ì
í + =î
Phương pháp: Thông thường có 3 phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*). 
 Cách 1: Phương pháp thế. 
 Cách 2: Phương pháp cộng đại số. 
 Cách 3: Phương pháp dùng định thức. 
Kí hiệu: 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, , X Y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
= = - = = - = = - 
 TH1: 0 :D ¹ Hệ có nghiệm duy nhất 
X
Y
D
X
D
D
Y
D
ì =ïï
í
ï =ïî
 TH2: 0 : Vµ 0X YD D D= = = : Hệ có vô số nghiệm dạng ( ){ }0 0 1 0 1 0 1;X Y a X b Y c+ = 
 TH3: 0 : HoÆc , hoÆc 0. HÖ v« nghiÖm.X YD D D= ¹ 
Bài tập : Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
6 5
3
9 10
1
x y
x y
ì + =ïï
í
ï - =
ïî
 2) 
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
ì + =ï - +ï
í
ï + = -
ï - +î
 3) 
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
-ì - =ï - +ï
í -ï - =
ï - +î
4) 
2
2
2 2 1 3
2 1 4
x x y
x x y
ì + - - =ï
í
+ + - =ïî
 5) 
3 6
1
1 2
2 3
7
1 2
x x
y y
x x
y y
-ì - =ï + -ï
í -ï + =
ï + -î
 6) 
2 3 7
5
2 3
1 3 1
5
2 3
x y
x y
x y
x y
- +ì + =ï - +ï
í + +ï + =
ï - +î
7) 
( )
( )
1 1
3 2 6
1 1
3 2 4
x y
x y
x y
x y
ì æ ö
+ + - =ï ç ÷
ï è ø
í
æ öï - + + =ç ÷ï è øî
 8) 
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y
ì + =ï -ï
í
ï - =
ï -î
 9) 
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
+ì = -ï -ï
í -ï =
ï -î
10) 
8 1
17
7 3
x y
x y xy
ì + =ï
í
ï - =î
 11) 
2
2
3 1
2 7 15
x y
x y
ì + =ï
í
- =ïî
 12) 
2
2
5
2(4 ) 2
2
4 4
x
y
x
y
ì - + =ïï
í
ï - + =
ïî
13) 
1 0
2 1
x y
x y
ì - + =ï
í
- =ïî
 14) 
1 2 1
1 3
x y
x y
ì - + - =ï
í
- + =ïî
 15) 
2 2
2 3 1
x y
x y
+ =ìï
í - =ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất 
 Dạng tổng quát: 
2 2 0
0
ax by cxy dx fy e
Ax By C
ì + + + + + =
í
+ + =î
Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương 
trình bậc hai. 
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
- - =ì
í
- + + + =î
 2) 
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
+ =ì
í
+ - + =î
3) 
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y
ì + + + =ï
í
+ + + =ïî
 4) 
( ) ( )
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ì + + + + =ï
í
+ + + =ïî
5) 
2 22 3 7 12 1
1 0
x xy y y y
x y
ì - + = + -
í
- + =î
 6) 
( ) ( )2 3 2 5 3 0
3 1
x y x y
x y
ì + - - - =ï
í
- =ïî
7) 
2 211 5
2 3 12
x y
x y
ì + =
í
+ =î
 8) 
2 29 4 6 42 40 135 0
3 2 9 0
x y xy x y
x y
ì + + + - + =
í
- + =î
9) 
2 27 9 12 5 3 5 0
2 3 1
x y xy x y
x y
ì + - + + + =
í
- =î
 10) 
2 2 6 2 0
8 0
x y x y
x y
ì + + + =
í
+ + =î
11) 
2 22 6
2 3
x xy y x y
x y
ì + + - - =
í
- =î
 12) 
2 10
2 5
x xy x
x y
ì + + =
í
- = -î
13) 
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
+ -ì - =ï -í
ï - =î
 14) 
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y
ì - =ïï
í
ï - =
ïî
15) 
( )2 2
1 1 1
1 3
1 1 1
41
x y
yx
ì + =ï +ï
í
ï - =
ï +î
 16) ( ) ( )
4 2
4 117 0
25
x y x y
x y
ì + + + - =ï
í
- =ïî
17) 
3 3
1
7
x y
x y
- =ì
í
- =î
 18) ( ) ( )
2 218 18 18 17 12 12 1 0
3 4 0
x x y x xy
x y
ì + + - - - =ï
í
+ =ïî
19) 
( ) ( )2 2 45
5
x y x y
x y
ì - - =ï
í
+ =ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 
 Dạng tổng quát: 
( )
( )
; 0
; 0
f X Y
g X Y
ì =ï
í
=ïî
 (*) 
 Trong đó hoán vị giữa , X Y thì biểu thức ( ) ( ); , ;f X Y g X Y không thay đổi. 
