Luyện thi Đại học - Bài 8: Tính đơn điệu và cực trị

Bài 8. Tính đơn điệu và cực trị
Một số kiến thức cần nắm vững:
1. Tính đơn điệu của hàm số:
Hàm số y = f(x) ĐB/(a; b) Û f’(x) ³ 0 "x ẻ (a; b).
Hàm số y = f(x) NB/(a; b) Û f’(x) Ê 0 "x ẻ (a; b).
Chú ý:
Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a ạ 0).
+ f(x) Ê 0 "x Û ; f(x) ³0 "x Û 
f(x) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
+ a Ê x1 < x2 Û 
+ x1 < x2 Ê a Û 
2. Cực trị của hàm số.
Cần nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị.
* Cho hàm số y = f(x).
+ Hàm số đạt cực đại tại x = x0 Û .
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 Û .
* Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d.
+ Hàm số có cực trị Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Khi chia y cho y’ ta được: y = y’.g(x) + r(x).
Nếu x0 là điểm cực trị thì yCT = r(x0) ị y = r(x) chính là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
* Đối với hàm số y = ax4 + bx2 + c:
+ Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.
+ Vì y’ = 2x(2ax2 + b) nên hàm số có 3 cực trị Û phương trình 2ax2 + b = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
+ Do tính chất đối xứng nên nếu hàm số có 3 cực trị thì luôn có 2 cực trị đối xứng nhau qua trục Oy.
* Đối với hàm số :
+ Hàm số có cực trị Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ạ . Khi đó hàm số có một CT và một CĐ.
+ Hàm số có 2 cực trị trái dấu Û 
+ Hàm số có 2 cực trị cùng dấu Û 
+ Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì y(x0) =.
+ Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là .
Một số ví dụ :
* Các ví dụ về tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD: 
1) ĐK Û y’ ³ 0 với "x Û g(x) = 3x2 - 6x + m ³ 0 với "x Û D’ Ê 0 Û 9 - 3m Ê 0 Û m ³ 3.
2) ĐK Û y’ ³ 0 với "x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: D’ Ê 0 Û m ³ 3 ị y’ ³ 0 "x ị y’ ³ 0 với "x > 1.
+ TH2: D’>0 thì y’ ³ 0 với "x > 1 Û g(x) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 < x2 Ê 1. 
ĐS: m ³ 3.
Cách 2: Dùng PP hàm số. 
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = ĐB trên khoảng (1; +Ơ).
HD: Hàm số xác định với "xẻ(1; +Ơ).
.
ĐK Û y’ ³ 0 với "x > 1 Û g(x) = x2 + 6x + 9 - m2 ³ 0 với "x > 1 Û m2 Ê x2 + 6x + 9 "x > 1 Û m2 Ê mint(x) = x2 + 6x + 9 "x > 1. 
ĐS: -4 Ê m Ê 4.
Ví dụ 3. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +Ơ).
HD: Hàm số xác định với "x > 1 Û 2m Ê 1 Û m Ê 1/2.
.
ĐK Û y’ ³ 0 với "x > 1 Û g(x) = x2 - 4mx + m2 ³ 0 với "x > 1. Xét 2 trường hợp:
+ TH1: D’ Ê 0 Û m = 0.
+ TH2: D’>0 Û m < 2 - .
* Các ví dụ về cực trị của hàm số:
Dạng 1. Tìm m để hàm số có cực trị: 
Bài 1. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3(2m - 1)x + 1.
Tìm m để hàm số có CĐ và CT.
HD: y’ = 3x2 - 6x + 3(2m - 1).
ĐK Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û Dy’ > 0 Û m > -1.
Bài 2. Cho hàm số:
 y = 
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và x1 < -1 <x2.
HD: ĐK Û 1.f’(-1) < 0 Û m < -3.
Bài 3. Cho hàm số: 
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.
HD: ĐK Û . ĐS: m = 3.
Bài 4. Cho hàm số .
Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
HD: y’ = x2 -2mx - 1, y’ = 0 Û x2 -2mx - 1 = 0 (1). Có D= m2 + 1 > 0 "m ị hàm số luôn có CĐ và CT.
