Luyện thi đại học - Bài 4: Phương trình và hệ phương trình lượng giác

Bài 4: Phương trình và hệ PT lượng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lượng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a;
sin2a = 2sinacosa;
c) Công thức hạ bậc
d) Công thức chia đôi
Đặt . Ta có:
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
* Đổi tổng thành tích:
f) Một số công thức hay dùng:
2. Một số phương trình lượng giác thường gặp
a) phương trình lượng giác cơ bản:
+ sinx = a 
+ cosx = a
+ tgx = a ĐK: , x = (tga = a).
+ cotgx = a, ĐK: , x = (cotga = a).
b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
* Phương trình bậc nhất:
* Phương trình bậc 2:
đặt t = sinx ().
đặt t = cosx ().
Ví dụ: 	2.ẹHNHaứng. 	
c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho ; đặt:
ta được PT: ;
*) Chú ý: Phương trình có nghiệm Û .
+ Cách 2: Đặt ta được phương trình:
.
Ví dụ: ẹHHueỏ 99. 
d) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos2x = 0 Û sinx = ± 1 nếu nghiệm đúng pt thì đặt cosx làm thừa số chung. 
Với cos2x ạ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được:
atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x).
* Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
Ví dụ:ẹHVLang 96D. 
e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c 
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 
* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c 
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 
.
Ví dụ .HVCTQG.00: 
3. Một số phương pháp thường dùng khi giải các phương trình lượng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phương bằng 0.
4. Các ví dụ: 
Giải các phương trình sau: 
Bài 1: .
ĐS: .
Bài 2: 
ĐS: .
Bài 3: .
ĐS: .
Bài 4: 
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3 ĐS: .
Bài 5:
HD: Biến đổi theo sin và cos.ĐS: .
Bài 6: 
HD: nhân (1) với (2) rút gọn .
 đặt ị t = 0, t =± .
Bài 7:
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8: 
 HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng 
thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9: 
HD: BĐ về dạng: 
5. Một số phương trình có tham số:
Bài 1. Tìm m để pt: sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm .
HD: PT Û (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phương trình:
 (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos2x
có đúng 2 nghiệm x ẻ [0; p].
HD: PT Û (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
Bài 3. Tìm m để pt: mcos22x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x ẻ [0 ; p/3].
Bài 4: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn .HD: [-10/3;-2] 
Bài 5: Cho phương trình 
Giải phương trình khi a=1/3.
Tìm a để phương trình có nghiệm.
HD: Đưa về dạng 	(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
	ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, p)
PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAÙC -Đề thi đại học
I.Phửụng trỡnh ủửa veà pt moọt haứm soỏ lửụùng giaực.
1.ẹHẹNaỹng 97. 	
2. ẹHQGHN 97D.	
3. ẹH CSND 99.	
4. ẹHYHP97.	
5.ẹHHueỏ 2001.	 
6.ẹHCẹoaứn 2001.	
7.ẹHBK 96. 	
8.HVBCVTHCM 2001. 
9. ẹHQGHN 98. 	
10. ẹHHueỏ 99. 	
11.CẹSPNHaứ 97. 	
12.ẹHNHaứng 2000.	 
II.Phửụng trỡnh baọc nhaỏt ủoỏi vụựi vaứ 
13.ẹHHueỏ 99. 
14.ẹHKTeỏ 97. 
15.ẹHMT 96. 
16.ẹHBPhoứng 97. 
III.Pt ủaỳng caỏp baọc hai ủoỏi vụựi vaứ .
17.ẹHCNghieọp HCM 00. 
18.ẹHTSaỷn NT 00. 
19.ẹHCThụ 97D. 
20.ẹHGT 01. 
21.ẹHDLẹẹoõ 97A. 
IV.Phửụng trỡnh ủoỏi xửựng vụựi vaứ 
22.ẹHHueỏ. 
23.ẹHDLHVửụng 97. 