Phương pháp: 
 + Đặt 
.
S X Y
P X Y
= +ì
í =î
. Thay vào hệ (*), tìm ra , S P . 
 + Lúc đó, , X Y là nghiệm của phương trình 2 0t St P- + = (1) 
Các nhận xét: 
* Do tính đối xứng của , X Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm 
 1 2, t t thì hệ (*) có nghiệm ( ) ( )1 2 2 1; , ;t t t t . 
 * Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện 
cần là X Y= (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ) 
* Do , X Y là nghiệm của phương trình 2 0t St P- + = nên điều kiện cần và đủ để hệ 
(*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của , X Y . 
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
2 2 4
2
x xy y
x xy y
ì + + =
í
+ + =î
 2) 
2 2
5
13
x xy y
x y xy
+ - =ì
í
+ + =î
 3) 
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
ì + + =ï
í
+ + =ïî
4) 
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
ì + =ï
í
- + =ïî
 5) 
6
12
2 2 2
3
x y z
xy yz zx
x y z
ì
ï + + =ïï + + =í
ï
ï + + =
ïî
 6) 
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
ì + + + =ïï
í
ï + + + =
ïî
7)* 
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
ì + + + =ïï
í
ï + + + =
ïî
 8) 
2 2 7
5
x xy y
x y
ì - + =
í
+ =î
 9) 
2 2
18
12
x y
y x
x y
ì
+ =ï
í
ï + =î
 9)* 2 2 2
4
3
2
x y z
x y z
xyz
+ + =ì
ï + + =í
ï =î
10) 
3 3 7
( ) 2
x y
xy x y
ì + =
í
+ = -î
 11) 
3 3 3
1
4
1
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =ì
ï + + = -í
ï + + =î
 12)* 
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =ì
ï + - =í
ï + + =î
13) 
4 4
2 2
17
3
x y
x y xy
ì + =ï
í
+ + =ïî
 14) 
2 2
5
6
x xy y
x y xy
+ + =ì
í
+ =î
 15) 
2 2 18
( 1). ( 1) 72
x x y y
x x y y
ì + + + =
í
+ + =î
16) 
3 3 19
( )(8 ) 2
x y
x y xy
ì + =
í
+ + =î
 17) 
2 2
7
2
5
2
x y xy
x y xy
ì + + =ïï
í
ï + =ïî
 18) 
9
( )
20
x
x y
y
x y x
y
ì + + =ïï
í +ï =
ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
19) 
3
( )
2
x
x y
y
x y x
y
ì - + =ïï
í -ï =
ïî
 20) 
2 2 19
7
x xy y
x xy y
ì - + =
í
+ + = -î
 21) 
2 2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
+ + =ì
í
+ + + =î
22) 
2 2
1
1
2
x y
x y
ì + =
ï
í
+ =ïî
 23) 
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =ì
í
+ + =î
 24) 
( )
( )2 2 2 2
1 1
5
1 1
49
x y
x y
x y
x y
ì æ ö
+ + =ï ç ÷
ï è ø
í
æ öï + + =ç ÷ï è øî
25) 
11
6 6
11
x y xy
xy
x y
+ + =ì
ï
í + + =ïî
 26) 
5 5
9 9 4 4
1x y
x y x y
ì + =ï
í
+ = +ïî
 27) 
( )
( )
2 2
2 2 4 4
3 5
7 155
xy x y
x y x y
ì - + =ï
í
- + =ïî
28) 
30
35
x y y x
x x y y
ì + =ï
í
+ =ïî
 29) 
4
4
x y
x y xy
ì + =ï
í
+ - =ïî
 30) 
7
1
78
x y
y x xy
x xy y xy
ì
+ = +ï
í
ï
+ =î
31) 
1 1 3
1 1 1 1 6
x y
x y y y y x
ì + + + =ï
í
+ + + + + + + =ïî
 32) 
1 1 1
3
1 1 1
3
1
1
x y z
xy yz zx
xyz
ì
+ + =ï
ï
ï
+ + =í
ï
ï
=ï
î
Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 
Hệ phương trình được gọi là hệ đối xứng loại 2 khi thay X bởi Y hoặc thay Y bởi 
X thì hệ phương trình không thay đổi. 
