Luyện thi đại học – Chuyên đề Hàm số - Đồ thị- Chủ đề: Biến thiên hàm số

HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
BÀI 2: CỰC TRỊ
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
BÀI 3: MAX-MIN
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên 
Giới thiệu sơ sơ về BĐT
BÀI 4:TIỆM CẬN
BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO
BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
BÀI 8: BIỆN LUẬN BẰNG ĐỒ THỊ
BÀI 9: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
BÀI 10: CÁC DẠNG ĐẶNG BIỆT
VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)
VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua
VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ nguyên
VẤN ĐỀ 5: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b
VẤN ĐỀ 6: Đối xứng tâm-trục
VẤN ĐỀ 7: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)
VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách
VẤN ĐỀ 9: Quỹ tích
BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
1. Đinh nghĩa:
	Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
	Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 f(x2)
2. Điều kiện cần:
	Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
	a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I
	b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I
3. Điều kiện đủ:
	Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
	a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
	b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
	c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
	Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
	– Tìm tập xác định của hàm số.
	– Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
	– Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) 
D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số đồng biến: và, Hàm số nghịch biến: 
b) , D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số luơn đồng biến trên D 
c) 
 D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số tăng :và , Hàm số giảm: và 
d) , D=R
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số tăng : , Hàm số giảm: 
Vậy: hàm số giảm: và , Hàm số tăng: và 
e) D=
BBT 
Vậy: hàm số luơn giảm trên 
f) D=
 Cho 
BBT 
x
0
1
2
+
 +
-
-
+
y
-2
+
2
+
Vậy: hàm số giảm: và ; Hàm số tăng: và 
g) 
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số giảm: (0;2), Hàm số tăng: 
h) , 
 Cho 
BBT 
Vậy: hàm số tăng: , Hàm số giảm: 
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i)
	k) 	l) 	m)
	n) 	o) 	p) 	
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
 k) j) n) 
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến 
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số , m là tham số, có tập xác định D.
	· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Ỵ D.
	· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Ỵ D.
	Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý: 
1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu thì:
	· 	· 
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai :
	· Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
	· Nếu D = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )
	· Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai với số 0:
	· 	· 	· 
5) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:
	+TH1: a=0
 +TH2:a0
 · Tính y¢.
	· Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
	(1)
	· Biến đổi thành 	(2)
	· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
	· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
VD1: Định m để hàm số luơn đồng biến
a) 
D=R
Hàm số luơn đồng biến 
Vậy: với thì hs luơn đồng biến trên D.
b) 
D=R
Hàm số luơn đồng biến 
TH1: m=0 khơng thoả mãn
TH2: m 0 thì 
Hàm số luơn đồng biến 
KL: Vậy: với thì hs luơn đồng biến trên D.
c) , D=
 Hàm số luơn đồng biến 
Vậy: với thì hs luơn đồng biến trên D.
VD2: Định m để hàm số luơn nghịch biến: 
D=
Hàm số luơn nghịch biến (điều khơng thể)
Vậy: khơng tồn tại m để hs luơn nghịch biến trên D.
VD3: Định m để hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
D=R
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)và 
Vậy: thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).
VD4: Định m để hàm số tăng trên 
D=R
Hàm số tăng trên và 
Vậy: thì hs tăng trên 
VD5: Định m để hàm số nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1.
D=R
Hàm số nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1.và 
Vậy: thì hs nghịch biến trên một khoảng cĩ độ dài bằng 1.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:
	a) 	b) 	c) 
Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tìm m để hàm số: 
	a) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.	
	b) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
	c) đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.	
Tìm m để hàm số: 
	a) đồng biến trên khoảng (1; +¥).	
	b) đồng biến trên khoảng (2; +¥).
	c) đồng biến trên khoảng (1; +¥).	
	d) đồng biến trong khoảng (–1; +¥).
	e) đồng biến trên khoảng (1; +¥).
	f) nghịch biến trên khoảng .HD:
 Xét TH1: ta có a<0 
 ( không sảy ra vì nếu như vậy thì hàm số tử chia được cho mẫu xét riêng)
+
 TH2: (a<0)
g) tìm a hàm số luôn đồng biến
i) xét dấu 
k) tìm m hàm số nghịch biến với mọi x