Luyện thi đại học - Bài toán tiếp tuyến

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 
Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y= x3-x2 +1 , biết tiếp tuyến của hàm số cắt trục Ox , 
Oy tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân 
HD : , y’=3x2-2x 
Đường thẳng cắt trục Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân => hệ số gốc bằng 1 hoặc 
bằng -1 , không đi qua gốc tọa độ 
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm , khi đó : 
i) y’(x0)=-1  3x0
2-2x0=-1  3x0
2-2x0+1 =0 vô nghiệm 
ii) y’(x0)=1  3x0
2-2x0=1  3x0
2-2x0-1=0  x0=1,x0=-1/3 
Với x0=1 thì y(1)=1 => y=x không thõa mãn 
Với x0=-1/3 , y(-1/3)=23/27 => y=x+32/27 
Bài 2: Tìm điểm M thuộc (C) 
x 2
y
x 1



sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến với đồ thị tại 
điểm đó bằng 2 
HD: D=R\{-1} , 
/
2
x 2 1
y '
x 1 (x 1)
  
  
  
Gọi x0 là hoành độ M => Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : 
  002
0 0
x 21
y x x
(x 1) x 1

   
 
  20 0 0 0x+(x 1) y - (x 2)(x 1) x 0     
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến tt bằng 2  
 
0 0 0
2
0
(x 1)(x 2) x
2
1 1 x
  

 
 
 
0 0 0
2
0
(x 1)(x 2) x
2
1 1 x
  

 
Đặt u=x0+1 , phương trình 
2 2u 2u 1 2(1 u )     
22 2u 2u 1 2(1 u )    
  (u-1)(u+1)(u2-4u+1)=0 
 u 1,u 1, u 2 3      
 0 0 0x 0, x 2, x 3 3      
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) 
a)(C) y=-x4-x2+6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-6y+1=0 
b)(C) 
2x
y
x 1


 , biết tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích bẳng ½ 
HD: 
a) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d) : x-6y+1 =0 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
 y’(x0)= - 6 => -4x0
3
 – 2x0 =-6 => 2x0
3+x0-3=0 => x0=1 , 2x0
2+2x0+3=0 (vô nghiêm) 
Với x0=1=> y(1)=4 => Phương trình tiếp tuyến cần tìm y=-6(x-1)+4=-6x+10 
b) Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) , => (d) có phương trình : y=y’(x0)(x-
x0)+y(x0) 
Ta có 
 
2
2
y '
x 1


=> (   002
0 0
2x2
d) : y x x
(x 1) x 1
  
 
(d) cắt trục Ox tại A : xA=-x0
2, yA=0 , cắt trục Oy tai B: xB=0, 
 
2
0
B 2
0
2x
 y
x 1


Diện tích tam giác OAB có diện tích bằng ½ nên : 
 
2
2 20
0 0 0 02
0
2x 1
2x x 1, 2x x 1
2x 1
      

 x0=1 ,x0 =-1/2 
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : 
1 1
 y x , y 8x 2
2 2
    
Bài 3 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) 
a)(C) y = 4x3-6x2+1 , biết tiếp tuyến đi qua điểm (-1,-9) 
b)(C) y= x4-2x2-1 , biết tiếp tuyến đi qua (0,-1) 
HD: a) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(-1,-9) có hệ số góc k => (d) y=k(x+1)-9 
 (d) là tiếp tuyến của (C)  
3 2
2
k(x 1) 9 4x 6x 1 (1)
k 12x 12x (2)
     

 
Thay (2) vào (1) ta được : (12x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1  4x3+3x2-6x-5=0  (x+1)2(4x-5)=0 
 
x 1,k( 1) 24
5 5 15
x , k( )
4 4 4
   

  

Các tiếp tuyến cần tìm là : y=24(x+1)-9=24x+ 15 , y= 
b) Gọi (d) là đường thẳng đi wua M(0,-1) có hệ số góc k => (d) y=kx-1 
 (d) là tiếp tuyến của (C)  
4 2
3
kx 1 x 2x 1 (1)
k 4x 12x (2)
    

 
Thay (2) vào (1) ta được : (x2-12x)(x+1)-9=4x3-6x2+1  4x3+3x2-6x-5=0  (x+1)2(4x-5)=0 
 
x 1,k( 1) 24
5 5 15
x , k( )
4 4 4
   

  

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Các tiếp tuyến cần tìm là : 
y 24(x 1) 9
15
y (x 1) 9
4
  

   

Bài 4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 4 2( ) 2y f x x x   , biết rằng tiếp tuyến đó có hai tiếp 
điểm phân biệt với đồ thị hàm số 
HD : 
b) Ta có 3'( ) 4 4f x x x  . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B. 
Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là 3 3'( ) 4 4 , '( ) 4 4A Bk f a a a k f b b b      
Giả sử a<b 
Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: 
         ' ' ( ) af' ay f a x a f a f a x f a      ; 
         ' ' ( ) f' by f b x b f b f b x f b b      
Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau 
       
 
3 3
4 2 4 2
'( ) '( ) 4a 4a = 4b 4
' ' 3 2 3 2
    
   
         
f a f b b
a b
f a af a f b bf b a a b b
 
2 2
2 2
1 0
( )(3( ) 2) 0
    

   
a ab b
a b a b
a=-1 , b=1 
=> Tiếp tuyến cần tìm là đường thẳng y=-1 
Bài tập tương tự 
1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) 
1
2 1



x
y
x
, biết tiếp tuyến của hàm số cắt trục 
Ox , Oy tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân 
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong  C   3 23 2y x x biết tiếp tuyến cắt 
các trục ,Ox Oy lần lượt tại A, B thoả mãn 9OB OA . 
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 
2 1
1
x
y
x



 , biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp 
tuyến bằng 2 . 
4. Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + 5. Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc min 
5. Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 1 biết t.tuyến // y = 9x + 2011 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.