 Dạng tổng quát: 
( )
( )
; 0
 (*)
; 0
f X Y
f Y X
ì =ï
í
=ïî
Phương pháp: Nếu ( );f X Y là đa thức thì thông thường hệ (*) được giải như sau: 
 Biến đổi (*) 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
; ; 0 . ; 0
; 0 ; 0
f X Y f Y X X Y g X Y
f X Y f X Y
ì ì- = - =ï ïÛ Ûí í
= =ï ïî î
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
 2) 
4
3
4
3
y
x y
x
x
y x
y
ì - =ïï
í
ï - =
ïî
 3) 
3
3
3
4
2
3
4
2
x x y
y y x
ì + = +ïï
í
ï + = +ïî
 4) 
2 2
2 2
2 5 4
2 5 4
x y y
y x x
ì - = +ï
í
- = +ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
4) 
3
3
2
2
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
 5) 
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì +
=ïï
í
+ï =ïî
 6) 
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
ì + =ïï
í
ï + =
ïî
 7) 
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
ì - = -ï
í
- = -ïî
7) 
2
2
1
2
1
2
x y
y
y x
x
ì = +ïï
í
ï = +ïî
 8) 
2
2
2 4
2 4
x x y
y y x
ì = + +ï
í
= + +ïî
 9) 
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x
ì = - +ï
í
= - +ïî
 10) 
2
2
3 2
3 2
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
11) 
2
2
x x y
y y x
ì = +ï
í
= +ïî
 12) 
2
2
1
1
xy x y
yx y x
ì + = -ï
í
+ = -ïî
 13) 
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x
ì - = +ï
í
- = +ïî
 14)
3
3
y x
x y
ì =ï
í
=ïî
Dạng 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 
 Hệ phương trình đại số đẳng cấp bậc hai theo , x y . 
 Dạng tổng quát: 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
ì + + =ï
í
+ + =ïî
 (*) 
Phương pháp: 
 + Giải hệ khi 0x = . 
 + Khi 0x ¹ , đặt y tx= thế vào hệ (*), khử x được phương trình theo t . 
 + Giải t , rồi tìm , x y . 
 Biến đổi: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 22
1 1 1 11 1 1 1
2 2 22
2 2 2 22 2 2 2
 (1) (1)
. LËp tû 
(2) (2)
x a b t c t da x b tx c tx d
x a b t c t da x b tx c tx d
ìì + + =+ + =ï ïÛí í
+ + =+ + =ï ïî î
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
2 2
2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y
ì - + = -ï
í
- + =ïî
 2) 
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
ì + + =ï
í
+ + =ïî
 3) 
( )
3 3 7
2
x y
xy x y
ì - =ï
í
- =ïî
4) 
2 2 5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy
ì + - =
ï
í - = - -ïî
 5) 
3 2 3
3 2 3
1
2 2
x xy y
x x y y
ì - + =ï
í
- + =ïî
 6) 
2 22 3 0
2
x xy y
x x y y
ì - - =ï
í
+ = -ïî
7) 
2 2
2 2
3 5 5 37
5 9 3 15
x xy y
x xy y
ì + - =ï
í
- - =ïî
 8) 
2 2
2 2
4 2 1
2 4
x xy y
x xy y
ì - + =ï
í
- + =ïî
 9) 
3 2 2 3
3 2 2
3 6
3 2 2
x x y xy y
y x y xy
ì + + + =ï
í
+ - =ïî
10) 
2 2
2 2
3 1
2 2 8
x xy y
x xy y
ì - + = -ï
í
+ + =ïî
 11) 
2 2
2 2
2 3 2
2 4
x xy y
x xy y
ì + - = -ï
í
- + =ïî
 12) 
3 3
2 2
7
2 3 16
y x
x y xy
ì - =ï
í
+ =ïî
13) 
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
ì + =ï
í
+ + =ïî
 14) 
2 2
2 2
3 5 4 3
9 11 8 13
x xy y
y xy x
ì - - = -ï
í
+ - =ïî
 15) 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì - + =ï
í
+ - =ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002- 2010 
Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
---------------------------- 
1) (B- 2002) Giải hệ phương trình: 
3
2
x y x y
x y x y
ì - = -ï
í
+ = + +ïî
2) (D- 2002) Giải hệ phương trình: 
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
ì = -
ï
í +
=ïî +
3) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình: 