Chia y cho y’ ta được:
.
Gọi 2 điểm cực trị là: A(x1; y1), B(x2; y2) với x1, x2 là nghiệm của (1) thì: 
y1 = ;
y2 = ;
AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = (4m2 + 4)[1+ ] ³ .
ị AB ³ ; AB min Û m = 0.
Dạng 2. Biểu thức đối xứng của cực trị:
Bài 5. Tìm m để hàm số y = có CĐ, CT và .
HD: y’ = 
HS có CĐ và CT Û y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 4 Û 
Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:
y1 = -2x1 +3, y2 = -2x2 + 3.
Û m = 3.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = có CĐ, CT và .
ĐS: m ẻ .
Bài 7. Tìm m để hàm số :
y = 
có CĐ, CT và yCĐ.yCT là nhỏ nhất.
ĐS: yCĐ.yCT nhỏ nhất = -4/5 khi m = 7/5.
Bài 8. CMR hàm số y = luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa chúng không đổi.
Dạng 3. Vị trí của CĐ và CT trong mặt phẳng Oxy.
Bài 9. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm về hai phía của trục Ox.
HD: ; 
ĐK Û 
ĐS: 0 < m < 4.
Bài 10. Tìm m để hàm số y = có 2 cực trị cùng phía.
ĐK Û .
Bài 11. Cho hs: . Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV.
HD: ĐK Û .ĐS: .
Câu 12: (KB - 05)Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 
CMR với m bất kỳ, (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng .
Câu 13 (DBKB - 05)
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 	
Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
Câu 14 (DB-KA-04)Cho hàm số y = x4 -2m2x2 +1 (1) 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba 
đỉnh của một tam giác vuông cân.
Câu 15(CT-KA-03)
Cho hàm số 	
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có cực trị và tính 
khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu 16 (DB -KA-02)Cho hàm số y= (1) 
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu .Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10.
Các bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho hàm số
Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B. CMR khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2x - y -10 = 0.
Bài 2: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 3: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung.
Bài 4: Cho hàm số 
Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông.
Bài 5: Cho hàm số 
CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn luôn có điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng .
Bài 6: Cho hàm số:
Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số. 
Bài 7: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn .
Bài 8: Cho hàm số .
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Bài 9: Cho hàm số y=. 
1) Khảo sát khi m =2. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến với "x ạ -2.
Bài 10: Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2 + (m-2)x - 2. 
1) Khảo sát khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số đồng biến với "x.
Bài 11: Cho hàm số y = .
1) Khảo sát khi m = 2. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến với " x ẻ(3, +Ơ). 
Bài 12: Cho hàm số y = . 
1) Khảo sát khi m = 1. 
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. 
Bài 13: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5. Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 14: Cho hàm số y = x3 + mx2  + 3mx + 5. 
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài 15: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3. 
1) Khảo sát khi m= 5. 
2) Tìm m để hàm số có cực trị, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Bài 16: Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số có 2 cực trị.
Bài 17: Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
Bài 18: Cho hàm số y = . 
1) Khảo sát khi m = 1. 
2) Tìm m để hàm số không có cực trị.
Bài 19: Cho hàm số y = . 
Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
Bài 20: Cho hàm số y = . 
1) Khảo sát khi m= 0. 
2) Tìm m để: đồ thị hàm số có hai điểm cực trị trái dấu; khoảng cách từ cực tiểu và cực đại đến Ox bằng nhau.
Bài 21: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m4. Tìm m để hàm số có ba cực trị và các điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Bài 22: (KB - 07)
Cho hs: y = -x3 +3x2 +3(m2 -1)x -3m2 -1 (1) 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ độ O.
Câu 23: (DBKA - 07) Cho hàm số y = x + m + ( Cm )
Tìm m để đồ thị (Cm ) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ
Câu 24 (KA - 05)
 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 	
Tìm m để hàm số (*) có cực trị va fkhoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng .
Câu 25.(DBKB - 06)
 Cho hàm số y = x3 +( 1-2m)x2 +(2-m)x + m +2	(1) 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại,điểm cực tiểu ,đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.