24.HVCTQG.00: 
25.CẹLẹXH 97: 
26.ẹHKTCN 96: 
27.ẹHDLẹẹoõ 96B: 
28.ẹHNNgửừ 00. 
29.ẹHMoỷ 99. 
30.ẹHQGHNoọi 97A. 
31.
32.ẹH 89. 
33.ẹHNNgửừ HN 97. 
34. ẹHY Hnoọi 2001:
35.ẹHQG HCM 2000: 
36.ẹHCSND 2000 :
6. Các bài tập luyện tập:
.
.
.
.
.
.
.
.
Một số đề thi từ năm 2002
Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình . KA 2002 
Giải pt (DB 2002)
Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình KB 2003
Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng của pt KB 2003
 Giải phương trình DB 2002
Giải phương trình (DB 2002)
Cho phương trình 
Giải phương trình (2) khi 
Tìm a để phương trình có nghiệm 
Giải phương trình (DB 2002)
Giải phương trình (KA 2003)
Giải phương trình (DBKA 2003)
Giải pt (DBKA 2003)
Giải phương trình (DBKB 2003)
Giải phương trình (DBKB 2003)
Giải phương trình (KD 2003)
Giải pt (DBKD 2003)
Giải phương trình (DBKD 2003)
Giải pt (KB 2004)
18) Giải phương trình :
 KB 2004.
19.Giải phương trình(Đề CT- khối A năm 2008) : 
20. (Đề CT- K B - 08)Giải phương trình : sin3-cos3x = sinxcos2x -sin2xcosx.
22. (Đề CT- K D - 08) Giải phương trình : 
 2sinx(1+cos2x) +sin2x= 1+2cosx.
23. (KA - 07)Giải phương trình :
 ( 1 + sin2x) cosx + ( 1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x
24. (KB - 07)Giải pt : 	2sin22x +sin7x -1 = sinx
25. (KD - 07)Giải pt: 
26. (DBKA - 07)Giải pt: 
Sin2x +sinx -.
27.(DBKA - 07)Giải phương trình: 
 2 cos2 x + 2sin x cos x +1= 3( sin x + cos x)
28. (DBKB - 07)Giải phương trình : 
29.(DBKB - 07)Giải pt:+= tgx- cot gx .
30. (DBKD - 07)Giải pt: 2sin cosx = 1.
31. (DBKD - 07)Giải pt : (1– tgx)( 1+ sin2x) = 1+tgx.
32.(KA - 06)Giải phương trình : 
33. (DBKA - 06)Giải phương trình : 
 cos3x cos3x - sin3x.sin3x = 
34. (DBKA - 06)Giải pt : 2sin(2x- +4 sinx +1 = 0.
35. (KB - 06) Giải pt : cotgx + sinx
36. (DBKB - 06) ( 2sin2x - 1)tg22x + 3(2cos2x - 1) = 0.
37. (DBKB - 06) Giải phương trình : 
 cos2x +( 1+2cosx) (sinx - cosx) = 0.
38. (KD - 06) Giải pt : cos3x +cos2x - cosx -1 = 0
39. (DBKD - 06) Giải pt: cos3x +sin3x +2sin2x = 1.
40. (DBKD - 06) : 4sin3x +4sin2x +3sin2x +6cosx = 0.
41. (KA - 05) Giải pt : 	Cos23x cos2x - cos2x = 0.
42. (DBKA - 05)Giải phương trình : 
43. (DBKA - 05)Giải pt : 
44.(KB - 05) : 1 + sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0.
45. (DBKB - 05) : sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0.
46.(DBKB-05) 
47.(KD - 05) cos4x +sin4 +cos(x - )sin(3x-) - = 0.
48. (DBKD - 05)sinxcos2x +cos2x(tg2x-1) +2sin3x = 0.
49. (DBKD - 05)Giải phương trình :	
50.Giải phương trình: 4( sin3x +cos3x) = cosx +3sinx.
51. . (KA - 09)	Gpt .
52.(KB-09)Gpt. 
53. .(KD-09)Gpt.
54.(CD--09)