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
ì - + =ï
í
- =ïî
4) (Dự bị- 2002) Giải hệ phương trình: 
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
ì + - - =ï
í
+ - - =ïî
5) (A- 2003) Giải hệ phương trình : 
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ì - = -ï
í
ï = +î
6) (Dự bị- 2003) Giải hệ phương trình: 
log log
2 2 3
y x
x y
xy yì =ï
í
+ =ïî
7) (B- 2003) Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì +
=ïï
í
+ï =ïî
8) (A- 2004) Giải hệ phương trình: 
( )1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
ì - - =ï
í
ï + =î
9) (D- 2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
1
1 3
x y
x x y y m
ì + =ï
í
+ = -ïî
10) (D- 2005) Giải hệ phương trình : 
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
ì - + - =ï
í
- =ïî
11) (Dự bị- 2005) Giải hệ phương trình: 
2 2 4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x ...  x y
x xy y
ì + - + = -ï
í
- + =ïî
19) (Dự bị- 2006) Giải hệ phương trình: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì - + =ï
í
+ - =ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
20) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
-
-
ì + - + = +ï
í
+ - + = +ïî
21) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ì - + =ï
í
- + =ïî
22) (Dự bị- 2007) CMR: Hệ phương trình 
sau có 2 nghiệm thoả 0, 0x y> > . 
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x
ì = -ï -ï
í
ï = -ï -î
23) (Dự bị- 2007) Giải hệ phương trình: 
2
23
2
23
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
ì + = +ï - +ï
í
ï + = +
ï - +î
24) (A- 2008) Giải hệ phương trình: 
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì + + + + = -ïï
í
ï + + + = -ïî
25) (B- 2008) Giải hệ phương trình: 
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
ì + + = +ï
í
+ = +ïî
26) (D- 2008) Giải hệ phương trình: 
2 22
2 1 2 2
x y xy x y
x y y x x y
ì + + = -ï
í
- - = -ïî
27) ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 2log ( ) 1 log ( )
3 81x y xy
x y xy
+ -
ì + = +ï
í
=ïî
28) (B- 2009) Giải hệ phương trình: 
+ + =ì
í
+ + =î 2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
29) (D- 2009) Giải hệ phương trình: 
( )
( )
ì + - - =
ï
í
+ - + =ïî
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
30) (ĐH-B-2010) Giải hệ phương trình: 
2
2
log (3 1)
4 2 3
- =ì
í
+ =î
x x
y x
y
31) (ĐH-D-2010) Giải hệ phương trình: 
2
2 2
4 2 0
2log ( 2) log 0
ì - + + =ï
í - - =ïî
x x y
x y
32) (ĐH-A-2010) Giải hệ phương trình: 
( ) ( )ì + + - - =ï
í
ï + + - =î
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 
------------------------------------------------- 
1) Giải hệ phương trình: 
2 2 1
3 2 10
x y y x
x y y x
ì - - - =ï
í
- + - =ïî
Gợi ý: Dạng hpt bậc nhất hai ẩn 
2) Giải hệ phương trình: 
1 1
2 2 2
x y
x y y
ì + - =ï
í
- + = -ïî
Gợi ý: Bình phương trên TXĐ. 
3) Giải hệ phương trình: 
1 7 4
1 7 4
x y
y x
ì + + - =ï
í
+ + - =ïî
Gợi ý: Bình phương trên TXĐ 
4) Giải hệ phương trình: 
( )
( )
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y
ì - =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: 
Biến đổi: 
2 2
2 2
2
2
(1) 2 3
. .
(2) 10
1
2 3 1
 . .
10
1
y x y x
x x y y
y
y x
yx y
x
x
-
= =
+
æ ö- ç ÷è ø= =
æ ö+ ç ÷è ø
5) Giải hệ phương trình: 
( ) ( ) ( )2 22 22 5 4 6 2 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ì + - - + - =
ï
í
+ + =ï
-î
Gợi ý: (1) có dạng đẳng cấp bậc hai. 
6) Giải hệ phương trình: 
22 4 1
5
2
3
2
x xy
x y
x
x y
ì + +
= -ï +ï
í
ï = -ï +î
Gợi ý: 
Biến đổi: 
2 ( 2 ) 1 1
(1) 5 2 5
2 2
x x y
x
x y x y
+ +Û = - Û + = -
+ +
7) Giải hệ phương trình: 
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
- - =ì
í
+ - - =î
Gợi ý: Biến đổi: 
Nh©n (1) víi 2 vµ céng ph­¬ng tr×nh (2) : 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 8 8 65 0
8 65 0
5 13 0
x y xy x y
x y x y
x y x y
Û + + - - - =
Û + - + - =
Û + + + - =
8) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
ì + + + + + + + + + =ï
í
+ + + - + + + + - =ïî
Gợi ý: (1) (2) 8x y- Û + = 
9) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
ì + - + =ï
í
- - - =ïî
Gợi ý: Biến đổi: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
3 4 1
3 3 2 4 3
x x y y
x x y y
ì - + + =ïÛ í
- - + =ïî
10) Giải hệ phương trình: 
 ( )
2 3
2
12
6
x x
y y
xy xy
ìæ ö æ ö
+ =ïïç ÷ ç ÷
è ø è øí
ï
+ =ïî 
Gợi ý: Mỗi phương trình của hệ đều là 
phương trình đại số theo ẩn phụ. 
11) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
ì + =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Biến đổi: 
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
2
2
2
2
2
2 2
1
6
1
5
1
6 (1)
1
5 2 (2)
x
x
y y
x
x
y y
x
x
y y
x x
x
y y y
ì æ ö
+ =ï ç ÷
ï è øÛ í
ï æ ö
+ = ç ÷ï è øî
ì æ ö
+ =ï ç ÷
ï è øÛ í
ïæ ö æ ö æ ö
+ = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ïè ø è ø è øî
Thay (1) vào (2). 
12) Giải hệ phương trình: 
6 5
2
x y x y
x y x y
xy
+ -ì + =ï - +í
ï =î
Gợi ý: Phương trình (1) có dạng bậc hai. 
13) Giải hệ phương trình: 
 a) 
2 2
20
136
x y x y
x y
ì + + + =ï
í
+ =ïî
 b) 2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ì + + - + =ï
í
+ =ïî
 c) 
2 2
6
20
x y y x
x y y x
ì + =ï
í
+ =ïî
 d) 
2 2 2 8 2
4
x y xy
x y
ì + + =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Biến đổi: 
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2
2 22 2
(1) 2 2 16 2
 2 2 2
 2 2
 2 2 0
x y xy
x y x y xy
x y x y
x y x y x y
Û + = -
Û + = + -
Û + = +
Û + = + Û - =
 e) 
2 2
5
2
21
x y
y x
x y xy
ì
+ =ï
í
ï + + =î
14) Giải hệ phương trình: 
( ) ( )2 23 3
3 3
2 3
6
x y x y xy
x y
ì + = +ï
í
ï + =î
Gợi ý: Đặt 3 3, u x v y= = 
15) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
y x
y
x y
+ì + =ï +ï
í -ï - =
ï +î
Gợi ý: Biến đổi: 
2
2 2
2
2 2
3
(1) 3 (3)
3
(2) 0 (4)
3 1
(3) (4) 2 3 3
2
xy y
xy y
x y
xy x
xy
x y
y
xy y y
y
+Þ + =
+
-Þ - =
+
æ ö-
+ Þ + = Þ = ç ÷
è ø
16) Giải hệ phương trình: 
3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
ì + + =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Biến đổi: 
( )3 2 2 2
Thay (2) vµo (1): 
2 8 0
§©y lµ pt ®¼ng cÊp bËc 3.
x xy x y yÞ + + + = 
17) Giải hệ phương trình: 
 a) 
( )
( )
2
2
1
2 10
2
2
3
2
x y
x y
x y
x y
ì + + =ï -ï
í
+ï =ï -î
 b) 
1
3
2
4
2
x
x y
x
x y
ì + =ï +ï
í
ï = -
ï +î
 c) 
2 2 25 2
( ) 10
x y xy
y x y
ì + = -
í
+ =î
 d) 
( )
( )
22 2
2 2
19
7
x xy y x y
x xy y x y
ì + + = -ï
í
- + = -ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Gợi ý d): Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2. 
18) Giải hệ phương trình: 
 a) 
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
ì + + - =ï
í
- =ïî
Gợi ý: Đặt 2 2 , u x y v x y= - = + 
21
2
u
y v
v
æ ö
Þ = -ç ÷
è ø
 b) 
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
ì
= + + -ï
ï
í
ï = + - -ïî
Gợi ý: Nhân vế theo vế 2 phương trình. 
 c) 
2 2
2 2
3 1 0
4 5 2 1 0
x x y
x x y
ì - - + =ï
í
+ - - =ïî
Gợi ý: Nhân (1) với 2- , khử y . 
 d) 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
ì - - =ï
í
+ + =ïî
Gợi ý: Cách 1: Hpt đẳng cấp bậc 3. 
Cách 2: Biến đổi: 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 3
2 15
x y x y xy
x y x y xy
ì é ù+ + - =ï ë ûÛ í
é ùï + + - =ë ûî
19) Giải hệ phương trình: 
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
- - =ì
í
+ - - =î
Gợi ý: Biến đổi: 
( ) ( )
2 2
2
2 6 4 32
2 4 33
3 2 16
8 65 0
xy x y
x y x y
xy x y
x y x y
- - =ì
Û í
+ - - =î
- - =ìïÛ í
+ - + - =ïî
20) Giải hệ phương trình: 
 a) 
2 2
2 2
x y
x y
ì + - =ï
í
- + =ïî
Gợi ý: Cách1: Biến đổi: 
§
2 2 2 2
2 2 2 2TX
y x x y x
x y x y x
ì ì- = - + =ï ïÛ Ûí í
- = - + =ïï îî
x yÞ = 
Cách 2: 
LÊy (1) (2) :
 2 2
2 2
x y x y
x y y x
x y
x y x y
-
Þ - = - - -
- -Û = Þ =
+ - + -
21) Giải hệ phương trình: 
6 2 3
6 2 3
x y
y x
ì + - =ï
í
+ - =ïî
Gợi ý: 
Cách 1: Biến đổi: 
( )
(1) (2) 6 6
6 6
1 1
0
6 6
x y x y
x y y x
x y x y
x y
x y x y
x y
- Þ - = - - -
- -Û =
+ - + -
æ ö
Û - + =ç ÷ç ÷+ - + -è ø
Û =
Cách 2: Bất đẳng thức: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
6 12
6 12
6 6 24
6 1 1 6
6 1 1 6
6 6 24
6
DÊu " " x·y ra khi chØ khi 
6
3
x y
y x
x y y x
x y x y
y x y x
x y y x
x y
y x
x y
ì + - =ïÛ í
ï + - =î
Þ + - + + - =
ì + - £ + + -ï
í
ï + - £ + + -î
Þ + - + + - £
ì = -ï= í
= -ïî
Û = =
22) Giải hệ phương trình: 
 a) 
2 2
2 2
3 4 0
2 2 11 6 2 0
x xy y y
x xy y x y
ì + - + + =ï
í
+ - + + - =ïî
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Gợi ý: Thùc hiÖn: (1) 2 3´ - 
Cách khác: Thử 0x = . Đặt y kx= . 
 b) 
2 2
2 2
2 1 0
3 2 0
x x y
x y x y
ì + + - =ï
í
+ - + - =ïî
Gợi ý: ( )2 2 1(1) 1
1
y x
x y
y x
= +éÛ + = Û ê = - -ë
 c) 
2 3
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y x
x y x y
ì + - + =ï
í
- + =ïî
Gợi ý: 
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2
2
2
2 3
2 1 1 0 (1)
2
 (2)
1
2
(2) : 1 1 1 1
1
(1) 2 1 1 0...
x y
x
y
x
x
y
x
x y
ì - + + =
ïÛ í
=ï
+î
- £ £ Þ - £ £
+
Þ - + + ³
23) Giải các hệ phương trình sau: 
 1) 
( )
3 2 2
32
64
2 6
y x x y
x y
ì + = -ï
í
+ = +ïî
Gợi ý: 
( )32
3 2
2
(2) : 6 2 8 2
8
0, 2
64 8
y x y
y x
x y
x y
+ = + ³ Û ³
ì + ³ïÞ Þ = =í
- £ïî
 2) 
2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
x y xy
ì + = -ïï
í
+ï + = -ïî
Gợi ý: 
2 2
1 1
3
1 1 2
7
xy
x y
xy
x y xy
ì + = -ïïÛ í
ï + + = -
ïî
2
1 1
3 1 1
§Æt 
1 1
3
xy
x y u
x y
v xyxy
x y
ì + = - ìï = +ï ïÛ í í
æ öï ï =+ = - îç ÷ïè øî
 3) 
1 6
7
2
x y
x y xy
ì + =ï
í
ï + =î
Gợi ý: Quy đồng (1), khử xy .Hoặc chia 
(2) cho xy . 
 4) 
( )2
1 3
4 5 5
x x y
x y
ì + + + =ï
í
+ - + =ïî
Gợi ý: Đánh giá BĐT ở phương trình (2). 
 5) 
2 2 5
2
3
2
x y xy
x y
y x
ì + =ïï
í
ï - =
ïî
Gợi ý: Hệ đẳng cấp. Hoặc chia (1) cho xy . 
 6) 
3 2
2 2
3 4
1 1
x y x
x x y
ì + + =ï
í
ï - + + =î
Gợi ý: TXĐ 2 1 1 1x x³ Û - £ £ 
 3 2(1) : 3 4.x y x+ + ³ 
 7) 
8
5 11
x x x y
y x
ì + =ï
í
- = -ïî
Gợi ý: Phương pháp thế. CM pt vô 
nghiệm. 
 8) 
3 31 1 3
9
x y
x y
ì - + - =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Đặt 3 31, 1u x v y= - = - 
 9) 2 2 7
3 2 23
x y x y
x y
ì + + + + =ï
í
+ =ïî
Gợi ý: Phương pháp thế. Hoặc đặt 
 , 2 2u x y v x y= + = + + 
 10) 
2 2
2
4 3 0
2 1 3
x xy y
x x y xy
ì + + =ï
í
+ + = -ïî
Gợi ý: Phương trình (1) đẳng cấp bậc 2. 
 11) 
3 2 3
2
3 3 1
5
x x y x
x xy y
ì + = - -ï
í
+ + =ïî
Gợi ý: 
( )
3 2 3
3 3
(1) 3 3 1
1 1
x x x y
x y y x
Û + + + =
Û + = Û = +
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
 12) 
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ì + + - =ï
í
- + + =ïî
 13) 
5
5 5 8
x y
x y
ì + =ï
í
+ + + =ïî
Gợi ý: Biến đổi: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 5 13
5 5 3
5 5 13
5 5
3
5 5
§Æt u 5, v 5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
ì + + + + + =ïÛ í
+ - + + - =ïî
ì + + + + + =
ïïÛ í
+ =ï
+ + + +ïî
= + + = + +
 14) 
2 2 7
2 1 3 1 7
x y x y
x y
ì + + + + =ï
í
+ + + =ïî
Gợi ý: Biến đổi: 
LÊy (1) (2)
3 1 2 1 2 2
2 1 2 1
3 1 2 1 2 2
x y y x x y
x y x y
x y y x x y
-
Þ + - + = + - + +
- - - -Û =
+ + + + + + +
 15) 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
+
-
=
+
+
4)
2
14(
32)
2
14(
y
xy
x
xy 
 16) 
ï
ï
î
ïï
í
ì
=++
=++
49)11)((
5)11)((
22
22
yx
yx
xy
yx
 17) 
( )23 1
8 9
y x y
x y x y
ì - + = -ï
í
+ = - -ïî
Gợi ý: 
( )2(1) 3 1 0
0 3 0 9
(2) : TX§: 9 0 9
x y y
x y x y
x y x y
Û - - = - + £
Û £ - £ Û £ - £
- - ³ Û - ³
 18) 
( ) ( )
3
3 26
6
8
x y x y
x y x y
ì + + - =ï
í
+ - =ïî
Gợi ý: 
3
3
3
3
3
3
6
HÖ 
8
0
6 (I)
8
0
6 (II)
8
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
ì + + - =ïÛ í
+ - =ïî
é - ³ì
êï
+ + - =êí
êï
+ - =êîÛ ê - <ìêïê + + - =íêïê + - = -îë